电路分析基础第4章 动态电路的时域分析.ppt

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1、第4章 动态电路的时域分析,4.1 电容元件和电感元件 4.2 换路定律及初始值的计算 4.3 一阶电路的零输入响应 4.4 一阶电路的零状态响应 4.5 一阶电路的全响应 4.6 求解一阶电路的三要素法 4.7 一阶电路的阶跃响应 *4.8 二阶电路的时域分析 习题4,4.1 电容元件和电感元件 4.1.1 电容元件 1. 电容元件的定义 电容元件是从实际电容器中抽象出来的理想化模型。实际电容器通常由两块金属极板中间填充以绝缘介质构成，如图4.1-1所示。,图4.1-1 平板形电容器,电容元件的定义如下：一个二端元件，如果在任一时刻t，其电荷q(t)与端电压u(t)之间的关系可以用q-u平面

2、上的一条曲线来描述，则称该二端元件为电容元件。若q-u 平面上的曲线是一条通过原点的直线，且不随时间变化，如图4.1-2(a)所示，则称此电容元件为线性时不变电容元件。理想电容元件的电路符号如图4.1-2(b)所示。,图4.1-2 线性时不变电容元件的q-u关系及电路符号,由图4.1-2(a)可知，对于线性时不变电容元件，在电压与电荷的参考极性一致的条件下，在任一时刻，其电荷量q(t)与其端电压u(t)的关系满足 q(t)=Cu(t) (4.1-1),2. 电容元件的伏安关系 在关联参考方向下，有 将式(4.1-1)代入上式，得 如果电容电压uC与电流iC取非关联参考方向，则式(4.1-2)改

3、写为,(4.1-3),(4.1-2),3. 电容电压的记忆性和连续性 我们可以把电容电压uC(t)表示为电流iC(t)的函数。对式(4.1-2)积分，可得 式(4.1-4)为电容元件伏安关系的积分形式。如果我们只对某一任意选定的初始时刻t0以后的电容电压情况感兴趣，则式(4.1-4)可分段积分,(4.1-5),(4.1-4),式中 称为电容电压的初始值，它反映了t0以前电容的全部“历史”以及“历史”对未来(tt0)产生的效果。 如果电容电流iC(t)在无穷小区间t0，t0+为有限值，则上式等号右端第二项积分为零，于是有 uC(t0+)=uC(t0) (4.1-7) 若初始时刻t0=0，则上式可

4、写为 uC(0+)=uC(0) (4.1-8),(4.1-6),4 电容元件的储能 如前所述，电容元件是储能元件，它能将外部输入的电能储存在它的电场中。 在电容电压、电流取关联参考方向的条件下，在任一时刻，电容元件的瞬时功率为,(4.1-9),设在一段时间t1，t2内，对电容充电，则电容吸收的能量为 由此我们可得出某一时刻t电容的储能为,(4.1-10),(4.1-11),【例4.1-1】 电路如图4.1-3(a)所示，已知电容C=2 F，电压u(t)的波形如图4.1-3(b)所示，试画出电流i(t)、瞬时功率p(t)和储能w(t)的波形。,图4.1-3 例4.1-1用图(一),解 首先由图(

5、b)，分段写出u(t)的数学表达式为 然后由图(a)可知，电压u(t)与电流i(t)为关联参考方向，根据式(4.1-2)，电容元件的伏安关系 ，将以上u(t)的表达式代入，得 画出瞬时功率p(t)的波形，如图4.1-4(b)所示。,图4.1-4 例4.1-1用图(二),4.1.2 电感元件 1电感元件的定义 电感元件是实际电感器的理想化模型。把金属导线在骨架上密绕多匝就构成了一个实际的电感器，常称为电感线圈，如图4.1-5所示。,图4.1-5 电感线圈,电感元件的定义如下：一个二端元件，如果在任一时刻t，其磁链(t)与电流i(t)之间的关系可用-i平面上的一条曲线来描述，则称该二端元件为电感元

6、件。若-i平面上的曲线是一条通过原点的直线，且不随时间变化，如图4.1-6(a)所示，则称此电感元件为线性时不变电感元件。理想电感元件的电路符号如图4.1-6(b)所示。,图4.1-6 线性时不变电感元件的-i关系及电路符号,由图4.1-6可知，对于线性时不变电感元件，在磁链(t)与电流i(t)的参考方向符合右手螺旋定则的条件下，磁链与电流的关系满足 (t)=Li(t) (4.1-12),2 电感元件的伏安关系 当通过电感元件的电流发生变化时，产生的磁链也相应地发生变化。根据电磁感应定律，这一变化的磁链将在电感元件两端产生感应电压，感应电压等于磁链的变化率。当电压的参考方向与磁链的参考方向符合

7、右手螺旋定则时，有 将式(4.1-12)代入上式，得,(4.1-14),(4.1-13),如果电感电压uL(t)与电流iL(t)的参考方向非关联，则式(4.1-14)应改写为,(4.1-15),3电感电流的记忆性和连续性 观察式(4.1-2)和式(4.1-14)可以看出，电感元件的VAR与电容元件的VAR相似。根据电路的对偶原理，只要把式(4.1-2)中的电流换为电压，电压换为电流，电容换为电感，便得到式(4.1-14)。因此，电感电流iL(t)也具有与电容电压uC(t)相似的性质，即记忆性和连续性。 与电容元件的分析相似，对式(4.1-14)积分，得,(4.1-16),式(4.1-16)为电

8、感元件伏安关系的积分形式。如果我们只对某一初始时刻t0之后的电感电流情况感兴趣，则式(4.1-16)可分段积分 式中,(4.1-17),(4.1-18),如果电感电压uL(t)在无穷小区间t0，t0+为有限值，则上式等号右边第二项积分为零，于是有 若初始时刻t0=0，则式(4.1-19)可写为 iL(0+)=iL(0) (4.1-20),(4.1-19),4 电感元件的储能 在电感电压、电流取关联参考方向的条件下，在任一时刻，电感元件的瞬时功率为 在一段时间t1，t2内，电感元件的储能为,(4.1-21),(4.1-22),由式(4.1-22)可知，在区间t1，t2内电感获得的储能只与两个时间

9、端点的电感电流值iL(t1)和iL(i2)有关，此式反映了电感储能的变化。因此，我们可得出某一时刻t电感的储能为,(4.1-23),【例4.1-2】 电路如图4.1-7所示，已知iR(t)=42e10t A，求电流i(t)。 解 首先根据电阻元件的VAR式，求得电阻两端电压 uR(t)=RiR(t)=5(42e10t)=2010e10t V 然后由电容元件VAR的微分形式，得电容电流 最后应用KCL，得电流 i(t) =iR(t)+iC(t)=(42e10t)+e10t=4e10t A,图4.1-7 例4.1-2用图,4.2 换路定律及初始值的计算 4.2.1 动态电路的过渡过程 当动态电路的

10、结构或元件参数发生变化时，电路将从一个稳定状态变化到另一个稳定状态，这种变化一般需要经历一个过程，这个过程称为过渡过程。通常把电路中电源的接入或断开，以及元件参数或电路结构的突然改变，统称为“换路”。下面以图4.2-1(a)所示的动态电路为例来说明过渡过程的概念。,图4.2-1 动态电路过渡过程说明用图,4.2.2 换路定律 如果电容电流iC和电感电压uL在无穷小区间t0，t0+为有限值，则上面两式中等号右边第二项积分为零，于是有 通常，习惯选择换路时刻t0=0，则式(4.2-1)可改写为,(4.2-2),(4.2-1),4.2.3 初始值的计算 【例4.2-1】 电路如图4.2-2所示。已知

11、开关S闭合前电路已处于稳定状态，在t=0 时开关闭合，求初始值iL(0+)、uL(0+)和i(0+)。 解 (1) 先计算电感电流iL(0)。开关闭合前电路已处于稳态，且在直流电源作用下，这时电感相当于短路，t=0时的电路如图4.2-3(a)所示。由图(a)可得,图4.2-2 例4.2-1用图(一),图4.2-3 例4.2-1用图(二),(2) 根据换路定律，有 iL(0+)=iL(0)=1 A (3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算其他支路电压、电流的初始值。根据置换定理，用一个电流值等于iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，画出t=0+时的等效电路如图(b)所示。对图(b

12、)中右边一个回路应用KVL，得 R2iL(0+)+uL(0+)=0 故 uL(0+)=R2iL(0+)=41=4 V 由图(b)左边回路，得,【例4.2-2】 电路如图4.2-4所示。开关S开启前电路已处于稳定状态，在t=0时开关开启，求初始值i(0+)、 iC(0+)和uL(0+)。,图4.2-4 例4.2-2用图(一),解 (1) 先计算电容电压uC(0)和电感电流iL(0)。开关开启前电路已处于直流稳定状态，这时电容相当于开路，电感相当于短路，t=0时的等效电路如图4.2-5(a)所示。由图(a)可得,图4.2-5 例4.2-2用图(二),(2) 根据换路定律，有 iL(0+)=iL(0

13、)=1 A uC(0+)=uC(0)=5 V,(3) 画出换路后瞬间t=0+时的等效电路，计算待求的各初始值。根据置换定理，用一个电流等于iL(0+)=1 A的理想电流源代替电感元件，用一个电压等于uC(0+)=5 V的理想电压源代替电容元件，画出0+时刻的等效电路如图(b)所示。 在图(b)中，应用直流电阻电路分析方法可求得待求初始值为 i(0+)=0 iC(0+)=iL(0+)=1 A uL(0+)=R3iL(0+)+R2iC(0+)+uC(0+)=51+2(1)+5=2 V,4.3 一阶电路的零输入响应 当电路中含有储能元件时，描述电路的方程是微分方程。若电路仅含一个储能元件(电容或电感

14、元件)，或者可用串、并联方法等效为仅含一个储能元件，则得到的电路方程是一阶线性常微分方程。我们将可用一阶常微分方程描述的电 路称为一阶电路。 1. 一阶RC电路的零输入响应 图4.3-1所示为一阶RC电路。,图4.3-1 一阶RC电路零输入响应,设电压、电流的参考方向如图4.3-1所示，列写换路后电路的KVL方程为 RiuC=0 (4.3-1) 根据电容元件的伏安关系，由图4.3-1可知 将上式代入式(4.3-1)中，经整理得,(4.3-2),由高等数学的相关知识可知, 一阶齐次微分方程式(4.3-2)的通解形式为 式中，A为特定的积分常数，由电路的初始条件确定。将uC(0+)=U0代入式(4

15、.3-3)，得 uC(0+)=A=U0 从而解得在给定初始条件下，电容电压的零输入响应为,(4.3-4),(4.3-3),放电电流 画出电容电压uC和电流i随时间变化的曲线，如图4.3-2所示。,图4.3-2 一阶RC放电电路中电容电压和电流的变化规律,(4.3-5),由此可见，RC电路的零输入响应都按同样的指数规律变化，由初始值开始逐渐单调衰减至零，这一过程即为过渡过程或暂态过程。电压、电流衰减的快慢取决于指数衰减因子 ，即取决于电路参数R和C的乘积。这个乘积是一个常量，具有时间的量纲，称为RC电路的时间常数，用来表示，即 =RC (4.3-6),2. 一阶RL电路的零输入响应 图4.3-3

16、(a)所示为一阶RL电路。,图4.3-3 一阶RL电路的零输入响应,对图(b)所示的电路列KVL方程 uL+RiL=0 将电感元件的伏安关系式 代入上式，整理得 这是一个一阶常系数齐次微分方程，其特征方程为,(4.3-7),解出特征根 于是得一阶齐次微分方程式(4.3-7)的通解形式为 由初始条件确定待定积分常数A。将iL(0+)=I0代入式(4.3-8)，得 iL(0+)=A=I0 从而解得电感电流的零输入响应为,(4.3-8),电感电压 式中， ，为RL电路的时间常数，与RC电路中的时间常数有相同的意义。画出电感电流iL和电感电压uL随时间变化的曲线，如图4.3-4所示。,(4.3-10)

17、,(4.3-9),图4.3-4 一阶RL零输入电路中电感电流和电压的变化规律,如果用yzi(t)表示零输入响应，yzi(0+)表示其初始值，则一阶电路的零输入响应可表示为如下的一般形式 【例4.3-1】 电路如图4.3-5(a)所示，换路前t0时电路已处于稳态，t=0时开关S开启。试求： (1) t0时的uC(t)和i(t)； (2) 电容的初始储能和电阻消耗的总能量。,(4.3-11),图4.3-5 例4.3-1用图,4.4 一阶电路的零状态响应 如果动态电路中的储能元件的初始储能为零，即电容C的初始电压和电感L中的初始电流均为零，则称此电路为零状态电路。电路在零状态下，仅由施加于电路的输入

18、激励所引起的响应称为零状态响应(zero state response)。本节将讨论在直流电源激励下一阶电路的零状态响应。 1. 一阶RC电路的零状态响应 设直流一阶RC电路如图4.4-1所示，在开关S闭合前即t0时电路已处于稳态，且电容电压 uC(0)=0(零状态)。,图4.4-1 直流一阶RC电路零状态响应,对图4.4-1，列出换路后的KVL方程为 Ri+uC=Us 将电容元件的伏安关系 代入上式，并整理得 这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程。方程的解由两个分量组成：齐次微分方程的通解uCh和非齐次微分方程的特解uCp，即 uC=uCh+uCp (4.4-2),(4.4-1),再求非齐次

19、微分方程的特解uCp。由微分方程的数学知识可知，特解具有与输入激励相同的函数形式。当激励为直流时，特解uCp为一常量。令 uCp=Q 把它代入式(4.4-1)，可得 Q=Us 故特解为 uCp=Us 于是一阶非齐次微分方程式(4.4-1)的完全解为,(4.4-3),将初始条件uC(0+)=0代入上式，有 uC(0+)=A+Us=0 求得 A=Us 将A代入式(4.4-3)，得零初始状态时电容电压的完全解，即零状态解为 由电容元件的VAR，求得电流,(4.4-4),画出电容电压uC和电流随时间i变化的曲线，如图4.4-2所示。,图4.4-2 直流一阶RL零状态电路中电容电压和电流的变化规律,2.

20、 一阶RL电路的零状态响应 设直流一阶RL电路如图4.4-3所示，开关S闭合前即t0时，电路已处于稳态，电感电流iL(0)=0(零状态)。,图4.4-3 直流一阶RL电路零状态响应,对图4.4-3，列出换路后的KVL方程为 RiL+uL=Us 将电感元件的伏安关系 代入上式，整理得,(4.4-5),非齐次微分方程的特解iLp具有与输入激励相同的函数形式。在直流激励下，令iLp=Q，将其代入式(4.4-5)，解得 故特解为 于是一阶非齐次微分方程的全解为,(4.4-6),将初始条件iL(0+)=iL(0)=0代入上式，确定待定积分常数A，有 将A代入式(4.4-6)，得电感电流iL的零状态解为

21、由电感元件的VAR，求得电感电压 画出电感电流iL和电压uL随时间变化的曲线，如图4.4-4所示。,(4.4-7),图4.4-4 直流一阶RL零状态电路中电感电流和电压的变化规律,由以上分析可见，在直流激励下，一阶RC电路和一阶RL电路的零状态响应的物理过程是换路后电路中动态元件的储能从无到有逐渐增长的过程。因此，电容电压或电感电流都是从零值(零初始状态)开始按指数规律上升至稳态值(稳定状态)，时间常数t与零输入响应时相同。由式(4.4-4)和式(4.4-7)可写出电容电压和电感电流的零状态响应的一般形式,(4.4-8),【例4.4-1】 电路如图4.4-5(a)所示，换路前t0时电路已处于稳

22、态，t=0时开关S闭合。已知Us=4 V，R1=2.5 W，R2=10 W，L=0.2 H。试求换路后t0时的iL、uL、uR1和iR2。,图4.4-5 例4.4-1用图,解 换路前t0时，开关S未闭合，iL(0)=0，电路处于零状态。在t=0时，开关S闭合，换路后的电路如图4.4-5(b)所示，直流电压源Us接入电路，因此所求响应均为零状态响应。,4.5 一阶电路的全响应 前面两节我们分别讨论了一阶电路的零输入响应和零状态响应。本节将讨论在外加输入激励和动态元件初始储能共同作用下电路的响应，称为一阶电路的全响应(complete response)。仍以直流一阶RC电路为例, 电路如图4.5

23、-1所示，电容电压的初始值uC(0)=U0，初始状态不为零，即电容元件具有初始储能。根据KVL和电路元件VAR，列写电路方程，整理得,(4.5-1),图4.5-1 直流一阶RC电路的全响应,这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，与前面讨论的一阶RC电路零状态响应的微分方程式(4.4-1)相同，因此求解过程也相同，其完全解可表示为 将初始条件uC(0+)=U0代入上式，确定待定积分常数A，有 uC(0+)=A+Us=U0 求得 A=U0Us,(4.5-2),将A代入式(4.5-2)，得电容电压的全响应为 把式(4.5-3)改写为 相应的随时间变化的曲线如图4.5-2所示。,(4.5-3),(4.

24、5-4),零输入响应,零状态响应,图4.5-2 具有非零初始状态的直流一阶RC电路中 电容电压的变化规律,由此可见，全响应可分解为零输入响应和零状态响应之和，这是线性电路叠加性质的体现。因此，一般情况下，一阶电路的全响应可表示为 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应 (4.5-5) 即 y(t)=yzi(t)+yzs(t),全响应也可按另一种观点进行分解。由式(4.5-3)可看出，等式右边的第一项为暂态分量，它随时间的增长按指数规律逐渐衰减为零，称为暂态响应；等式右边的第二项为稳态分量，它随时间的增长而稳定存在，称为稳态响应。所以，全响应亦可表示为 全响应 = 暂态响应 + 稳态响应 (4.

25、5-6),根据求解微分方程的经典法，我们还可把式(4.5-3)作以下分解。等号右边第一项为齐次解，按指数规律变化，变化的快慢取决于电路微分方程的特征根，与激励无关，故称为自由响应。由于特征根仅与电路结构和元件参数有关，因此 自由响应反映了电路的固有特性，又称为固有响应。等号右边第二项为特解，具有与输入激励相同的函数形式，称为强制响应。因此，全响应可表示为 全响应 = 自由响应(固有响应)+ 强制响应 (4.5-7) 即 y(t)=yh(t)+yp(t),【例4.5-1】 电路如图4.5-3(a)所示，开关S在位置1时电路已处于稳态，t=0时开关S由1切换至2，求t0时电感电流iL和电阻电压uR

26、的零输入响应、零状态响应和全响应，并画出它们随时间变化的曲线。,图4.5-3 例4.5-1用图(一),解 换路前t0时，开关S在位置1，电路已处于稳态，电感相当于短路。应用电阻分流公式，电感电流为 由换路定律，得 iL(0+)=iL(0)=2 A (1) 计算零输入响应。画出换路后t0时的零输入电路，如图4.5-3(b)所示。这时应令外加输入激励为零(将图4.5-3(a)中45 V电压源短路，3 A电流源开路)。由图(b)可得电路的时间常数,根据零输入响应的一般形式(见式(4.3-11)，可得电感电流的零输入响应为 应用电阻元件的VAR，可得4 电阻的零输入响应 uRzi(t)=4iLzi(t

27、)=8e6t V t0 (2) 计算零状态响应。画出换路后t0时的零状态电路，如图4.5-3(c)所示。这时应令电感元件的初始储能为零，即初始状态为零，iL(0+)=0。当t时，电路进入新的稳态，电感相当于短路，于是对图(c)应用叠加定理，有,图(c)中电路的时间常数与图(b)中的时间常数相同，仍是 。所以根据电感电流零状态响应的一般形式(见式(4.4-8)，得 应用KCL及电阻元件的VAR，可得4 电阻电压的零状态响应 uRzs(t)=4(3+iLzs(t)=2311e6t V t0,(3) 计算全响应。全响应等于零输入响应与零状态响应之和，即 iL(t)=iLzi(t)+iLzs(t)=2

28、e6t+2.75(1e6t) =2.754.75e6t A t0 uR(t)=uRzi(t)+uRzs(t)=8e6t+(2311e6t) =2319e6t V t0 画出iL(t)和uR(t)的零输入响应、零状态响应和全响应随时间的变化曲线，如图4.5-4所示。,图4.5-4 例4.5-1用图(二),4.6 求解一阶电路的三要素法 在4.5节我们讨论了具有非零初始状态的直流一阶RC电路，如图4.5-1所示，其电路方程是一阶常系数线性非齐次微分方程 该方程的完全解由齐次解和特解两部分组成，即,(4.6-2),(4.6-1),式中，=RC为电容电路的时间常数。当t=0+和t时，由式(4.6-2)

29、可得 uC(0+)=A+Us uC()=Us 于是有 A=uC(0+)uC() 将A和uC()=Us代入式(4.6-2)，得电容电压的全响应解为 ,(4.6-3),式(4.6-3)表明：电容电压是由uC(0+)、uC()和时间常数三个参量所确定的。这就是说，只要通过计算得到这三个参量，便可由式(4.6-3)直接写出电容电压uC(t)的解，而不必求解微分方程。对于RL电路中的电感电流，我们也不难得出类似的解答式 由此可以得出，直流一阶线性电路全响应的一般表达式为,(4.6-4),(4.6-5),【例4.6-1】 电路如图4.6-1所示，开关S在位置1时电路已处于稳态，t=0时开关S由1切换至2，

30、求t0时的电流i(t)。,图4.6-1 例4.6-1用图(一),解 由图4.6-1所示的电路可知，输入激励为直流15 V，且只有一个动态元件C，是直流一阶电路，故可用三要素法求解其响应。 (1) 确定t=0时刻的电容电压uC(0)。此时开关S在位置1，电路处于稳态，电容相当于开路。设电容电压为uC(t)的参考方向如图4.6-1 所示。由图4.6-1得 uC(0)=15 V (2) 根据换路定理，有 uC(0+)=uC(0)=15 V 作t=0+时的等效电路，如图4.6-2(a)所示。此时，开关S由1切换至2，电容元件用一个源电压等于uC(0+)的理想电压源代替。由图(a)可得,图4.6-2 例

31、4.6-1用图(二),(3) 作t时的等效电路，如图4.6-2(b)所示。这时电路已进入稳态，电容相当于开路，由此可得 (4) 求时间常数t=RC。R为换路后从电容元件两端看进去的戴维南等效电阻，作相应的等效电路如图4.6-2(c)所示，有,因此 t=RC=21=2 s (5) 将求得的响应初始值i(0+)、稳态值i()和时间常数t代入三要素公式(4.6-5)，得待求响应 i(t)随时间的变化曲线如图4.6-3所示。图中，虚线表示i(t)的暂态分量和稳态分量。,图4.6-3 例4.6-1用图(三),【例4.6-2】 电路如图4.6-4所示，开关S打开前电路已处于稳态，t=0时开关S打开，求t0

32、时的电压uR(t)。,图4.6-4 例4.6-2用图(一),解 图4.6-4所示的电路是直流一阶电路，所以可用三要素法确定其响应。 (1) 确定t=0时刻的电感电流iL(0)。此时开关S闭合，电路处于稳态，电感视为短路。设电感电流iL(t)的参考方向如图4.6-4所示，由图可得 iL(0)=2 A (2) 由换路定理得 iL(0+)=iL(0)=2 A 作t=0+时的等效电路，如图4.6-5(a)所示。此时开关S已打开，电感元件用一个源电流等于iL(0+)的理想电流源代替。由图(a)可知 uR(0+)=2iL(0+)=22=4 V,(3) 作t时的等效电路，如图4.6-5(b)所示。这时电路已

33、进入稳态，电感视为短路。对图(b)，应用叠加定理，有 (4) 求时间常数 。电阻R为换路后从电感元件两端看进去的戴维南等效电阻，作相应的等效电路如图4.6-5(c)所示。由图(c)得 R=4+2=6 于是,图4.6-5 例4.6-2用图(二),【例4.6-3】 图4.6-6所示的电路已处于稳态，已知电感初始储能iL(0)=0，在t=0时开关S闭合，求t0时的电感电流iL(t)。,图4.6-6 例4.6-3用图(一),解 (1) 题目已告知iL(0)=0，由换路定理，得 iL(0+)=iL(0)=0 (2) 作t时的等效电路，如图4.6-7(a)所示。此时电路处于稳态，电感视为短路，应用KVL，

34、有 3i1()+2i1()+5i1()=12 解得,图4.6-7 例4.6-3用图(二),【例4.6-4】 图4.6-8所示的电路已处于稳态，t=0时开关S闭合，已知uC(0)=6 V，求t0时的电压uC(t)和电流i(t)。,图4.6-8 例4.6-4用图(一),解 (1) 化简电路。为了分析和计算方便，将电路中含受控源部分用戴维南电路等效。求ab端口的开路电压uoc，作相应电路如图4.6-9(a)所示，由KVL得 (2+3)i+4i=18 解得 所以开路电压 uoc=3i+4i=7i=72=14 V,图4.6-9 例4.6-4用图(二),【例4.6-5】 电路如图4.6-10所示，t0时已

35、处于稳态，t=0时开关S闭合，求换路后t0时的电流i(t)。,图4.6-10 例4.6-5用图(一),解 (1) 确定t=0时刻的电容电压uC(0)和电感电流iL(0)。此时开关S未闭合，电路处于稳态，电容相当于开路，电感相当于短路，作t=0时刻的等效电路，如图4.6-11(a)所示。由图(a)可得,根据换路定理，有 iL(0+)=iL(0)=2 A uC(0+)=uC(0)=6 V (2) t0时换路，换路后的电路是一个直流二阶电路，如图4.6-11(b)所示。为了分析方便，将其等效化简并改画为图4.6-11(c)所示的电路。,图4.6-11 例4.6-5用图(二),4.7 一阶电路的阶跃响

36、应 4.7.1 阶跃函数 在动态电路的分析中，常引用阶跃函数来描述电路中的激励和响应。 单位阶跃函数的定义为 其波形如图4.7-1所示。,(4.7-1),图4.7-1 单位阶跃函数,将单位阶跃函数乘以常数A，可构成幅值为A的阶跃函数Ae(t)，表达式为 波形如图4.7-2(a)所示。若阶跃函数在t=t0处发生阶跃，则称其为延时阶跃函数，可表示为,(4.7-3),(4.7-2),图4.7-2 阶跃函数,阶跃函数可用来描述开关的动作。图4.7-3(a)所示的电路中，在t=0时，开关S闭合，直流电压源Us接入二端电路N，我们可用阶跃函数Use(t)来描述以上过程，如图4.7-3(b)所示。可见，单位

37、阶跃函数可以作为一种开关的数字模型，故e(t)有时也称为开关函数。,图4.7-3 用e(t)表示开关动作,运用阶跃函数和延时阶跃函数，可以较方便地用数学表达式来表示某些信号。例如，图4.7-4(a)所示的矩形脉冲信号f(t)，可以看成是图4.7-4(b)、(c)所示的两个阶跃函数的叠加，即 f(t)=f1(t)+f2(t)=Ae(t)Ae(tt0)=Ae(t)e (tt0),图4.7-4 用e(t)表示矩形脉冲信号,又如，图4.7-5(a)所示的分段常量信号f(t)，可用图4.7-5(b)、(c)、(d)所示的三个阶跃函数叠加合成，即 f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)=2e(t1)

38、3e (t2)+e (t3),图4.7-5 用e(t)表示分段常量信号,此外，单位阶跃函数还可以用来“起始”任一函数f(t)。设f(t)对所有时间t都有定义，如果要在t=t0时刻“起始”它，则可表示为 其波形如图4.7-6所示。,(4.7-4),图4.7-6 单位阶跃函数的“起始”作用,4.7.2 阶跃响应 电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称为阶跃响应，用s(t)表示。 齐次性： 若 f(t)y(t) 则 kf(t)ky(t) 叠加性： 若 f1(t)y1(t) f2(t)y2(t) 则 f1(t)+f2(t)y1(t)+y2(t) 线性特性： k1f1(t)+k2

39、f2(t)k1y1(t)+k2y2(t) (4.7-5),对于时不变电路，若输入激励是f(t)，产生的零状态响应是yzs(t)，则当输入激励延迟一段时间t0为f(tt0)时，产生的零状态响应也同样延迟t0为yzs(tt0)，其波形不变，如图4.7-7所示。电路的时不变性的公式化表示如下： 若 f(t)yzs(t) 则 f(tt0)yzs(tt0) (4.7-6),图4.7-7 电路的时不变性,由上述可知，在线性时不变动态电路中，零状态响应与激励的关系满足齐次性、叠加性和时不变性。若单位阶跃函数e(t)激励下的零状态响应(即单位阶跃响应)为s(t)，则在延时阶跃函数Ae (tt0)激励下的响应应

40、为As(tt0)，其公式化 表示如下： 若 e (t)s(t) 则 Ae (tt0)As(tt0) (4.7-7),【例4.7-1】 电路如图4.7-8(a)所示，输入激励us(t)的波形如图4.7-8(b)所示，已知iL(0)=0，试求电路的零状态响应i(t)。,图4.7-8 例4.7-1用图(一),解 (1) 将输入激励us(t)分解为阶跃函数之和。由图(b)知，us(t)可表示为 us(t)=2e(t1)2e (t3) (2) 应用三要素法求单位阶跃函数e (t)激励下的单位阶跃响应s(t)。作相应电路如图4.7-9所示。因iL(0+)=iL(0)=0，故在e (t)作用下，容易求得三个

41、要素分别为,图4.7-9 例4.7-1用图(二),将其代入三要素公式，得单位阶跃响应 (3) 根据电路的线性时不变性，求出各阶跃函数分量激励下电路的零状态响应。由式(4.7-7)可得,(4) 由叠加定理得us(t)激励下电路的零状态响应i(t)为 其波形如图4.7-10所示。,图4.7-10 例4.7-1用图(三),【例4.7-2】 电路如图4.7-11所示，已知输入激励is=10e(t2) A，uC(0)=15 V，求电压uR(t)。,图4.7-11 例4.7-2用图(一),解 (1) 先求零输入响应uRzi(t)。此时输入激励应令为零(将is(t)电流源开路)，由图4.7-11可得 时间常

42、数 t=RC=(2+1)1=3 s 将上述计算结果代入零输入响应的一般形式(4.3-11)，有,(2) 再求阶跃输入is(t)=10e(t2)激励下电路的零状态响应uRzs(t)。 其波形如图4.7-12所示，在t=2 s时电压uR是不连续的。,图4.7-12 例4.7-2用图(二),【例4.7-3】 电路如图4.7-13所示，当电路的初始状态为零，is(t)=4e(t) A时，iL(t)=(22et)e(t) A， ，试求当iL(0)=2 A，is(t)=2e(t) A时的响应iL(t)和uR(t)。,图4.7-13 例4.7-3用图,*4.8 二阶电路的时域分析 4.8.1 RLC串联电路

43、的零输入响应 根据零输入响应的定义，电路无外加输入激励时，响应仅由初始储能所产生。图4.8-1所示为 RLC串联放电电路，设开关S闭合前电容C已充电，同时为了简化计算，设iL(0)=0。当t=0时开关S闭合，电容将通过电阻和电感放电，放电过程即为该电路的零输入响应。根据KVL，有 uC+uR+uL=0 (4.8-1),图4.8-1 RLC串联电路的零输入响应,由元件的伏安关系知 将它们代入式(4.8-1)，整理得,(4.8-3),(4.8-2),这是一个以uC为变量的二阶常系数线性齐次微分方程，求解此方程需要知道两个初始条件，即uC(0+)和uC(0+)。uC(0+) 为电容元件的初始状态，u

44、C(0+)可由式(4.8-2)中的第一个式子导出，写为 由微分方程理论可知，齐次微分方程的解答形式将视特征根性质而定。表4.8-1列出了特征根s1和s2为不同值时相应的齐次解形式，其中Ai为积分常数，由初始条件确定。,(4.8-4),表4.8-1 二阶微分方程的齐次解,对式(4.8-3)，特征方程为 LCs2+RCs+1=0 解出特征根 由式(4.8-5)可看出，特征根仅与电路结构和元件参数有关，称之为电路的固有频率。为简便起见，令,(4.8-5),其中，a称为衰减常数，它决定了响应的衰减特性；w0称为RLC串联电路的谐振角频率。这样式(4.8-5)可写为 1. aw0，即 ，阻尼情况 此时，

45、固有频率 为两个不相等的负实根，由表(4.8-1)得齐次微分方程式(4.8-3)的解答形式为,(4.8-6),(4.8-7),(4.8-8),将A1、A2代入式(4.8-8)，得电容电压： 回路电流为 图4.8-2画出了uC和i随时间变化的曲线。,(4.8-9),(4.8-10),图4.8-2 过阻尼情况下的uC和i波形,由于电流的初始值i(0+)和稳态值i()均为零，因此在整个放电过程中，电流i(t)将在某一时刻tm达到最大值。tm的值可由 求极值确定，即令 上式可改写为 解得,(4.8-11),2. aw0，即 ，欠阻尼情况 此时，固有频率 为一对共轭复根，其中 。由表(4.8-1)得式(

46、4.8-3)的齐次解形式为 uC(t)=eat(A1 coswdt+A2 sinwdt)=Aeat cos(wdt+j) (4.8-13),(4.8-12),将A和j代入式(4.8-13)，得电容电压 将 代入上式，得,(4.8-15),(4.8-14),图4.8-3画出了uC和i随时间变化的曲线。,图4.8-3 欠阻尼情况下的uC和i波形,3. aw0，即 ，临界阻尼情况 此时，固有频率 s1，2=a (4.8-16) 为两个相等的负实根。由表4.8-1可知，式(4.8-3)的齐次解形式为 uC(t)=(A1+A2t)ea t (4.8-17),将A1、A2代入式(4.8-17)，得电容电压 uC(t)=U0(1+at)eat t0 (4.8-18) 回路电流,(4.8-19),4.8.2 RLC串联电路的零状态响应 在标定的电压、电流参考方向下，根据KVL，有 uR+uL+uC=Us (4.8-20) 将元件的伏安关系,代入式(4.8-20)，整理得 非齐次微分方程的特解uCp具有与输入激励相同的函数形式。在直流激励下，特解为 uCp=Us 于是可写出式(4.8-21)的完全解,(4.8-21),(4.8-22),将A1、A2代入式(4.8-22)，得二阶非齐次微分方程式(4.8-21)的完全解 回路电流为,(