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1、第一节 定积分的概念与性质,二、 定积分的概念,一、 定积分问题实例分析,三、定积分的性质,四、小结,定积分是积分学的又一个重要概念，它在物理、力学、经济学等各学科中都有广泛的应用。下面我们通过几个典型事例引入定积分的概念,一、定积分问题实例分析 1曲边梯形的面积 设 在区间 上非负 且连续，由曲线 及直 线 和 所围成的 平面图形（如图6-1）称为曲边 梯形，其中曲线弧称为曲边， x轴上对应区间 的线段称为 底边。,如果把区间 划分为许多小区间，在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替同一个小区间上的窄曲边梯形的变动的高，那么，每个窄曲边梯形的面积就可近似的看作这样得到的窄矩形。 基于这一
2、事实，我们通过如下的步骤来计算曲边梯形的面积：,近似,作和,逼近,分割,第一步：分割.在区间 内任意插入n-1个分点： , 把区间 分割成n个小区间 。 相应的把曲边梯形分割成n个窄曲边梯形。,第二步：近似.即“以直代曲”，在小区间 上任取一 点 ，以 为高，以 为底的小矩形面积 作为窄曲边梯形 面积的近似值，从而在 上 以直线 代替曲线 ，有,第三步：作和.把所有小矩形面积相加，得整个曲边梯形面积A 的近似值，即,第四步：逼近.显然，随着区间 内的分点不断增加，第三步 所的近似值的精确度将不断提高，并不断逼近面积的精确值。记 最大的小区间长度为 ，即 并令 取 上述和式极限，就得到了曲边梯形
3、的面积,2变力沿直线做功 设质点m在一个与Ox轴平行，大小为F的力作用下，沿Ox轴从点 x=a移动到点x=b,求该力所作的功。,问题的困难在于质点在不同位置上，所受到的力大小不同，类 似于曲边梯形面积的分析，采取以下步骤：,近似,作和,逼近,分割,第二步：近似.即“以不变代变”，在小区间 上任取一 点 ，以该点处的力 代替小区间 上的变力 ，则区 间 上所作的功 有近似值,第一步：分割.在区间 内任意插入n-1个分点： , 把区间 分割成n个小区间 。小区间 的长度分别记为,第三步：作和. 在区间 上所作的功W的近似值是所有小区间 上所做功的近似值之和，即,第四步：逼近.让 区间内的分点不断增
4、加，令最大的小区间长 度 为则上述和式极限，就是变力 使质点 m从点x=a移到点x=b所作的功。,二、 定积分的概念 上面两个问题，一个是面积问题，一个是做功问题，具 体内容虽然不同，但是描述这两个量的数学模型是完全一 样的，都是“和式”的极限。可以用这一方法描述的量在各 个科学技术领域中是很广泛的，抛开这些问题的具体意义 ，抓住他们在数量关系上共同的特性与本质加以概括，我 们可以抽象出下述定积分的定义。,定义 设 为定义在区间 上的有界函数，在 中任意插入 n-1个分点： ， 将区间 分为n个小区间 ，小区间的长度分 别记为 ，在小区间 上任取一点 ， 作和式 若当 时，上述和式极限存在，且
5、与区间 的分 法无关，与 的取法无关，则称此极限为函数 在区间 上 的定积分，记为 ，即,其中，x称为积分变量， 称为被积函数， 称为被积表达 式， 称为积分区间，a为积分下限，b为积分上限。,利用定积分的定义，前面所讨论的两个实际问题分别表述如下：,定积分是一种和式的极限，其值是一个实数，其大小与被积 函数 和积分区间 有关，而与积分变量的记号无关，如 ， ， 等都表示同一个定积分，这是因为 和式 中变量采用什么记号与其极限无关。,对于定积分的定义，还应注意以下几点：,(2) 定积分的几何意义 若在 上 ，则 的值表 示以 为曲边，与直线x=a,x=b,y=0 所围曲边梯形的面积（如图6-2
6、）。,若在 上 ，则 为负值，如图6-3，其绝对值是以 为曲边，与直线 x=a,x=b,y=0所围曲边梯形的面积。,若在 上 有正有负，则 的值表示由 ，x=a,x=b和 y=0所围图形在x轴上方的面积减去 x轴下方的面积所得之差（图6-4)。,y,a,b,O,x,图6-4,(3) 定义中规定ab这一限制，对定积分的应用带来不便，如变 力 把质点m从点a移动到点b是作正功，则从点b移动到点 a是作负功。由此，我们补充规定：当ba时， 当b=a时，,(4) 如果函数 在区间 上的定积分存在，即和式极限存 在，就说 在区间 上是可积的。怎样的函数才可积呢？ 要求和式极限存在，且与 的分法无关，与
7、的取法无关， 这样一个和式极限问题比一般极限要复杂得多。这里仅指出： (i) 在区间 上有界是 在区间 上可积的必要条件； (ii) 在区间 上连续是 在区间 上可积的充分条件； 在区间 上只有有限个间断点的有界函数是 在 区间 上可积的充分条件；,证 由定积分的定义， 是常数，积分和式 所以 特别的，当A=1时， 。,例1 试证明 ，其中A为常数。,例2 利用定积分的定义计算定积分 解 因为被积函数 在积分区间 上连续，而连 续函数一定可积，所以定积分的值与区间 的分法及点 的取法无关，因此，为了便于计算，不妨把区间 分 为n等份，这样，每个小区间 的长为 ， 分点为 ，取 ，由此得到积分和
8、式,当 ，即 时(现在 )，上式两端取极限即得,例3由定积分的几何意义，求 解 由于在区间 上， (见 图6-5)，因此按定积分的几何意义，该定积 分表示由“曲边”y=x-2和直线x=0,y=0所围图 形面积的负值，该图形是底为2，高为2的直 角三角形形，其面积为 ，故,三、定积分的性质 按定积分的定义，即通过积分和的极限求定积分是十分困难的，必须寻求定积分的有效计算方法，下面介绍的定积分的基本性质有助于定积分的计算，也有助于对定积分的理解。假定函数在所讨论的区间上可积，则有,性质1,(k为常数),性质2,证 由 ， 得 根据极限的性质， 必有 故 .,只需令 ，利用性质4及性质2即可得证.,
9、性质5,设ab且在区间 上 ，则,证 由 ，利用性质5得 即 .,性质7(定积分中值定理)设 在闭区间 上连续，则在区 间 上至少存在一点 ，使得,性质6,证 由闭区间上连续函数的最大之和最小值定理， 存在数M和m,使 根据性质5和例1， 有 即 或 可见数 介于m和M之间，根据闭区间上 连续函数的介值定理，在闭区间 上至少存在一 点 ，使 ，即 ，,定积分的这些性质，由定积分的几何意义去 理解，都是比较直观的，如定积分中值定理 在几何上表示这样一个简单的事实：以连续 曲线 为曲边的曲边梯 形面积，等于以 为高、 为底的矩形 的面积，如图6-6。 称为连续函数 在区间 上的平均值。,或,例4 图5-7中，阴影部分为以原点为圆心以R为半径的半圆，试用定积分表示，并计算。,解 阴影部分的面积是圆 在x轴以上的部分， 曲边 由定积分的几何意义及性质2，图中阴影部分的面积A与半圆的面积相等故,例5 试比较 与 大小.,解 由幂函数性质可知，当 时， 故由性质5,例6 证明 证 在 上最大值为 ，最小值为2 所以,小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,将和式极限,表示成定积分.,例,