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1、第二章 极限与连续,极限概念是贯穿整个微积分的基本概念，微分运算、定积 分运算、级数运算等高等数学的运算的实质即是某种极限运算。 极限观念的建立使我们从初等数学走向了高等数学。,对于极限的思想，先看两个例子： 古代哲学家庄周所著的庄子. 天下篇引用过一句话： “一尺之棰，日取其半，万世不竭”。,我国古代魏末晋初的杰出数学家刘徽“ 割圆术 ” 求圆的 面积和周率 的方法 :“ 割之弥细 , 所失弥小,割之又割 , 以至于不可割 ,则与圆合体而无所失矣 ”它包含了“用已知 逼近未知, 用近似逼近精确”的重要极限思想 .,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,播放,
2、(魏晋)刘徽,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416,一、数列的定义,例如,第一节 数列的极限,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是自变量取正整数的函数：,定义:,定义:,例如,是单调递增数列；,是单调递减数列；,没有单调性.,播放,二、数列极限的定义,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过上面演示实验的观察:,例1,解,解,解,问题:,“无限接近”意味着什么?和“接近”有何区别？如何用数学语言刻划它.,如果数列
3、没有极限,就说数列是发散的.,注意：,几何解释:,其中,即在a的任意小的邻域里都聚集着数列的无穷多项， 只有有限个落在外面.,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例：,证,所以,注意：,例：,证,故,2. 收敛数列一定有界.,证: 设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,有,三、收敛数列的性质,1. 收敛数列的极限唯一.,3. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .,注: 此性质反过来不一定成立 .,例如,数列,虽有界但不收敛 .,注:,若数列有两个子数列收敛于不同的极限，,则原数列一定发散 .,例如，,发散 !,内容小结:,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 收敛数列的性质:,唯一性 ; 有界性 ;,收敛数列的任一子数列收敛于同一极限,课后预习函数的极限、单侧极限的概念,作业:,P48. 2（1）（2）（3）（4）,