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1、电 路 分 析 10.6 二阶电路微分方程的建立 RLC串联电路 初始值为： 由KVL： 选 iL 作变量： 求一次导数，得： 二阶微分方程 初始条件 令左式 t=0, 得： 1 电 路 分 析 RLC串联电路 初始值为： 由KVL： 选 uC 作变量： 二阶微分方程 初始条件 建立网络方程 2 电 路 分 析 RLC并联电路 初始值为： 由KCL： 选 uC 作变量： 二阶微分方程 初始条件 建立网络方程 求一次导数，得： 令左式 t=0, 得： 3 电 路 分 析 RLC并联电路 初始值为： 由KCL： 选 iL 作变量： 二阶微分方程 初始条件 建立网络方程 4 电 路 分 析 两网络及
2、方程的对偶关系 对偶关系 对偶关系 5 电 路 分 析 网络的固有频率 lRLC串联电路： u两个微分方程的特征方程都为： 令 特征根：称为网络的固有频率或自然频率。 lRLC并联电路： u两个微分方程的特征方程都为： 令 特征根：称为网络的固有频率或自然频率。 对偶关系 对偶关系 6 电 路 分 析 10.7 零输入响应 形式之一：过阻尼 特征根： 若即：RLC串联电路 RLC并联电路 S1，S2 是不等的负实根。 零输入响应的通解为： 7 电 路 分 析 零输入响应的四种形式之二：临界阻尼 特征根： 若即：RLC串联电路 RLC并联电路 S1 = S2 = - 是重根。 零输入响应的通解为
3、： 8 电 路 分 析 零输入响应的四种形式之三：欠阻尼 特征根： 若即： RLC串联 RLC并联电路 一对共轭复数。 零输入响应的通解为： 令： 其中：为衰减系数， d为振荡频率。 衰减振荡 9 电 路 分 析 零输入响应的四种形式之四：无阻尼 特征根： 若即： RLC串联 RLC并联电路 一对共轭虚数。 零输入响应的通解为： 令： 波形是等幅振荡的 10 电 路 分 析 例题 1 电路如图所示，它的固有 响应的性质是_。 B （A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼 11 电 路 分 析 例题 2（自测题10-20） 如图所示电路中的二极管是理想的，其中_电路中的 二极管有
4、时能导通，_电路中的二极管不会导通。 只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。 A B 可见，图B为欠阻尼，图A为过阻尼。 S + - 图B S + - 图A 12 电 路 分 析 例题 3 （自测题10-21） 二阶电路的电容电压 uC的微分方程为 特征方程为： B此电路属_情况。 （A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼 可见特征根为一对共轭复数。故选B。 13 电 路 分 析 10.8 二阶电路电路的全响应 已知： 由KVL： 这是二阶非齐次线性常系数微分方程。 通解为： 通解特解齐次解， 即： 特解为稳态解， 设特征根为：S1，S2 则齐次解为： 故通解为： 14 电 路
5、 分 析 全响应的四种情况 按特征根的不同，有四种情况： (1) 过阻尼： (2) 临界阻尼： (3) 欠阻尼： (4) 无阻尼： 的曲线如图所示 ： 15 电 路 分 析 二阶电路的解法 l 主要研究RLC串联电路和RLC并联电路；由于这两个基本 电路如何选变量、建立电路方程、求解过程都有详细的结 论。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用 已有的结论进行分析计算。 l 二阶电路的响应形式由特征根确定，即由R与L、C的关系 确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常 数。 l 一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方 程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变
6、换 方法求解就简单了。放在信号与系统课程中学习。 16 电 路 分 析 例 10-15 电路如图所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。 在t=1s时，开关接至b。已知uC(0+)=10V以及 t 1 时，iL=0，试计算uC(t)，t 0+，并绘波形图。 解：在 0 t 1s，如图为RC放电电路 =RC=1s 故有 uC(t)=10e-t V t 1s: 初始值为 uC(1+) = uC(1-)=10e-1 V iL(1+) =0 通解：R=0，无阻尼情况。特征根为 s1,2=j1 uC(t)=Kcos(t-1)+ 代入初值：10e-1= Kcos 0 = -Ksin 解得： =0 K=1
7、0e-1 所以， uC(t)=10e-tcos(t-1) V t 1s 波形如图所示。 17 电 路 分 析 用MATLAB求解微分方程 l 例10-16的微分方程为 初始值为 函数 dsolve( ) uc=dsolve(0.25*D2u+5*0.25*Du+u=24,u(0)=4,Du( 0)=16) 18 电 路 分 析 用MATLAB求解微分方程 %R=5 uc1=dsolve(0.25*D2uc+5*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=4,Duc(0)=16) ic1=0.25*diff(uc1) %R=4 uc2=dsolve(0.25*D2uc+4*0.25*Duc+uc=
8、24,uc(0)=4.8,Duc(0)=19. 2) ic2=0.25*diff(uc2) %R=1 uc3=dsolve(0.25*D2uc+1*0.25*Duc+uc=24,uc(0)=12,Duc(0)=48 ) ic3=0.25*diff(uc3) 19 电 路 分 析 用MATLAB求解微分方程 % 电压波形 figure(1) t=linspace(0,9,300); u1=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs(uc3); plot(t,u1,t,u2,t,u3,linewidth,2),grid title(电容电压的波形),xlabel(Time(sec
9、),ylabel(uc(V) % 电流波形 figure(2) i1=subs(ic1);i2=subs(ic2);i3=subs(ic3); plot(t,i1,t,i2,t,i3,linewidth,2),grid title(电容电流的波形),xlabel(Time(sec),ylabel(ic(A) 20 电 路 分 析 用MATLAB求解微分方程 l 计算结果 uc1 = 24-64/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t) ic1 = 16/3*exp(-t)-4/3*exp(-4*t) uc2 = 24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*t ic2
10、 = 24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*t uc3 = 24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15(1/2)*t)+28/5*15(1/2)*exp(- 1/2*t)*sin(1/2*15(2)*t) ic3 = 12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15(1/2)*t)+4/5*15(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15(1/2)*t) 21 电 路 分 析 用MATLAB绘波形 22 电 路 分 析 用MATLAB绘波形 23 电 路 分 析 课堂练习 l 自测题10-18 l 自测题10-19 l 自测题10-22 l 自测题10-23 l 自测题10-24 24