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1、RV减速机动力学建模方法研究王 刚 张大卫 黄 田 摘要:本文首先对摆线针轮传动进行了简单的受力分析,然后利用Hertz公式建立了RV减速机摆线针轮传动副的动力学模型,又利用石川公式建立了直齿轮传动副的动力学模型,在此基础之上,建立了RV减速机整机动力学模型。 关键词:RV减速机,动力学模型。99-3-19 A study on the method of dynamic modelling for RV reducerWang Gang(Tianjin University) Abstract:Firstly this paper put forward a simple force bea
2、ring analysis on the transmission of cycloid-needle wheel and then，by the use of Hertz formula，established a dynamic model for the transmission pair of cycloid-needle wheel of RV reducer and again，utilizing Shi Chuan formula，set up a dynamic model for the transmission pair of spur gearsBased on this
3、 foundation the dynamic model of the whole RV reducer is built Key words: RV reducer，Dynamic modelFig7 Tab0 Ref6“Jixie Sheji”82751 前言 RV减速机是在摆线针轮转动基础上发展起来的一种新型减速机, 与以前的减速机相比,其优越性是非常明显的:(1)减速比大,体积小,效率高。(2)故障少,寿命长,耐冲击和超负荷。(3)运转平稳,无噪音,性能稳 定。(4)输入输出轴同轴线,结构紧凑。(5)惯性力矩小,结构简单,便于安装、维修。RV减速机比单纯的摆线针轮行星传动具有更小的体
4、积和更大的过载能 力,重量更轻,输出轴刚度更大,并且,由于是两级传动,因此具有更大的传动比,被广泛应用于机器人传动中。由于它的这些优点,因此在国内外受到广泛重视, 但是,由于RV减速机的发展时间比较短,因此研究比较少,尤其国内,在此方面更是刚刚起步。90年代初,哈尔滨工业大学毛建忠等人开始研究用渐开线取代内 外摆线齿轮以实现RV传动;1993年,南京船舶雷达研究所扬锡和等人对RV传动进行了受力分析。这次,国家把RV减速机研究纳入863计划,通过对日本 的样机进行研究,并根据国内工业的发展情况,目的是制造出国产的RV减速机。 在RV减速机的关键技术中仍存在着许多问题,如:目前国内尚无可资利用的数
5、学模型;如何降低RV减速机的加工成本;目前尚无统一完善的技术标准来评价 RV减速机性能等等。本文主要阐述了一种RV减速机动力学建模方法,以便研究RV减速机的频率特性,解决减速机共振引起的机器人颤抖问题。2 RV减速机动力学建模2.1 摆线针轮传动的受力分析 在摆线针轮传动中,转臂的转向与摆线轮的转向相反。对于输出件摆线轮,其角速度g与其输出力矩Tg方向相反(如图1所示)。在转化机构中针轮的转向与摆线轮相同,且可认为针轮是输入件。所以在y轴右面,针轮与摆线轮有离开的趋势,它们之间没有力的存在。在y轴左面的针轮与摆线轮互相啮合,针齿作用于摆线轮的力F1、F2、F3各力作用线是沿啮合线的公法线方向,
6、且交于节点P。图1 RV传动简图 为了确定作用力Fi的大小,假定摆线轮在此瞬时不动,对针轮施加一个顺时针方向的扭矩TgTg。在该力矩的作用下,相啮合齿间产生变形。设Tv为输出轴上的阻力矩,因为有两个摆线轮同时承受,所以每一个摆线轮上的阻力矩为TgTv2。但考虑到摆线轮的制造误差和针齿的制造、安装误差而引起两个摆线轮间载荷分配不均匀,故一般把Tv增大10%,即取Tg055Tv,所以可得: （1）式中：Tv输出轴阻力矩; Fi第i个接触点所受的力; Zg摆线轮齿数;S1K212K1cosbi； rb滚圆半径; K1短幅系数;K1 Rz针轮半径; bi针齿中心到滚圆中心的连线与y轴夹角。2.2 齿廓
7、曲线的曲率半径 根据摆线形成原理,可得到摆线轮的理论齿廓曲线的参数方程为: （2）式中：K1短幅系数; Zb针轮齿数; Rz针轮半径; b针轮相对于摆线轮的转角。 根据微分中求曲率半径的公式和式(2),可求得摆线轮理论齿廓曲线的曲率半径0: （3）式中: 将以上各式代入,且bZbbbZgb，整理后得: （4）式中:b滚圆的自转角度。 当求得的0值为正值时,表示摆线轮齿廓曲线向内凹;当求得的0值为负值时,表示齿廓曲线向外凸。因为摆线轮的实际廓线是理论廓线的等距曲线,所以实际齿廓曲线的曲率半径b为: （5）式中:rz针齿套半径。2.3 摆线针轮啮合刚度 摆线针轮工作时理论上是通过线接触传递的。考虑
8、了弹性变形后,其接触处弹性变形实际上是一很小的面区域。 对于摆线与针齿的啮合,可以假设接触点两弹性体变形为直线,弹性变形区长为2,宽为b,如图2所示,因此可以按Hertz公式进行计算:图2 摆线针轮传动受力分析 （6）式中:（因摆线轮齿廓曲线向外凸时曲率半径为“”）; bi摆线轮接触点处曲率。 对与摆线轮与针轮,其零件材料一样,因此取:12 E1E2E化简(6)式得: （7） (1)单个针齿的刚度 由图2可得:（rztz）2a2r2z（8）式中:tz针齿轮径向挤压变形量。 化简得: （9） 显然取负号合理,即: （10） 以为变量,利用泰勒公式,在0处展开,忽略高阶无穷小以后,可得: （11）
9、所以可得单个针齿刚度: （12） 将i代入式(12)中,并化简得: （13）式中：S1K212K1cosb; TK1（1Zb）cosb（1ZbK21） (2)单个摆线齿的刚度 由于a很小,所以在a范围内可近似认为是一段圆弧,则可得: （bitb）222bi（14）式中:tb摆线齿径向挤压变形量。显然取负号合理,即: （15） 以为变量,利用泰勒公式,在0点处展开,忽略高阶无穷小以后,可得: （16）所以单个摆线齿刚度: （17） (3)建立单对齿接触刚度模型 图3表示了单对齿接触的力学模型,因此可得单对齿啮合时刚度:图3 摆线轮与针齿挤压变形图 （18） 代入Kbi、Kzi并化简得: （19）
10、图4 单对齿接触模型 (4)建立摆线轮与针齿啮合刚度模型 考虑到摆线轮加工误差、装配误差等导致的个别齿不能正确啮合的情况,因此在式中加入调整系数（01），应根据实验确定。用i表示啮合点数,则摆线针轮啮合总刚度为: Kbz（Ks1Ks2Ksi）（20） 由于存在两个摆线轮,且相差180,每个摆线轮理论上分别与 针轮的一半相啮合,因此,在任一瞬间,针轮的全部齿都处于受力状态,保证了运转的平稳和整体的刚度。虽然摆线轮与针齿的啮合刚度是随时间变化的量,但考虑 到变化很小,因此可以将摆线针轮的啮合刚度看作是不随时间变化的,从而简化了模型。2.4 直齿轮啮合刚度 根据石川公式,将直齿轮看作是如图5所示梯形
11、和矩形的组合,因此,一个轮齿在载荷作用点沿啮合线方向的变形量用下式计算:图5 摆线针轮接触模型 BrBtSG（21）式中：Br长方形部分弯曲变形量: Bt梯形部分变形量;其中: S剪切力产生的变形量： G基础部分倾斜产生的变形量： 图6 直齿轮近似齿形 根据轮齿的几何形状,可得如下关系: （22） （23）式中：rr齿根圆半径;rk齿顶圆半径; x啮合角;rx载荷作用点和齿轮中心的距离。 一对轮齿啮合时,各个轮齿在载荷作用点沿啮合线方向变形量之和为: 12PV（24）式中：PV齿面接触部分的变形量; 1、2相啮合两个轮齿的值。 （25）因此,可得单对齿轮啮合的刚度: （26）式中: KBr1、
12、KBt1、KS1、KG1与KBr2、KBt2、KS2、KG2的区别在于载荷作用点和齿形参数不同。 根据ISO公式草案,单对齿啮合刚度可近似用节点啮合刚度代替,即在公式中用节点代替载荷作用点,从而简化了上式的计算,方便了工程中的求解。并且,根据ISO公式草案,直齿轮的总刚度可近似表示为: KdKs（065a035）（27）式中：a重合度; Ks单齿啮合刚度。25 RV减速机整机刚度及振动方程 在前面的基础上,以针齿壳为输出件,建立RV60A减速机的简化动力学模型,如图6所示。 因此,可得RV整机刚度矩阵K77:K773KdR21KdR1R2KdR1R3KdR1R4000（28）式中：Kn1直齿轮
13、与摆线轮间轴的扭转刚度; Kn2两摆线轮间轴的扭转刚度; Kd直齿轮间的啮合刚度; Kbz摆线针轮间的啮合刚度; R1输入齿轮分度圆半径; R2R3R4直齿轮半径; Rz针轮半径; rz针齿半径。图7 RV减速机动力学模型 则该系统的自由振动方程为: J7771C7771K7771071（29）式中：J77转动惯量矩阵; C77阻尼矩阵;3 结论 (1) 本文首先进行了摆线针轮传动的受力分析,并根据摆线形成原理求出了啮合点处曲率半径,在此基础之上,利用Hertz公式建立了摆线轮与针轮的动力学模型,求出了摆线针轮的啮合刚度。 (2) 利用石川公式建立直齿轮的动力学模型,求出了直齿轮的啮合刚度。
14、(3) 建立了RV减速机的整机动力学模型,求出了整机刚度矩阵,并建立了该系统的振动方程。 国家863基金项目作者单位：天津大学机械学院 天津 300072) 刘继岩(天津技术师范学院)参考文献 1 日高照晃,石田武.行星齿轮传动专题资料.中国矿大研究生部译,1988,10 2 饶振纲.行星传动机构设计(第二版).国防工业出版社,1994,6 3 罗名佑.行星齿轮机构.高等教育出版社,1984,3 4 沈阳机电学院机械设计基础教研组.摆线针轮行星传动(译文集).科学出版社,1977,8 5 姚希梦等.弹塑性力学.机械工业出版社,1987,3 6 日本机械学会.齿轮强度设计资料.机械工业出版社,1984,101998-10-21收到稿件