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1、1. 任一个三位数连续写两次得到一个六位数. 试证：这个六位数能同时被7、11、13整除.2. 证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除.3. 某个七位数2000能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？4. 在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。5. 求能被26整除的所有六位数 (x1991y)。6. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？7. 已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31. 求这两个自然数。8. 已知两个自然数的和是54，并且它
2、们的最小公倍数与最大公约数之间的差为114，求这两个数。9. 将一块长3.57米、宽1.05米、高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块.问当正方体的边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大？（不计锯时的损耗，锯完后木料不许有剩余）10. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但其中任意两个数都不互质。数的整除参考答案：1.提示：该数能被1001整除2.略3.8，8，04.8650205.819910、119912、719914和619918v 排大小: 在数学小组活动的时候，张老师出示4 张卡片，每张卡片上各写着一个分数，这4 个分数是：张老师说：“谁能迅速、正确
3、地把它们从小到大排列起来？”分析与解 这是一道比较分数大小的题目。一般情况下，对于分母不同的分数，可以通分或把分数化成小数后再比较它们的大小。但是不难看出，这几个分数，无论是通分或化成小数，都是很麻烦的。如果你认真观察这几个分数，就可以发现它们有这样一个共同的特点，即每个分数的分子都比分母少2。这样就可以找到一个新的比较方法：（注：上面倒数第二个不等式，因为分子相同，分母越大，这个分数就越小）v 小学组第60题。石家庄张硕、商世平提供。推荐理由：估算能力要求较高，这在竞赛中十分重要。在数30，3，0.3和0.03中，最接近算式计算结果的数是哪一个？被除数约为300的5次方；除数约为30乘400
4、的4次方约等于，更接近于。故答案为。v 2004乘以自然数a得到一个平方数，求a的最小值。解答：一个平方数的相同质因数的个数一定是偶数。2004*a=2*2*3*167*a其中质数2有偶数个质数3和167有奇数个所以a=3*167=501个v 求一个能被11整除的，首位数字是7，其余各位数字各不相同的最小六位数。 一个数如果奇数位上数的和减去偶数位上数的和的差，能被11整除，这个数就能被11整除，701239符合条件。v 题目来自学生家长送我的一本书，白皮的，全名2007(内部使用)，“华杯赛”组委会办公室2007年出品。以下几个题目我在做的过程中发现不错，摘录出来，和大家共享。1。小学组第5
5、3题。福州郑应文供题。推荐理由：最笨的办法也能解决，但如果方法恰当，整个过程就很节省。证明：任意3个自然数，通过适当的四则运算，一定可以得到末位为0的数。2。小学组66题。都江堰陈子红提供。推荐理由：逻辑思维能力要求较高，很有意思。缺点：有现成的结论，希望大家不要去套那个结论。求一个6位数，它乘以2、3、4、5、6后仍是由原六位数的六个数字组成的六位数。第一题: 看看这种方法考虑mod10只讨论个位数: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0首先排除5和0,即 :个位数一定不能是5和0,因为其它两个数不能有偶数,也不能同时是奇数,这两种情况与5合作肯定会出0的.现在还剩下: 1,2,3,4,
6、6, 7,8,9也可以写成1,2,3,4，-4,-3,-2,-1考虑代数和，例如加-3想当于减3，减-3想当于加3，问题相当于在1,2,3,4这四个数中任取三个都可以形成0或个位数为0的,这个显然成立，所以上述命题得到证明.第二题：142587 首先假设所求六位数表示为abcdef 根据题意可知a,b,c,c,d,e,f是互不相等的6个数字，且都不为0，其中最高位a=1。 由abcdef*5的结果末位不为0得a,b,c,c,d,e中有一个为5，并且f是奇数。但f不为5（因为abcde5乘以2，4，6结果末位都是0）。 那么f=3或7或9。在分别乘以 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 看看末位数
7、字：3*3 ，6 ，9 ，2 ，5 ，8 （6个不同数字，这还没算1） 7* 7 ，4 ，1 ，8 ，5 ，2（包括1有6个不同数字） 9* 9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 （6个不同数字，这还没算1） 所以 f=7。且这6个数字为 1，2，4，5，7，8 因为1bcde7乘以2是2*4，而乘以3是4*1，所以 b=4。即14cde7。 那么14cde7乘以2是28cde4，所以 c=2。即142de7。 那么只有两中情况： 142587（舍弃）；因为142587*3=427761 或 142857（正确）。 所以142857是唯一的解。v 证明：任意3个自然数，通过适当的四则运算，一定可以
8、得到末位为0的数。我把题目的情况减少到讨论32种情况，如果以下32种情况一旦成立那么题目就证明了：而这32种很快就知道是可以的：他们分别是：1 （2 4、2 6、4 8、6 8） 2 （1 3、1 7、3 9、7 9）3（2 4、2 6、4 8、6 8）4 （1 3、1 7、3 9、7 9）5 （2 4、2 6、4 8、6 8）6 （1 3、1 7、3 9、7 9）9 （2 4、2 6、4 8、6 8） 8 （1 3、1 7、3 9、7 9）理由：考虑这三个数的各位（设各位分别为，a,b ,c)一、当其中的2个或者3个相等时：只要相等的相乘再乘第三个末尾就出0二、当a,b ,c都不相同时：（1
9、）有a=0时，a*b*c的末尾一定为0（2）有a=5时，另外2个数字有3种情况：偶偶 奇奇 偶奇偶偶时：5*偶偶末尾一定0；奇奇时：5*（奇+奇）末尾一定0偶奇时：5*（偶*奇）末尾定为0（3）无0和5时候：那么个位只可能是（1 37 9）或者（2 4 6 8） （a）全奇数：共C（4，2）=6种可能，任意三个中必有2个之和等于10，再乘第三个末尾一定0；全偶数的情况跟全奇数一样的。（b）（奇偶偶）和（偶奇奇）的情况：1 （2 4、2 6、4 8、6 8） 2 （1 3、1 7、3 9、7 9）3（2 4、2 6、4 8、6 8）4 （1 3、1 7、3 9、7 9）5 （2 4、2 6、4
10、8、6 8）6 （1 3、1 7、3 9、7 9）9 （2 4、2 6、4 8、6 8） 8 （1 3、1 7、3 9、7 9）就是一开始我给出来的。本来 奇偶偶 还有 2，8跟4，6情况（因为和为10就没必要了）；偶奇奇还有 1，9和3，7情况和也为10也没必要综合上面的情况：命题成立v 题目：一个九位数，由1-9九个数字组成（不能重复），要求前N（N为1-9的整数）位数组成的N位数能够被N整除，求此九位数。 解答： 1。确定偶数位上的数字必为偶数，因此奇数位上的数字必为奇数；第五位是5。 2。因为前三位数组成的三位数是奇数，乘以10（构成四位数）之后无法被4整除，因此第四位不能够是4或者8
11、，即只能在2和6之间作选择。 ? 同样道理，前七位数组成的七位数是奇数，乘以10 （构成八位数）之后无法被8整除，因此第八位不能够是8。 3。因为前三位数组成的三位数能够被3整除，乘以1000（构成六位数）之后能够被6整除，所以仅考虑由第四、五、六位数组成的三位数是否能够被6整除即可，得出该三位数为258或者654。此时，前六位数组成的六位数是偶数，乘以100（构成八位数）之后能够被8整除，因此第七、八位数组成的两位数必须能够被8整除。下面分情况进行讨论： 3-1。第四、五、六位分别为2、5、8：此时，第七、八位数组成的两位数只能是16或者96，即第八位是6，第七位是1或者9。因此，第二位是4
12、，前三位组成的三位数只能是147或者741，即前七位组成的七位数是1472589或者7412589，二者均无法被7整除，无法得出正确结果。 3-2。第四、五、六位分别为6、5、4：此时，第八位是2，第二位是8；第七、八位数组成的两位数只能是32或者72，即第七位是3或者7。 4。前三位数目前有六种可能：183、189、381、789、981、987。由于仅3816547能够被7整除，故得到最终答案。 答案：381654729。v 要把奇形怪状、大小不一的东西转移是一件麻烦的事，但把它们集中在一个邮包里寄走就省事多了这种用邮包运东西的方法就称为整体思维学习数学也不例外，有些题按照常规方法求得解比
13、较麻烦，这时我们可以将某一条件（或问题）看着一个整体，这样往往可以收到事半功倍的效果，近年的中会考题屡见不鲜、利用整体思维，简化运算过程有些数学题，根据题目的特点，避开繁冗的运算，利用整体代入，就能算得又快又准确，出奇制胜例 已知：，求代数式的值分析：此题若先求出的根再直接代入，计算过程相当繁杂，但把所求的代数式变形，运用整体代入法，则妙趣横生解：（）（）解：（），即（）（）点评：要想准确、迅速的解答化简（或计算）求值题，必须认真审题，对于任何一个具体的问题都必须在真正理解题意，弄清题目要考查的对象时才能目标明确，有的放矢的去解答它例 把以内的质数分别填入中（每个质数只用一次），使是整数，最大
14、是多少？分析：此题如果把个质数轮流放一个在分母上，其余个填到分子中，逐一计算，再作比较，那就很复杂了式中的分子是个质数之各，先从整体上考虑这个质数之和，再考虑与这个质数之和有什么关系？解：设分母的质数为，则要使是整数，只能是的质因数，故只能是或，要使最大，则应取，这时的最大值是点评：本题中分子、分母的关系特殊，分子上各数又是只作一种运算，所以就应采用比较特殊的方法，避开繁杂的计算，从而轻松愉快的求解它、利用整体思维，发现解题方法有些数学题初看起来，无法下手，但如果认真分析题目结构，利用整体思维，发现解题方法例 分解因式：（）（）分析：若把二次三项式与相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式
15、就十分困难，但若把（或）视为一个整体，即把看作一个新的变元，原式就变形为关于的二次多项式，问题就迎刃而解了解：设，则原式（）（）（）再将代入，得原式（）（）（）（）（）（）（）（）点评：因式分解的方法很多，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分作为一个整体，用换元法降次，简化运算例 有甲乙丙三种货物，若购甲件，乙件，丙件共需元；若购甲件、乙件、丙件共需元问甲、乙、丙各件共需几元？分析：设甲、乙、丙三种货物的单价分别为元、元、元，根据题意得：要求的是？已知条件是三元一次不定方程组，如果分别求出、再代入，根本解决不了若把看为一个整体，问题就容易多了将方
16、程组变形为：（）（）（）（）解之得：即购甲、乙、丙件共需元解（略）点评：在求解某些数学问题时，把一个较复杂的式子当作一个整体，根据其本身结构特征作整体处理，就能开拓思路，迅速简捷的求解、利用整体思维，探索解题捷径在解题中，对问题进行整体思维，探索简洁明快的方法，往往要少走弯路例 任意调换位数的各位数上数字的位置，所得位数中质数的个数是（）分析：分别写出各位数进行验证太繁，现从整体考虑：在调换位数的各个数字的位置时，其各位上数字和始终是不变的，其和为而是的倍数，因此，变换数字位置后的数字也一定是的倍数，所以不可能得到质数，故应选择点评：本题看起来似乎与数字无关，但题目的数据大、位数多，一般都不宜
17、直接硬算，简便方法的得来，是建立在题目认真观察分析及丰富联想基础上的，今后遇到类似的题，要有求简意识，力争找到简便方法例 有一个六位数，它的个位数字是，如果将移到十万位时，所得到的新的六位数是原数的倍，那么这个六位数是分析：此题司空见惯的解法是根据乘法法则进行推理计算，设这个六位数为，那么有，我们可用竖式计算：显然，从而推知、，由此可知这个六位数是若从整体思维方法去思考可得以下多种解法解：设这个六位数为并设，则（），解得，所以这个六位数是解：设这个六位数为，依题意得解得解：设这个六位数乘以后变成新的六位数为则原六位数为（），依题意得（）解之得，所以原六位数为点评：本题的解法构思巧妙，充分利用整
18、体思维和简易方程，达到简化运算的目的，实际操作时，如果未知数较多，就可以考虑用这种方法以下题读者可尝试用整体思维方式解答、设有四个数，基中每三个数之和分别为、，求此四个数、某考生的准考证号是一个四位数，它的千位数字是，如果把移到个位上去，那么所得新数比原数的倍少，问这个考生的准考证号码是多少？、已知两个同心圆，点在大圆上，是小圆的割线，若，求圆环的面积、有一个六位数，它的倍是，求这个六位数以上六个例题只是运用整体思维解题的一个引子，在数学问题中，还有很多题可以从整体思维出发，避重就轻，简化繁琐的运算，运用简洁明快的方式达到求解的目的回文诗与循环美北京老舍茶馆有一副对联前门大碗茶 茶碗大门前其中
19、的下联是将上联倒过来而得到的，它将这家茶馆的地理位置，经营特色一览无遗地表现出来了，但总共只用了区区5个字。真可谓别出心裁，妙笔生花。这种对联叫做回文联。回文是我国古代文学中一种特殊的修辞方法，有回文诗、回文词、回文联、回文句等等。回文的特点是：在一篇作品中，作者精心地挑选字词，巧妙地安排顺序，使得一篇作品倒转过来从头读起，也同样是有意义的作品。虽然，由于这种高度的形式主义的束缚，使得大多数回文作品是意义不大的文字游戏，但唐、宋以来，确实也有不少写得好的回文，如苏试的七律游金山寺：潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。桥对寺门松径小，槛当泉眼石波清。迢迢绿树江天晓，霭霭红霞晚日晴。遥望四边云接水，碧
20、峰千点数鸥轻。把它倒转过来，仍然是一首完整的七律诗：轻鸥数点千峰碧，水接云边四望遥。晴日晚霞红霭霭，晓天江树绿迢迢。清波石眼泉当槛，小径松门寺对桥。明月钓舟渔浦远，倾山雪浪暗随潮。这首回文诗无论是顺读或倒读，都是情景交融、清新可读的好诗，历来被视为回文中的上乘之作。再以老舍茶馆门前的回文联而论，也是雅俗共赏。情趣盎然，不失为脍炙人口的佳作。文学中有回文体，数学中也有一种“回文数”。把一个正整数的各位数字反转过来，得到一个新的正整数，例如315的各位数字反转过来得513。后者称为前者的反序数，也称为回文数。利用回文数可编出许多有趣的数学问题。例如：一个二位数与它的回文数之和是一个平方数，这样的数
21、最大的是多少？设这个二位数的十位数字为x，个位数字为y，则依题意有(10x+y)+(10y+x)=10(x+y)+(x+y)=11(x+y)x+y必须是11与某一平方数的乘积，因x，y都是数字，它们的和不能大于18，所以x+y要满足条件x+y=11，要10x+y最大，只有x=9，y=2。所以，本题的答案是92。回文中还有一种特殊形式的循环句，把一句话写成一个环形，不管你从哪一个字开始，按一定的方向(例如顺时针方向)顺序读下去，都是一句意义完整的话。例如下面的图76是古人写在圆形茶具上的一句回文。当朋友围桌而坐，品茗谈心的时候，不管你坐在哪个位置，从对着你的那个字开头，按顺时针方向读下去，都得到
22、一句咏茶的话：不可一日无此君可一日无此君不？一日无此君不可日无此君不可一无此君不可一日此君不可一日无君不可一日无此每一句都合乎语法，贴切通顺，用不同的语气，说明了人不可一天无茶。80年代初期，在我国一次全国性的青少年智力竞赛中，出了这样一道数学题：“有一个六位数，将它分别乘以1，2，3，4，5，6后仍然得到一个六位数，并且都由原来的六位数的数字组成(只是排列顺序不同)，求这个六位数。这个问题如果严格按照逻辑推理的程序，要得出正确的结论，不但需要冗长的计算，而且有相当的难度。在实战的智力竞赛中，由于题目多，时间短，不可能那么从容不迫地去推理。因此，真正参加竞赛的同学仅靠逻辑思维，往往很难有获胜的
23、把握，有时也要依靠一点灵感和直觉，或者说也要适当的辅以形象思维。现在我们从另一角度来思考这一问题：设所求的六位数为x=abcdef，(这里的a，b，c，d，e，f分别为0至9之间的数字)，数学家相信，数学具有某种统一性与和谐性。既然x，2x，3x，4x，5x，6x都是由相同的6个数字组成的六位数，只是排列的顺序不同，这种排列可能具有某种循环关系，换句话说，x，2x，3x，4x，5x，6x可能由x的6个数字依次循环排列而成。或者说，与图77类似，把a，b，c，d，e，f这6个数字顺次写在一个圆周上，按顺时针方向，顺次从每一个字开头读出一个六位数：abcdefbcdefacdefabdefabce
24、fabcdfabcde。这6个六位数恰好就是我们要求的x，2x，3x，4x，5x，6x。这种猜想是不是有点异想天开？事实上，科学研究中许多重大的突破，往往是首先大胆地跳跃到某种结论上，然后再努力去检验结论的。我们要敢于也要善于“大胆的一跳”，当然，这往往也是很“艰难的一跳”。这种猜想有可能吗？我们不妨先循这一猜想的思路走下去。我们既然希望找到某种循环关系，有些分数是循环小数，不妨就以它们进行试验。如果将x，2x，3x，4x，5x，6x的每一个都除以7x，就得到分数：它们都是循环小数。我们希望的循环关系，如果存在的话，是否与这些分数的循环有关呢？不妨试一试看，这是不难办到的。由直接计算便可得到：
25、这样，我们就连猜带试地很快发现x=142857了。并且如图78所示，x，2x，3x，4x，5x，6x，确实分别是从图3中任一数开头依顺时针方向读出的6个六位数，只不过顺序与我们原来的猜想略有不同而已，它的顺序是：x3x2x6x4x5x多么美妙的直觉，多么漂亮的推理，多么和谐的结果，形象思维与理性思维达到了合理的统一，它们相得益彰，并没有不可167逾越的鸿沟。行文至此，笔者又想起了1963年第四届国际中学生数学奥林匹克(IMO)的一道试题：“一个自然数n在十进制表示下，最后一位数字为6，将这个数字移到其余数字的前面，所得的新数为原数n的四倍，求满足这一条件的最小自然数n。”这道试题一般都利用不定
26、方程求解，由于是国际竞赛试题，自然有相当的难度。但是我们根据上题的经验，也可能直觉地猜想：这个题目所求的自然数n的各位数字也可能具有某种循环性，题目要求我们求最小的一个n，那就只要取一个循环节就可以了。甚至还可以设想这个循环节也是6位的。在这种大胆的猜想之下，我们就可以用还原的竖式乘法来检验。设所求的数为n=abcde6(a，b，c，d，e分别为十万位，万位，千位，百位，十位上的数字)依题意，应有这可能吗？由46=24，知e=4，且进位2；由4e=44=16及进位2，知d=8，且进位1；由4d=48=32及进位1，知c=3，且进位3；由4c=43=12及进位3，知b=5，且进位1；由4b=45=20及进位1，知a=1，且进位2；由4a=41=4及进位2，恰得6且无进位。完全达到了我们预期的结果。根据只要求n最小，取n=abcde6=153846就可以了。根据循环性，153846153846，153846153846153846等数也都符合题目的要求，不过不是最小的一个罢了。推理如此简单，一般的初中甚至小学高年级学生都能作出，这大概是当年命题的专家们所始料未及的。不过，这道题目既已成为国际数学奥林匹克的正式试题，也就“一登龙门，身价百倍”了。ThunderPage 12