第三章微分运动和速度.ppt

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1、第3章 微分运动和速度,学习内容：1 微分关系 2 坐标系的微分运动 3 雅克比矩阵的相关运算及其与速度 之间的关系,学习重点：雅克比矩阵的计算,1 微分关系的概念 微分运动就是指机器人的微小运动（推导不同杆件间的速度关系），而微分关系是指微分运动与速度之间的关系。 2 微分关系的理论推导 下面这幅图是具有两个自由度的简单机构。其中每个连杆都能独立旋转， 表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度， 表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角度。,3.1 微分关系,让我们计算一下B点的速度,根据物理学中的相关公式，可以得到,接下来让我们对B点的位置方程求微分,方程两边对 和 求微分，可得到,可以看到

2、，微分方程与速度方程极为相似，只不过二者表达的物理含义不同，如果在微分方程的两边同时除以dt，则两方程就完全相同了。 3 微分方程的结构,B点的微分运动方程,雅克比矩阵,关节的微分运动,3.6,3.2 雅克比矩阵,1 雅克比矩阵的意义 由式3.6可以看到，雅克比矩阵将单个关节的微分运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也可以将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。 2 雅克比矩阵的计算 由式3.6可以看到，由于角度是时变的，所以雅克比矩阵也是时变的。所以我们可以通过对位置方程中的所有变量求导的方法来计算雅克比矩阵。,假设有一组变量为 的方程 ： 则变量和函数间的微分关系可以表示为：,根据

3、上述关系，我们可以建立机器人的关节微分运动和机器人手坐标系微分运动之间的关系。,矩阵两端都除以dt, 就是速度，所以本章主要针对文分运动讲解。,例题：给定某一时刻的机器人雅克比矩阵，给定关节的微分运动，求机器人手坐标系的线位移微分运动和角位移微分运动。,由例题可知： 刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者由绕三轴的微分转动组成。 雅克比矩阵的构造： 一、矢量积分法； 二、微分变化法。,3 SCARA四自由度机器人的连杆速度及雅可比矩阵,雅可比矩阵 末端连杆的角速度和线速度相对于基坐标系简写为 ，根据广义速度公式,它与关节速度q之间的关系就是

4、由雅可比矩阵组 成的线性映射,2. SCARA四自由度机器人的连杆速度、雅可比矩阵 SCARA四自由度机器人的结构和运动具有如下特点：四个关节，四个关节中有三个是转动关节（关节1、2、4），一个是移动关节（关节3）。根据速度传递法可推导出雅可比矩阵如下： 旋转矩阵：,由于基坐标系固定不动，因而,连杆1的角速度和速度为,连杆2的角速度和速度为,连杆3的角速度和速度为,手爪4的角速度和速度为,由以上推导可得雅可比矩阵,=,其中：,，,以下相同。,旋转变换,：,=,末端手爪相对于基坐标系0角速度和速度为,末端手爪的笛卡尔广义速度为,由以上推导可得雅可比矩阵为,例3.1 给定某一时刻的机器人雅克比矩阵

5、如下， 计算给定关节的微分运动，求机器人手坐标系 的线位移微分运动和角位移微分运动。,解：将上述矩阵代入式(3.10)，得到：,3.3 坐标系的微分运动,假设有一个机器人要将两片工件焊接在一起，为了获得最好的焊接质量，要求机器人以恒速运动，也就是说要求指定的手坐标系的微分运动能表示按特定姿态的恒速运动。 这就涉及到坐标系的微分运动，而该运动是由机器人产生的。如图所示：,坐标系微分运动可以分为： 微分平移 微分旋转 微分变换 我们首先研究坐标系的微分运动，然后研究机器人机构的微分运动，最后建立两者之间的联系。,1 微分平移 微分平移就是坐标系平移一个微分量，因此它可以用Trans(dx,dy,d

6、z)来表示，其含义是坐标系沿3条坐标轴做了微小量的运动。 2 微分旋转 微分旋转是坐标系的小量旋转，它通常用 来描述，即坐标系 轴转动 角度。 绕三轴的转动分别定义为 因为转动很小，所以,另外我们还要注意矩阵乘法的顺序，不同的顺序会产生不同的结果。,上述矩阵违反了每个向量长度为1的规定，例如 。然而由于微分值很小，在数学上，高阶微分是可以忽略不计的。所以我们可以接受这样的向量长度。,如果忽略掉所有的高阶微分变换，上述两式的结果是相同的，因此乘法的顺序并不重要。,绕一般坐标轴的三个微分运动可以表示为：,例题：求绕三个坐标轴作微分旋转所产生的总微分变换。,3 坐标系的微分变换 坐标系的微分变换是微

7、分平移和微分旋转运动的合成。如果用T表示原始坐标系，并假定由于微分变换所引起的坐标系T的变化量用dT表示，则有：,可令：,我们称 为微分算子，用它乘以一个坐标系将导致坐标系的变化。,进一步求得：,例题： 对如下的坐标系B,绕y轴做0.1弧度的微分转动，然后微分平移0.1，0，0.2，求微分变换的结果。,解：,其中，dB矩阵表示坐标系B的变化，该矩阵的每个元素表示坐标系中相应元素的变化。如，本例中 dB意味着该坐标系沿x轴移动了0.4个单位的微小量，沿y轴无运动，沿z轴移动了-0.8个单位的微小量。它也意味着坐标系的旋转使得 向量没有改变， 而在向量 的分量 上改变了0.1，在向量 的分量 上改

8、变了-0.1。微分变化的理解,由此，我们可求上例中坐标系B运动后的位姿，如下：,本次课的内容： 坐标系之间的微分变化 机器人及机器人手坐标系的微分变化 雅克比矩阵的计算 建立雅克比矩阵和微分算子之间的关联 雅克比矩阵求逆,3.4 坐标系之间的微分变化,前面介绍的微分算子 是相对于固定参考坐标系来说的，同样的，我们可以定义另外一个微分算子，是相对于当前坐标系的，这样使得可以在该坐标系（当前）中计算同样的变换。 由于是相对于当前坐标系的，必须用右乘该坐标系的。如下式所示：,因此，上式可以用来计算相对于本身坐标系的微分算子 。将上式矩阵相乘并加以简化，得到的结果如下：,应注意， 看上去如同 矩阵，但

9、所有元素都是相对于当前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结果归纳如下：,例： 对如下的坐标系B，绕y轴做0.1弧度的微分转动，然后微分平移0.1，0，0.2，求微分变换的结果。,解：,举例说明如何求得相对于本身坐标系的微分算子，回忆下面的例题（上节课出现过）：,现在求出相对于本身坐标系的微分算子： 由给定的信息中可以得到以下向量，用来计算向量,公式,代入可得：,3.5 机器人及机器人手坐标系的微分运动,前面介绍的都是坐标系的变换结果，而不涉及变换是如何实现的。现在我们就研究一下机器人手坐标系的变化是如何由机器人的运动转换来的。 我们要做的就是找出机器人关节的微分运动是如何与手坐标系

10、的微分运动关联的，尤其是与dT的关系。 这种关系取决于： 机器人的构型和设计的函数； 机器人即时位姿的函数。,举例说明： 简单的旋转机器人和斯坦福机械手臂 区别：构型不同 结果：要产生类似（相同）的机械手速度，所要求的关 节速度会有所不同。 由此可知： 对于上述的任何一种机器人，手臂是否能够完全地伸展 以及能否指向任意方位，都需要将其转化为不同的关节 速度从而产生相同的手的速度。 我们可以通过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的 联系，如下所示：,雅克比矩阵,3.8 雅克比矩阵的计算,a、雅克比矩阵的每一个元素是对应的运动学方程对其中一个变量的导数,雅克比矩阵的含义：,b、D中的第一个元素是d

11、x，它表示第一个运动学方程必须沿x轴的运动，当然也就是Px。换句话说，Px表示手的坐标系沿x轴的运动，它的导数为dx。同样，dy和dz也是如此。若考虑用 表示的矩阵，对相应的元素Px，Py和Pz求微分就得到dx,dy和dz。,回忆第二章一道例题,用D-H法建立坐标系并求出变化矩阵,求出总变化矩阵：,我们（关心）取简单旋转臂机器人的正动力学方程的最后一列为：,对于下面两行也可以同样处理。但是，因为没有哪个方程可以普遍适用于绕三条轴的转动。因此我们需要用不同的方法对他们进行计算。 事实上，相对于最后一个坐标系T6的雅克比矩阵的计算要比相对于第一个坐标系简单的多。因此，我们将用下面的方法进行计算。,

12、将相对于最后一个坐标系的速度方程写成：,此时，意味着，用相同关节的微分运动来左乘最后一个坐标系的雅克比矩阵，则可得到机器人首相对于最后一个坐标系的微分运动。我们可以用以下简单的方程来计算最后一个坐标系的雅克比矩阵：,方程的微分运动关系可以写成：,假设A1,A2An的任意组合可以用相应的n,o,a,p矩阵表示，则矩阵中相应的元素可以用来计算雅可比矩阵。 如果所考虑的关节i为旋转关节，那么：,如果所考虑的关节i为滑动关节，那么：,例：,例题,3.9 建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联,在讨论过雅可比矩阵和微分算子之后，我们将二者联系到一起。 假设机器人的关节移动一个微分量，由式3.10以及已知的雅

13、可比矩阵可以计算出D矩阵，它包括了 的值(机器人手的微分运动)。先求微分算子。然后计算dT，由此来确定机器人手的新位姿。这样，机器人关节的微分运动就与机器人手坐标系联系起来了。,例题：,3.10 雅可比矩阵求逆,为了计算机器人关节上的微分运动(或速度)以得到所需要的手的微分运动(或速度)，需要计算雅可比矩阵的逆，并且将它用于下列方程：,这就是说，知道了雅可比矩阵的逆，就可以计算出每个关节需要以多快的速度运动，才能使机器人的手产生所期望的微分运动获达到期望的速度。实际上，微分运动分析的主要目的是分析而不是进行计算。,我们知道，雅可比矩阵中所有元素的实际值都是时变的，因此，虽然雅可比矩阵的符号方程

14、相同，但他们的数值改变了。所以我们为了能够在每秒内计算出足够多的精确关节速度，需要保证计算过程非常高效和快速，否则，结果将是不精确的。 常用的雅可比矩阵求逆的方法是，可以用逆动力学方程来计算关节的速度。 方法如下：,我们可以看到，根据6个微分方程可求得6个关节微分值，我们可以对机器人控制器进行编程，进而驱动机器人关节。,习题：,习题,1. 假设手坐标系的位姿用如下的伴随矩阵来表示。若绕Z轴做0.15弧度的微分旋转，再做0.1，0.1，0.3的微分平移，思考这样的微分运动将产生怎样的影响，并求出手的新位置。,解：,5. 给定机器人的手坐标系和相应的雅克比矩阵。对于给定关节的微分变化，计算手坐标系的变化、新位置和相应的。,解：,完毕,