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1、1,第三章 线性时不变系统的 标准形与最小实现,2,标准形可以显然、简洁的方式反映系统的可控性、可观测性或其它性质；,为什么要研究标准形和最小实现？,利用标准形有时会极大简化控制律的设计。例如在动态输出反馈控制律设计、一些自适应控制系统的控制律设计中，由于仅输出状态可测量，往往采用一些标准形作为控制律设计的基础，从而使控制律的设计尽可能简化； 最小实现可以避免对系统可控性和可观测性的讨论，简化分析和控制器设计。当然，在系统分析时，有时也需要用到非最小实现。,3,3-1系统的标准形,一、单变量系统的标准形,4,求标准形的等价变换阵也有两种方法： 先求P; 先求 P1 。,5,定理3-1：设系统(
2、3-1)可控，则可通过等价变换将其变成如下所示的可控标准形：,1. 可控标准形实现,6,求可控标准形的方法一：先求变换阵P,7,8,9,10,11,求可控标准形的方法二：先求变换阵P1 1). 令基底为：,12,13,14,15,16,17,证完。,18,解：先判断可控性，再计算变换矩阵，将状态方程化为可控标准形。,例题:设系统状态方程为,试将系统状态方程化为第二可控标准形。,19,此时标准形中的系统矩阵的最后一行的系数其实就是A阵特征式的系数，但符号相反。 现根据前述方法构造变换矩阵 P,20,则变换矩阵为,21,22,2. 可观测标准形实现,复习：对偶原理,23,定理3-2：设系统(3-1
3、)可观，则可通过等价变换将其变成如下所示的可观标准形：,一个单输出系统如果其A、c 阵有如上的标准形式，它一定是可观测的，可以通过PBH检验立即看出。,24,现在通过对偶原理来找出将系统化为可观标准形的变换矩阵。,式中 具有可观标准形的形式。构造步骤如下：,给定系统方程如下,目的是要将其化为可观测标准形,25,2. 写出原系统,1. 计算可观性矩阵，若系统可观测，可以化为可观标准形。,用对偶原理求可观标准形步骤：,的对偶系统：,3. 对系统(II)，求将其化为可控标准形的变换阵 P：,26,转置处理后有：,27,从以上各个步骤可以看出，求等效变换阵的核心实际上是求对偶系统的可控标准形的P阵。
4、P阵一旦求出，则根据以上步骤4、5立即可得到原系统的可观标准形。,28,1. Luenberger 可控标准形,定理3-3 设系统(3-15)可控，则存在等价变换将其化为 (3-16)所示的可控标准形。,二、 多变量系统的标准形,(3-16),其中,29,这里 分别是 的矩阵。,30,31,32,下面介绍变换的具体做法。,2）. 列出可控性矩阵：,按上面的排列顺序，自左向右挑选出n个线性无关向量，再重新排列如下：,1）. 不失一般性，假设B=b1 b2,bp列满秩；,33,34,4）. 求出 P1，以 hi 表示P1阵的,35,然后构造变换阵：,5）. 取非奇异变换 ,就可得到,36,讨论：1
5、）P2的可逆性证明：,a）由,37,38,39,40,证完。,41,42,43,44,一般地，若基底矩阵(P1)1是按照如下方法得到：,则必有,45,P.82 例题3-2 设系统动态方程(A、B、C)为,试求其可控标准形。,解 计算可控性矩阵,46,可知其前四个线性无关列为1,2,3,5列，故1=3, 2=1,可求出h1=2 1 0 0 , h2=0 0 1 0 ，从而可得,47,由,经计算，可得可控标准形：,48,2. 多输出系统的可观标准形 类似地可建立多输出系统的可观标准形，这里省略。,49,3.多变量系统的三角标准形,若系统可控制，令其可控性矩阵为,按以下方式构造n个线性无关列：,50,定理3-6：设系统(A,B,C)可控，则存在等价变换将一其化为如下所示的三角标准形：,51,52,53,在三角标准形中，基底的选取不排除如下可能性：,