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1、勤学好问必有所获,第三章 随机变量（向量）的数字特征,概率论,随机变量的数学期望,随机变量的方差,随机变量的矩与中位数,随机变量间的协方差与相关系数,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .,随机变量的数学期望,Mathematical Expectation,以频率为权重的加权平均 ，反映了这7位同学高数成 绩的平均状态。,一
2、、引例,某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为,随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？,二、数学期望的定义,离散型随机变量,Def 设离散型随机变量的概率分布为,连续型随机变量,Def 设连续型随机变量的概率密度为,，若广义积分,随机变量数学期望所反应的意义,例3.1已知随机变量X的分布律为,求数学期望,解：由数学期望的定义,例3.2已知随机变量X的分布律为,求数学期望,解：由数学期望的定义,例3.7,若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计) N 的数学期望.,的分布函数为,二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(X,Y)为二维
3、离散型随机变量,(X,Y)为二维连续型随机变量,例3.8 设(X,Y)的联合密度为,解：,随机变量函数的数学期望,1. 一元随机变量函数的情况,设,是随机变量 X的函数，,离散型,连续型,该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X) 的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函 数的期望带来很大方便.,例3.9,解：因为,2. 二元随机变量函数的情况,离散型,连续型,例3.10,例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为,随机变量数学期望的性质,1. 设C是常数，则E(C)=C；,2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)；,3. E(X+Y) = E(
4、X)+E(Y)；,4. 设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；,请注意: 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 独立,证明：这里只证明3，4,利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。,例3.12 设随机变量XB(n, p)，求二项分布的数学期望。,例3.12 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2,则X的所有可能取值为0,1,2,所以，产生故障的仪器数目的数学期望,数学期望在医学上的一个应用,An application of Expected Value in Medicine,考虑用验血
5、的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？,分析：,设随机抽取的10人组所需的化验次数为X,需要计算X的数学期望，然后与10比较,化验次数X的可能取值为1，11,先求出化验次数X的分布律,X=1=“10人都是阴性”,X=11=“至少1人阳性”,结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。,注意求 X期望值的步骤！,问题
6、的进一步讨论,1.概率p对是否分组的影响？,2.概率p对每组人数n的影响?,随机变量的方差,Variance,随机变量方差的定义,设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或,方差的计算公式,均方差（标准差）,离散型,设离散型随机变量X的概率分布为,连续型,设连续型随机变量X的分布密度为 f (x),方差的统计意义,随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。,例3.14已知随机变量X的分布律为,求方差,解：,例3.19,解： X的密度函数为,所以有,方差的性质,1. 设C是常数，则D(C)=0；,2. 若a，b是常数，则,证明:,例3.20,解：,随机变量的矩与中位数,随机
7、变量的矩,原点矩与原点矩,Def 设X是随机变量，若,存在，,则称其为X的k阶原点矩，,若,存在，,则称其为X的k阶,中心矩，,中位数,Def,显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差,随机变量间的的协方差与相关系数,Covariance and Correlation coefficient,随机变量间协方差与相关系数,Def,协方差的定义,相关系数的定义,Def,随机变量间协方差的计算,离散型,连续型,例3.21,解：边际分布如表,例3.22,解：边际概率密度为,随机变量间协方差与相关系数的性质,性质5，6说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。,证明:,随机变量间线性无关的概念,Def,解：,这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。,例3.23,