第1章行列式.ppt

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1、线性代数及应用,第1章 行列式 第2章 矩阵 第3章 向量 线性方程组 第4章 矩阵的对角化 第5章 二次型,第1章 行列式,行列式是线性代数的一个重要组成部分. 它不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技术等领域有着极其广泛的应用. 本章建立了n阶行列式的概念，讨论了 n 阶行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用克拉默法则.,第1章 行列式,n阶行列式 行列式的性质 行列式按行（列）展开 克拉默法则行列式的一个简单应用 Mathematica软件应用,第1.1节 n阶行列式,本节从二、三阶行列式出发，给出 n阶行列式的概念. 基

2、本内容： 二阶与三阶行列式 排列及其逆序数 n阶行列式定义,返 回,1.二阶与三阶行列式,(1)二阶行列式,为求得上述方程组的解，可利用加减消元得到：,上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：,称其为二阶行列式 .,据此，解中的分子可分别记为：,例1 解二元线性方程组,解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为,(2)三阶行列式,称为三阶行列式.,三元素乘积取“+”号； 三元素乘积取“-”号。,主对角线法,例2 计算三阶行列式,解:由主对角线法，有,例3 解线性方程组,解：系数行列式,方程组有唯一解.又,于是方程组的解为

3、,思考与练习（三阶行列式）,方程化简为 (x-1)2 =4, 其解为x=3或x=-1；,答 案,2.排列及其逆序数,(1)排列,由正整数1,2,n,组成的一个有序数组i1i2in 称为一个n级排列.,如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：,123 132 213 231 312 321,（总数为 n!个）,注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其 它则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相 反)构成逆序.,(2)排列的逆序数,定义： 在一个n 级排列i1i2in中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反, 则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为(i1i2

4、in).,奇偶排列: 若排列i1i2in的逆序数为奇（偶）数， 称它为奇（偶）排列.,=3 =2,例4 (2413) (312),例5 (n(n-1)321) (135(2n-1)(2n)(2n-2) 42),=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2,=2+4+(2n-2)=n(n-1),对换：,在一个排列i1isit in中，若其中某两 数is和it互换位置, 其余各数位置不变得到另一排列 i1itis in, 这种变换称为一个对换, 记为( isit).,例6,结论： 对换改变排列的奇偶性. 任意一个n级排列与标准排列12n都可以经过一 系列对换互变.,的证明,对换在相邻两数间发生，即

5、设排列 jk (1) 经j,k对换变成 kj (2) 此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未 发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化： 若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1) 若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1) 一般情形 设排列 ji1isk (3) 经j,k对换变成 k i1is j (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 kj i1is j经s次相邻对换成为 ki1is j 即经2s+1次相邻对换后(3) 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶

6、性改变. |,思考练习（排列的逆序数）,1.(542163) (24(2n-2)(2n)(2n-1)(2n-3)31） 2. 若排列的x1x2xn逆序数为I，求排列xn xn-1x1的逆序数.,答 案,详解,继续,思考练习（排列的逆序数详解）,方法1 在排列x1x2xn中，任取两数xs和xt(st), 则它们必在排列x1x2xn或xnxn-1x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列 x1x2xn中取两数的方法共有,依题意，有,故排列 x1x2xn 与 xnxn-1x1 中逆序之和为,此即,方法2,n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,n),若在排列 x1x2xn中对i

7、构成的逆序为li个,则在xnxn-1x1中对i构 成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为,li+(n-i)-li= n-i (i=1,2,n),此即,3. n阶行列式定义,分析：,(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的 乘积构成，除符号外可写为,(ii)符号为,“+” 123 231 312 （偶排列） “-” 321 213 132 （奇排列）,(iii)项数为 3！=6,推广之，有如下n 阶行列式定义,定义： n阶行列式,是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积,并冠以符号 的项的和.,(i) 是取自不同行、不同列的n个元素的乘积 (ii)行标按自然顺序排

8、列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号； (iii) 表示对所有的 构成的n！个排列求和.,例7 计算4阶行列式,解,由行列式定义,和式中仅当,例8 计算n阶行列式,解,由行列式定义,和式中仅当,例9 证明上三角行列式,证： 由定义,和式中,只有当,所以,上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积 .,由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明,定理: n阶行列式D=det (aij) 的项可以写为,其中i1i2in和j1 j2 jn都是n级排列 .,或,另一定义形式,另一定义形式,推论:n阶行列式D=det (aij) 的值为,用定义计算,思考练习

9、 （n阶行列式定义）,答案,内 容 回 顾,n阶行列式定义：,上三角行列式的值,第1.2节 n阶行列式的性质,对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行 列式利用定义计算较为容易, 但对一般的、 高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计 算很困难或几乎是不可能的 . 因而需要讨论 行列式的性质，用以简化计算.,如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若,转置行列式定义：,性质1 行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT）,证：事实上,若记 DT=det(bij),则,解,例1 计算行列式,性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号

10、 .,推论 若行列式D的两行（列）完全相同,则D=0 . 性质3 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可 以提到行列式符号的外面，即,推论 (1) D中一行(列)所有元素为零，则D=0； (2) D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.,性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即,证,性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另一行(列)的相应元素上,行列式的值不变,即,例2 计算行列式,解,解,解,例3 计算n阶行列式,解(2),解(3

11、),解(1),解(1),注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a,有,返 回,解(2),注意到行列式各行元素之和等于,有,返 回,解 (3),返 回,箭形行列式,例4 证明,证,证,2.证明,1.计算行列式,思考练习 （行列式的性质）,思考练习（行列式性质答案）,=右边,思考练习（行列式性质答案）,第1.3 节 行列式按行（列）展开,1.行列式按一行（列）展开,余子式与代数余子式,在n阶行列式,中，划去元素aij所在的第i行和第j列，余下的元素按原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记作Mij；,而Aij=(-1)i+jMij称为元素aij的代数余子式.,例1 求出

12、行列式,解,考察三阶行列式,A11,A13,A12,三阶行列式可以表示为某一行(列)元素与其对应代数余子式的乘积之和.,行列式按一行（列）展开定理,n阶行列式,等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,证,(i)D的第1行只有元素a110，其余元素均为零,即,而 A11=(-1)1+1M11=M11 ,故D= a11A11 ;,(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即,将D中第i行依次与前i-1行对调,调换i-1次后位于第1行 D中第j列依次与前j-1列对调,调换j-1次后位于第1列,经(i-1)+(j-1)= i+j-2次对调后, aij 位于第1行、第1列,即,(

13、iii) 一般地,由 (i),由(ii),推论 n阶行列式,的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即,证,考虑辅助行列式,0=,例2 计算行列式,解,法1,法2,选取“0”多 的行或列,例3 计算行列式,解,计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.,例4 计算n阶行列式,解,解,例5 证明范得蒙行列式（Vandermonde),证,用数学归纳法,假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形.,例6 已知4阶行列式,解,法1,法2,利用行列式的按列展开定理，简化计算.,思考练习 （按行展开定理）,计算行列式,思考练习（按行展开定理详解1）,思考练习（

14、按行展开定理详解2）,*2.拉普拉斯（Laplace）定理,k阶子式 在n阶行列式中，任意选定k行、k列 （1kn）位于这些行列交叉处的k2个元素按原来顺序构成的一个k阶行列式N，称为行列式D的一个k阶子式. k阶子式N的余子式及代数余子式 在D中划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行列式M，称为k阶子式N的余子式;而,为其代数余子式.这里i1,i2,ik, j1, j2, jk分别为 k阶子 式N的行标和列标.,在n阶行列式,拉普拉斯（Laplace）定理,任意取定k行(1 kn),由这k行元素组成的k阶子式N1, N2 ,N t 与它们的代数余子式 的乘积之和等于D，即

15、,解,例7 计算行列式,一般地,第1.4节 克拉默法则,下面以行列式为工具,研究含有n个未知量、n个 方程的n元线性方程组的问题. 定理（克拉默法则） 如果n元线性方程组,则方程组有唯一解,的系数行列式,其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素 换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的n级行列式, 即,定理的结论有两层含义：方程组（1）有解； 解惟一且可由式(2)给出.,证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将,代入第i个方程的左端，再将Dj按第j列展开,得,即式(2)给出的是方程组(1)的解.,下面证明解惟一.设xj=cj(j=1,2,n)为方程组 (1) 的任意一个解，则

16、,以D的第j列元素的代数余子式 A1j, A2j , Anj依次乘 以上式各等式，相加得,从而 Dcj=Dj 由于D0,因此,即方程组的解是惟一的.,推论1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同解， 则D=0；,的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组 有非零解，则D=0.,可以证明,系数行列式D=0，是上述方程组有非 零解的充分必要条件.,推论2 如果齐次线性方程组,例1 解线性方程组,解 系数行列式,例2 若齐次线性方程组,解 系数行列式,方程组有非零解，则D=0.于是=3或 =0.,有非零解，求值.,例3,解,第1.5节 Mathematica软件应用,利用命令Det可以计算行列式. 例1 计算行列式,