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1、第2.4节 区间估计,一、区间估计的概念,二、正态总体数学期望的置信区间,三、正态总体方差的区间估计,四、两个正态总体均值差的区间估计,五、两个正态总体方差比的区间估计,六、单侧置信区间,七、非正态总体参数的区间估计,一、区间估计基本概念,1. 问题的提出,点估计法：,不足之处：,例如,问：,区间估计解决了上述问题，从而克服了点估计的不足之处.,2. 置信区间与置信度,定义2.11,关于定义的说明,若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n),按贝努利大数定理, 当抽样次数充分大时，在这些区间中包含 真值的频率接近置信度 1 , 即,例如,一旦有了样本，就把 估计在区间,内.,这里有两个要
2、求:,由定义可见，,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量),(X1,Xn),(X1,Xn),即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在 保证可靠度的条件下尽可能提高精度.,3. 求置信区间的一般步骤(共3步),3 求解不等式,二、正态总体数学期望的置信区间,4 作等价变形,简写成,其置信区间的长度为,注,置信区间不唯一，但上述结论区间长度最小,例1,包糖机某日开工包了12 包糖,称得重量(单位:克)分别为506, 500, 495, 488, 504, 486, 505,513, 521, 520, 512, 485. 假设重量服从正态分布,解,附表
3、2-1,附表2-2,查表得,4 作等价变形,简写成,例2,解,有一大批糖果,现从中随机地取16袋, 称得重量(克)如下:,设袋装糖果的重量服从正态分布, 试求总体均值,附表3-1,就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克与507.1克之间, 这个估计的可信程度为95%.,这个误差的可信度为95%.,例3,解,附表3-2,(续例1)如果只假设糖包的重量服从正态分布,三、正态总体方差的区间估计,推导过程如下:,根据第1章第三节定理1.12可知,进一步可得:,注意: 在密度函数不对称时,习惯上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图).,注 此置信区间长度并非最短,例4,(续例2) 求例2中总体标准差
4、的置信度为0.95的置信区间.,解,代入公式得标准差的置信区间,附表4-1,附表4-2,四、两个正态总体均值差的区间估计,本章将讨论两个总体均值差和方差比的估计问题.,推导过程如下:,为比较, 两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为,随机,地取型子弹20发, 得枪口速度平均值为,假设两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生产过程可认为它们的方差相等, 求两总体均值差,信区间.,解,由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),例5,五、两个正态总体方差比的区间估计,推导过程如下:,根据F分布的结构, 知,例6(p69例2.30),为了考察温度对某物体断裂强
5、,力的影响，在70度和80度分别重复做了8次试验，,测得的断裂强力的数据如下(单位Pa):,70度：20.5, 18.8, 19.8, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2,80度： 17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.2, 19.1,解,附表5-1,六、单侧置信区间,但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的“上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念.,1. 单侧置信区间的定义,2. 正态总体均值与方差的单侧
6、置信区间,注 其他结果可以参见p70表2.3.,设从一批灯泡中, 随机地取10只作寿命试验,测得样本寿命均值(以小时计)为1500h ,样本的修正均方差为 20h, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单侧置信下限.,解,例7(p71例2.31),解,例8*,七、非正态总体参数的区间估计,1、利用渐近正态性取代精确分布,由于统计量的精确抽样分布很难计算，因而通常可以利用近似分布取代精确分布。,一般总体均值的置信区间：,首先回顾定理1.18,定理1.18,由定理可得：,由此可得总体期望置信度为1-置信区间为,这是因为,将这个结果代入置信区间公式即得参数p的置信区间,例9
7、(p72例2.32),在试验的1000个电子元件中，共,100个失效，试以99%的概率估计整批产品的实效率.,解,由题意可知，每个元件服从两点分布B(1,p),其中，n=1000,m=100,1-=0.95,因而实效率p的置信 区间为,例10(p72例2.33),设总体X的分布密度为,解,此分布为指数分布，容易证明:,但是，伽玛分布的上侧分位数很难找，因而需要做一定的变换才可以，不难证明:,则有,例11(p73例2.34),设总体X服从(0,)上的均匀分布，,解,又由于,同时我们知道,则,由此可见：越小，精确度越高，n越大，精确度越 大。,再 见,附表2-1,标准正态分布表,1.645,附表2-2,标准正态分布表,1.96,附表3-1,分布表,2.1315,附表3-2,分布表,2.2010,附表4-2,分布表,6.262,附表4-1,分布表,27.488,附表5-1,3.79,分布表,