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第二节 对坐标的曲线积分,实例: 变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,一、问题的提出,取极限,近似值,精确值,求和,1.定义,二、对坐标的曲线积分的概念,类似地定义,2.存在条件：,3.组合形式,4.推广,5.性质,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,定理,三、对坐标的曲线积分的计算,特殊情形,(4) 两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,可用向量表示,有向曲线元；,例1,解,例2,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.,例3,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,