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1、第2章 导数与微分,2.2.1 微分的概念 2.2.3 微分的运算 2.2.4 微分在近似计算中的应用,2.2 微分,2019/4/5,1,北京师范大学,2.2 微分(34),2,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,2.2.1 微分的概念,2.2 微分(34),3,又如：,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,2.2 微分(34),4,1. 微分的定义,微分 称为函数增量 的线性主部（微分实质）.,2.2 微分(34),5,定义表明:,2.2 微分(34),6,2.可微的条件,定理1,证,(1) 必要性,2.2 微
2、分(34),7,(2) 充分性,解,例1,2.2 微分(34),8,可导 可微，,2.2 微分(34),9,3.微分的几何意义,M,N,）,如图所示：,2.2 微分(34),10,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,（1）基本初等函数的微分公式,1.微分公式：,2.2.2 微分的运算,2.2 微分(34),11,（2） 函数和、差、积、商的微分法则,2.2 微分(34),12,例2,解,例3,解,2.2 微分(34),13,2. 一阶微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,2.2 微分(34),14,例4 设,解,例3 设,解,2.2 微分(34),15,例5,解,在下列等式左端
3、的括号中填入适当的函数,使等式成立.,2.2 微分(34),16,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,2.2.4 小结与思考题,2.2 微分(34),17,导数与微分的区别,1、函数 在点 处的导数 为一个常 数，而微分 为 的线性函数，其定义域为全体实数，它是当 时的无 穷小，即,2、从几何意义上来看， 为曲线 在 点 处的切线斜率，而微分 为 曲线 在点 处的切线上对应于 的纵坐标的增量.,2.2 微分(34),18,思考题,2.2 微分
4、(34),19,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,2.2 微分(34),20,课堂练习题,2.2 微分(34),21,2.2 微分(34),22,课堂练习题答案,2.2 微分(34),23,例6,解,2.2.3 微分在近似计算中的应用,2.2 微分(34),24,例7,解,2.2 微分(34),25,2.2 微分(34),26,常用近似公式,证,2.2 微分(34),27,例8,解,2.2 微分(34),28,3. 误差估计,由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.,2.2 微分(34),29,办法:将误差确定在某一个范围内.,通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.,问题:实际中,绝对误差与相对误差无法求得?,2.2 微分(34),30,例9,解,2.2 微分(34),31,近似计算的基本公式,2.2.4 小结与思考题,2.2 微分(34),32,课堂练习题,2.2 微分(34),33,课堂练习题答案,