第2章插值法一.ppt

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1、2019年4月5日,1,第2章 插值法,2.1 引言,插值问题： 解决函数不便计算问题。,两种情形： 函数没有解析表达式，需确定自变量对应的函数值； 例如：天气温度与市场菜价的关系。 函数有解析表达式，但不便计算。 例如：误差函数积分、炮弹发射问题等。,数学描述： 函数 定义在区间 ， 已知 找出函数 ， 使得 插值法。,2019年4月5日,2,定义2.1 设函数 在区间 上有定义， 且已知在点 上的函数值 若存在一简单函数 ，使得下式成立,就称 为 的插值函数，,点 称为插值节点，,包含插值节点的区间 称为插值区间，,求插值函数 的方法称为插值法，,将已知节点上的函数值 称为插值条件，,20

2、19年4月5日,3,（ 为实数）,如果 是次数不超过 的代数多项式：,就称 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。,几何意义： 找出函数 近似表示,并满足：在插值节点上相等,2019年4月5日,4,2.2 lagrange插值,2.2.1 插值多项式的存在唯一性,设 为 次插值多项式，,次数不超过 的多项式集合，,存在唯一性：,在 中有且只有一个 满足,即：多项式插值函数只有一种形式。,2019年4月5日,5,证明：插值多项式中的系数 具有唯一性。,将插值条件代入多项式：,这里： 作为常量， 作为变量。,2019年4月5日,6,由克莱姆法则：,系数行列式不为零，则 有唯一解。,（范德蒙行列

3、式）,因此，线性方程组有唯一解 。 即：插值多项式存在且唯一。（定理2.1）,2019年4月5日,7,2.2.2 线性插值与抛物插值,1. 线性插值,，,插值条件：,找出 ：,并且： ，,几何意义：如图所示。,2019年4月5日,8,直线方程 ：,（点斜式方程）,（两点式方程）,式中，插值基函数：,2019年4月5日,9,插值基函数特点：,即，本节点的函数值不为零，为一个单位。,因此：,二点一次插值,2019年4月5日,10,注意： 基函数为函数；, 分子是自变量与其他节点之差； 分母是本节点与其他节点之差；, 本节点时，基函数取值为 ； 其他节点时，基函数取值为 。,2019年4月5日,11

4、,2. 抛物插值,，,插值条件：,同线性插值一样，找出基函数：,，,，,并且：,2019年4月5日,12,由基函数特点求解：,，,，,，,，,，,，,基函数曲线： 是二次函数， 可满足上述条件。,2019年4月5日,13,注意： 是二次函数, 因 ，,（式中， 为常系数）, 因,2019年4月5日,14,因此：,(三点二次插值),注意： 可以验证 ， ； 是二次函数，称为二次插值函数。,2019年4月5日,15,2.2.3 Lagrange插值多项式,1. 已知,求 次插值多项式 ，满足：,由前面讨论：,2019年4月5日,16,定义2.2 若 次多项式 ，在 个节点上满足：,则称这 个多项式

5、为节点 上的 次插值基函数。,2019年4月5日,17,由上述线性插值和抛物插值，同样：,共有 个基函数,因此：,Lagrange插值多项式,注意：,是 次函数； 满足： 。,2019年4月5日,18,2. 另一种形式,引入：,求导：,Lagrange插值：,2019年4月5日,19,2.2.4 插值余项,插值余项,定理2.2 设 在 上连续， 在 内存在， 节点 ， 插值多项式 满足： ， 则，对任何 ，有：,这里 且依赖于 。,2019年4月5日,20,1.,即： 是 的 个零点,则：,式中， 待定系数,注： 不一定是 次多项式,2. 视： 的一个固定点,作：,即：由偏差和插值余项构成一个

6、函数,证明：,2019年4月5日,21,当： 节点处 （共 个）,，,（第一、第二项全为零）, 固定点 （共 个）,（第一、第二项全为误差余项）,故： 共有 个零点,2019年4月5日,22,3. 由 Rolle（罗尔）定理： 在 的两个零点间至少有一个零点。,在 内有 个零点，,在 内有 个零点，,在 内有 个零点。,即：,（ 是 次多项式： ）,则：,，,，与 有关 ）,（,2019年4月5日,23,注意： 未知，无法计算余项 ；, 若,则,例如： 时，,，,时，,2019年4月5日,24,P19例题2.1 已知 ， ， ，用线性插值及抛物插值计算 的值，并估计截断误差。,解：（1）线性插

7、值：,，,，,2019年4月5日,25,，,(增函数）,2019年4月5日,26,（2）抛物插值：,2019年4月5日,27,，,2019年4月5日,28,2.3 逐次线性插值,Lagrange插值缺点：增加插值节点，重新计算基函数。,逐次线性插值：反复进行线性插值，得到高次插值。,2.3.1 讨论三个节点时情形,已知：被插值函数 的三个节点及其函数值,先过两节点 、 作线性插值（点斜式）,2019年4月5日,29,再过两节点 、 作线性插值（点斜式）,将 、 看成两节点，作线性插值,显然： 由两个一次插值函数再次线性插值，可得到二次插值； 是二次插值函数，比线性插值有更高精度； 可以验证：

8、在节点 、 、 处满足插值条件。,2019年4月5日,30,2.3.2 多个节点时情形,现令：函数 的节点为 ，,（ 为节点编号 ）,是 次插值多项式 ，,是零次多项式，且 。,由此：两个 次插值多项式，通过线性插值,可得到 次插值多项式：,2019年4月5日,31,新增节点,无新增节点,两个 次插值多项式,无公共节点,注意：这是关于节点 的插值多项式。,特点：可由节点 的插值多项式， 求得节点 的插值多项式。, 插值多项式次数提高了一次； 增加节点，不影响先前的计算。,2019年4月5日,32,证明：由插值多项式唯一性定理， 逐次线性插值多项式与 Lagrange 插值多项式等价。,1. 由

9、逐次线性插值构造法， 对原有节点 ，可得：,说明： 即插值时，少一个节点，降一次幂， 不影响本节点处取值（但减少节点不能是 ）；, 因线性插值时，只有本节点处取值不为零， 其他 节点处取值都为零，故有上述结论。,2019年4月5日,33,2. 当 时：,3. 当 时：,因此：逐次线性插值多项式满足插值条件。,2019年4月5日,34,2.3.3 Aitken（埃特金）插值,新增节点,无新增节点,只有最后两节点不同,无公共节点,例如： 时，插值节点 、 ，一次插值：（新增节点 ）, 时，插值节点 、 、 ，二次插值：（新增节点 ）,2019年4月5日,35,列表计算：,，,特点： 计算中都与起始

10、节点有关； 计算斜率时，最后两节点不同。,2019年4月5日,36,2.3.4 Neville（ 内维尔）插值,新增节点,原 个节点,后 个节点,减数为第一个节点,例如： 时，插值节点 、 ，一次插值：（新增节点 ）, 时，插值节点 、 、 ，二次插值：（新增节点 ）,2019年4月5日,37,列表计算：,，,特点： 计算中都与临近节点有关； 计算斜率时，后 个节点插值函数 减前 个节点插值函数。,2019年4月5日,38,P21例题2.2 已知 的值在表中，用 Aitken 插值求 的近似值。,解：,因 3 次插值结果相同，不需计算 4 次插值。,注：用 Neville 插值重新计算 ，结果

11、是否相同？,2019年4月5日,39,2.4 差商与 Newton 插值,2.4.1 差商及其性质,问题：点斜式直线方程,能否将其推广到 个插值点：,解决：插值多项式可表示为,待定系数 由插值条件确定。,2019年4月5日,40, 时：,一点零阶差商, 时：,二点一阶差商,（代入 ）, 时：,三点二阶差商,2019年4月5日,41,发现：计算系数时，用到函数差与自变量差之商差商。,定义2.3 一阶差商：,二阶差商：,阶差商：,注意：只有最后两个节点不同。,2019年4月5日,42,差商基本性质：,阶差商可表示为函数 的线性组合：,表明：差商与节点的排列顺序无关差商的对称性。,差商等价计算：,其

12、实： 、 都是节点中的任何一个。,2019年4月5日,43,若 在 上存在 阶导数，,且节点 ，,则 阶差商与导数关系如下：,2019年4月5日,44,规律：,差商表：（差商都选择相邻节点，便于计算）,阶差商,左侧差商 左上侧差商,左侧节点 往上第 个节点,2019年4月5日,45,2.4.2 Newton 插值公式,由差商定义：,把后一式代入前一式：,2019年4月5日,46,Newton 差商插值多项式：,插值余项：,，即差商表中第一项,2019年4月5日,47,Newton 插值特点：, Newton 插值多项式 ：,次数不超过 ，项数不超过 ，各项系数是各阶差商；, 增加一个节点时：,

13、只需增加一项，原有各项不变；,例如：,时，,时，,2019年4月5日,48, 插值余项 与 有关，无法准确计算。,一般估算：,注意：适用于离散点情形， 比 Lagrange 插值适用更广。,2019年4月5日,49,P24例题2.3 给出 的函数表，求 次Newton 插值多项式，并由此计算 的近似值。,2019年4月5日,50,注意：四阶差商近似为常数，五阶差商近似为零，取 次插值：,截断误差：,2019年4月5日,51,2.5 差分与等距节点插值公式,2.5.1 差分及其性质,等距节点：相邻两节点距离 是常数， 步长。,设函数 在等距节点,的函数值为,定义2.4 向前差分,向后差分,中心差

14、分,式中： 、 、 差分算子,2019年4月5日,52,一阶差分,二阶差分,阶差分,即， 阶差分是 阶差分之差。,2019年4月5日,53,差分基本性质：,性质1 各阶差分均可用函数值表示：,组合数：,性质2 可用各阶差分表示函数值：,2019年4月5日,54,性质3 差商与差分关系：,，,，,差分与导数：,2019年4月5日,55,向前差分表：（向后差分表？）,规律：,第 阶差分 左下侧差分 左侧差分,注意：不涉及节点计算，比差商计算方便。,2019年4月5日,56,2.5.2 等距节点插值公式,一、前插公式（ 在 附近，从 向前插值 ),由 Newton 插值公式：,用向前差分代替差商：,

15、2019年4月5日,57,假设：,，,（即： 在 附近）,节点：,，,差分与导数关系：,，,因此：,（消去了步长 ）,2019年4月5日,58,，,前插公式：,2019年4月5日,59,插值余项：,，,说明：, 插值公式中不直接显现步长 ， 插值余项中出现步长 ；, 各阶差分取节点 处值。,2019年4月5日,60,二、后插公式（ 在 附近，从 向后插值 ),为便于计算，将节点从大到小顺序排列：,2019年4月5日,61,作变换：,后插公式：,插值余项：,，,注：各阶差分取节点 处值。,2019年4月5日,62,P19例题2.4 在微电机设计计算中需要查磁化曲线表，通常给出的表是磁密 每间隔 高斯磁路每厘米长所需安匝数 的值，下面要解决 从 至 区间的查表问题。,解：为节省计算机存储单元，采用每 高斯存入一个 值。,2019年4月5日,63,从表中看出：三阶差分近似为零，取二阶差分计算。, 时：用 Newton 前插公式；, 时：用 Newton 后插公式。,例如：,，,，,，,，,，,，,