二章节变分法及其在最优控制中应用.ppt

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1、第二章 变分法及其在最优控制中的应用,在动态最优控制中，由于目标函数是一个泛函数，因此求解动态最优控制可归结为泛函极值问题。,本章主要介绍变分的基本原理及如何利用变分法求解最优控制问题。,如果有一类函数 ,对每一个函数 都有一个值 与之对 应，则J称为函数 的泛函数，简称泛函。记做 ，泛函 数实际为函数的函数。 即：泛函的值是函数的选取而定 ，函数 的值是由自变量的选取而定。,变分法的基本概念,211泛函的概念,1、 泛函的定义：,特点：函数给定后，泛函J相对于一个确定的值， 如： 不是泛函，因为 给定时 ， 并不等于某个固定值，而是 的函数。泛函数的定义可推广到含有几个函数的情况， 如：最优

2、控制常用指标：,是泛函， 是 的函数， 是 的函数。在泛函 中， 称为泛函的宗量,例如： 是泛函数 的值由 的选取而定,若 则,若 则,泛函极值是一个相对概念 ， 实际为相对于 的一个微 小变化，变化形式有上述两种 :,2、 泛函的极值的定义： 若 泛函 在任何一条与 曲线接近的曲线上的值均不小于 ，即： ，则称泛函 在曲线上达到极小值。,（1） 即 与 相差的绝对值，对定义域中的一切 均很小， 则称 与 接近 零阶接近度，由此推出的 为弱相对极小。,（2） 则称 与 相差微,小或接近 一阶接近度， 为强相对极小。 具有一阶接近度必然具有零阶接近度。,3、 泛函的变分的定义： 求泛函的极值问题

3、称为变分。 中， 称为泛函 的宗量（泛函的变量）。,宗量的变分：若 相应的最优函数为 ， 则 可表示为： ：称为y(x)的变分， 也为独立自变量x的函数。,：AB间的距离函数,B,A,(1) 泛函 变分 可定义为：,设 其中 ， 均为 的函数,例如： 最短距离问题A、B间的距离 如图：,：AB间的弧长函数,泛函 的变分 可通过增量形式求取：,泛函增量为：,式中： 是 的线性连续泛函,是关于 的高阶无穷小,定义 ：即泛函 的变分为其相应增量 的 线性函数，且称泛函 是可微的 注意： 泛函 的变分是唯一的。,即： =,=,则可以证明： =,例： 求泛函 的变分,解 ： =,=,=,为 的线性主部

4、，因此有：,当 ： 时,当 ： 时,(1,1),(1,0.2),(1,0.1), 如果泛函 是可微的，则泛函的变分为：,证明从略，见P 页 证明进一步，多元函数的变分为： 即：,变量,则,（定理 1 引出结论）,若,证明见书。,则有：, ：若可微泛函 在 上达到极值，则在 上的变分等于0，即 证明较简单，见书。,变分规则： ,泛函的极值的必要条件欧拉方程（以单变量为例，可推广）,已知。,终端状态满足：,目标函数：,问题：求 ，使被控过程状态由 转移到 ，并使目标函数 最小。,.,无约束条件的最优化问题 目的：求出最优控制 ，使 为最小。 方法：变分法,设被控过程状态方程为：,解：把式化为u的显

5、函数形式，即 代入式，则有：,事实上求解 ，就化为求 ，使,设 为容许轨线， 为最优轨线，,即 邻域中的一条容许轨线,则有：,.,将，式代入式，并将 在最优点 附近展开成泰勒级数，则有：,=,=,为 和 的高阶无穷小。,的增量为：,由变分的定义可知： 的变分 为：,泛函取极值的必要条件:,即：,式就变为：,若 独立，可任意取值，若使 ，必有：,欧拉方程 ,横截条件,2欧拉方程的全导数形式,基础知识：设函数,则：,在式中， 为全导数,令,=,=,其中：,所以 式的全导数欧拉方程形式为：,欧拉方程的全导数形式,横截条件，又称为边界条件,3横截条件的分析, , 都固定，图a,即,即, 固定, 自由

6、图 b,即,因为 自由 所以,终端仅在 上滑动,求出最优,许多状态轨线, 自由， 固定 ，图c 则横截条件变为：,终端仅在 上滑动, 端点变动的情况：（3.2.2）,1自由端点，无约束条件的变分，如图:,始点 在曲线 上变动,终点 在曲线 上变动,两个端点都是自由的,设泛函,为使 的求取 的必要条件 ：,当函数由 时，则:,= ,注： = +, = ,.,对 函数 在 处进行泰勒展开，则：,积分中值定理,acb,所以,利用分步积分,由图示：由于 是 的微小变化 所以有下列关系：,及：,见前面图示,2.端点变动时的泛函极值 对于起始端点的变化，因为满足,则有：,同理：,代入可得：,由泛函取极值的

7、必要条件： 则有：,欧拉方程：,横截条件：,横截条件的分析： 1）若两个端点均为自由，横截条件为,.,3）始点自由，终端固定，则有：,4）如果两个端点分别在直线 及 上变化，则有：,因为,同于前面欧拉方程以及横截条件的分析,2) 若始端点固定 端点自由 ，则有：,例1：求固定点A（0，1）到给定直线 的弧长最短的曲线方程,解：弧长公式A到直线为：,2,A,0 1 2 t,所以 属于始端固定，终端自由的情况,根据欧拉方程：,经积分,所以,，则,由终端条件：,则：,解得：,所以,可以证明, 与 正交,且,-横截条件,3.2.2 目标泛函取极值的充分条件自学 欧拉方程是求解泛函极值的必要条件,而非充

8、分条件,J取极大 值还是极小值,还需进一步加以判断.,结论:,取极小值， 阵为正定或半正定,取极大值， 阵为负定或半负定,3.2.3欧拉方程和横截条件的向量形式（自学）,目标函数Jx=,标量函数 标量函数,已知， 已知， 未定， 受终端目标集 约束,上述单变量系统的情况可推广到状态变量为向量的情况,求： ，使 最小,采用和单变量系统相同的分析方法，可得出结论：,欧拉方程,横截条件具体问题具体分析,横截条件,具有等式约束条件的最优化问题,古典变分法在最优控制中的应用,解决的问题：等式约束（如状态方程）下，指标泛函取极值的最优化问题 欧拉方程的局限性：J中的u必须首先由状态方程化为x 以及 的显函

9、数，有时处理比较困难.,解决办法：拉格朗日乘子法, 对于受控系统 ，由初始状态 出发，转移到末端状态 ，求容许控制 ， 使得目标函数 最小,二 处理方法,1) 将状态方程改写为： 等式约束,一 问题的提出,2)引入待定的拉格朗日乘子 ，将等式约束与原性能指标结 合成一个新的泛函,可以证明 与 相对于最优控制 等价,3)问题归结为求泛函 的无约束极值,令,H：标量函数 函数,则 ，以下可根据不同的初，末状态，确定求解最优控制的必要条件。,三 数学补充：多变量函数的微分运算 在求解最优控制时，常遇到许多微分运算问题： 如:时变向量或矩阵对时间求导 多变量标量函数对向量或矩阵求导 多变量向量函数对向

10、量或矩阵求导,1. 时变向量或矩阵对时间求导 设 为n维时变向量，即:,则 ：,设 为 时变矩阵,则 ：, 设计 , 为 时变矩阵,设 为时变标量， 为时变向量，则：,2 . 标量函数对向量求导,设 为 n 个变量 的函数， 为标量函数,定义： 对x的导数为,称为函数 的梯度,例 其结果常用到：,例1：,例2：,对角阵,-n1,-n1,同理 ：,若 Q 不为对称阵，即：,则 ：,例3：设 及 均为n维列向量，即： ,且 为常向量,则：,标量函数,-1n,例4：设 及 均为n维列向量，Q为 定常矩阵,则： 为标量函数,所以 有：,其中：,即 为n个向量 的标量函数,定义偏导数矩阵为：,雅可比矩阵

11、,同理可得：,3. 向量函数对向量求导,设向量函数,四 求解最优控制的必要条件：根据不同的初，终端条件进行讨论,1. 无终端约束问题,同于 ，始端状态固定,终端状态自由（终端无约束），但 固定,则：,变分 为：,令 =0，则得出的求解最优控制的必要条件为：,状态方程,协状态方程 ( 协状态变量 ),规范方程,控制方程,边界条件(横截条件),其中：,例题分析：已知受控系统微分方程：,求最优控制 使目标函数（泛函） 取极小值,边界条件：,解：将系统微分方程化为状态方程：,令 则有：,哈蜜顿函数：,协状态方程：,由控制方程： 即,由系统状态方程 所以,由边界条件： 代入求解得：,因此，最优轨线以及最

12、优控制为：,例3-8 设给定目标函数：,求在泛函约束条件,和边界条件,下的极值曲线,解：根据拉格朗日乘子法，构造新的目标函数为：,化为无约束条件的泛函极值问题,是 的函数,由欧拉方程： 即,对式求导：,代入得：,积分：,代入 边界条件 得：,所以,解式：,由式 代入边界条件,所以 为极值曲线,固定，末端受约束：,gx(,),=0,即:,g=,在构造增广泛函时，应考虑这一因素约束，引入拉格朗日乘子向量u.,于是,对x和u分别取变分，则有：,m维，mn,令,=0，求取最优控制必要条件为：,1,2,3,=f（x，u，t）,4,2n个未知数，2n个方程,2n个边界条件,两点边值问题,注：,（3）末端时

13、刻,自由时的最优解,自由：末端固定、末端自由、末端受约束（讨论：结果可以方便 地推广到上述两种情况）,例：敌机按预定诡计c（t）飞行，我防空导弹从 时刻发射追击 敌机，末端时刻是 无法规定的，但要求x( )=c( )以保证击落 敌机.,构成增广泛函:,当末端状态由（,）转移到（,）时，,对上式利用分步积分及积分中值定理：,求取最优控制的必要条件为：,代入上式,2n个方程 （2n+m+1)个未知数,2n+m+1个 已知条件,若末端状态自由，则：,末端状态固定，则:,正则方程,控制方程, 对于受控系统,，复合型性能指标函数：,末端状态受约束：,为使 成为最优控制和最优状态轨线，必存在适当 的向量函

14、数 ，使得：,规范方程,（4）边界条件：,（5）哈密顿函数在最优轨线末端应有：,例1：试求使受控系统,由初态,出发，当,时，转移,到目标集,且使性能指标,为最小的最优控制,及相应最优轨线,解：终端约束条件为：,根据定理可得：,规范方程,边界条件：,控制方程：,解得：,例2：已知一阶受控系统：,求最优控制,使系统由X(0)=1转移到,未定,且使性能指标：,为最小,解：,2个独立方程,2个边界条件,联立求解：若令,则：,若系统为最优控制，则原有：,若H不显含t,则：,连续控制系统最优化问题的数值计算,方法:,参数最优化方法,梯度法,共轭梯度法,变尺度法,二阶变分法,梯度法：是求解最优控制问题的一种

15、有效方法。,设问题为：,终端自由，,给定,求解步骤：,设定初始控制 。凭经验给定，选取时应根据U(t)的物理意义 选择合适的 ，选择合适可加快收敛。,由,及状态方程，由,正向积分，计算,并计算,第一次迭代所得状态轨线。,已知。由,由,反向积分，计算,同时计算：,第一次迭代所得伴随函数,令泛出梯度：,(,:第一次迭代所取的控制量),进行下一步迭代：,，最优步长参数，取固定或由一维搜索法确定,以,代替,重复上述步骤,迭代公式：,k=0,1,2,3,判定收敛性：,为允许误差：,时收敛，计算结束 .J没有太大变化，几乎不变,缺失：仅考虑一阶梯度，收敛慢，但方法简单,共轭梯度法较好，尤其对二次型性能指标

16、问题。其他方法自学,习题：用两种方法计算书中P461页习题上机,本章小结：,1、变分法是求解无约束最优控制问题的最有力工具，是基础。,2、哈密顿函数法求,的原理：若,为最优控制，则,也是H的极值函数。,3、若L及f不显函t，即H不显函t，则H沿最优控制,常数,若,自由，且,和g中不显含,则,0,4、古典变分法只适用于对控制量U没有约束的情况。问题的复 杂性在于求解两点边值问题的一组微分方程，需要计算机反复 求解。,第二章 极小值原理及应用,经典变分法缺陷：,1、应用前提：a 、控制量 u(t)的取值不受任何限制，没有任何 不等式约束。,b 、 f、L、,等函数对其自变量有充分可微性。,2、实际

17、控制要求：,a 、控制量u受不等式约束，如：,，i=1,2,3,b 、性能指标有时并不完全可微,如：燃料最优控制：,若采用经典变分：,若采用经典变分法：,不再适用，求不出解来,实际应为,极小值原理,若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得,结论一致。,一、极小值原理：时变系统,时变受控系统,，其中控制向量,，,为容许控制,域， U(t)是在,内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始,转移到末端,，,满足约束：,，,未定，,并使性能指标达,到极小值。,设,和,是如上J为最小的最优解，,为最优状态轨,为0的n维向量,，满足:,1、规范方程：,2、边界条件：,线，

18、则必存在不,3、与,对应的哈密顿函数H取极小值。,即:设,为满足,状态方程和协状态方程的最优解。,在 中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条,使得,仅看作U的函数时也取最小值。,极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行,二、极小值原理的意义：,1 、容许控制条件放宽,变分法：在整个控制域，对U没有约束,有时 计算不易。,极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。,变分法仅为极小值原理的一个特例。,件为,证明，省略。,且即使U不受限制，,2、最优控制,使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。,这一原理是苏联学者,“庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。,在证明过程中：,与H得符号与这里所定义的相反。,所以有的文献中也称为“极大值原理”。,3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。,4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。,即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。,一般:对于实际系统 有最优解 有唯一解 最优解,三、几种边界条件得讨论：,上面所讨论的是,和,已知。,受约束，,自由的最一般,情况。若,和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。,1）,已知，,边界条件为：,2),给定，,自由，,未给定，,边界条件：,确定,3),已知，,给定,末端受约束,边界条件为:,若,自由:外加:,