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1、3-3 二阶系统的分析,1. 二阶系统的基本概念 2. 二阶系统的单位阶跃响应分析 (1)欠阻尼情形 (2)过阻尼情形 3. 二阶系统的斜坡响应分析 4. 二阶系统的性能改进,3-3 二阶系统的分析,二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统 二阶系统的分析具有极其重要的实际意义，很多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统近似分析 1. 二阶系统的数学模型 微分方程描述,二阶系统结构图,二阶系统开环传递函数,标准形式的二阶系统闭环传递函数,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的特征方程为,二阶系统的两个极点（特征根）为,系统对输入响应的特性取决于特征根 特征根的性质主
2、要取决于阻尼比,二阶系统闭环传函,5,2. 二阶系统特征根分布情况,特征根公式,1) ：两个正实部的特征根 单位阶跃响应发散,系统不稳定,6,2) ：两个负实部共轭复根， 单位阶跃响应衰减振荡特性，欠阻尼系统,3) ：两个相等的实根 单位阶跃响应单调变化， 临界阻尼系统,7,4) ：两个不相等的负实根 单位阶跃响应单调变化，过阻尼系统,5) ： 共轭纯虚根 单位阶跃响应作等幅振荡，无阻尼系统,二阶系统单位阶跃 响应定性分析,0z1,z1,z0,z1,9,欠阻尼：指的是阻尼比,特征根是具有负实部的共轭复数,令,衰减系数（与虚轴的距离）,阻尼振荡频率（与实轴的距离）,则,3. 二阶系统的单位阶跃响
3、应：1）欠阻尼情形,10,当输入为单位阶跃时,注意：,11,拉式反变换得到单位阶跃响应为,其中,称为阻尼角,12,阻尼角的图形意义,衰减系数 是闭环极点到虚轴的距离,阻尼振荡频率 是闭环极点到实轴的距离,自然振荡频率 是闭环极点到原点的距离,13,稳态分量，瞬态分量,稳态分量为1，二阶系统在单位阶跃函数作用下不存在稳态误差 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 瞬态过程收敛速度取决于包络线,14,单位阶跃响应是平均值为1的正余弦形式等幅振荡,3. 二阶系统的单位阶跃响应：2）零阻尼情形,闭环传递函数,15,闭环传递函数,单位阶跃响应为,求拉氏逆变换,3. 二阶系统的单位阶跃响应：3）临界阻尼
4、情形,16,稳态值为1，无稳态误差 响应过程是单调上升的,17,系统有两个负实根,3. 二阶系统的单位阶跃响应：4）过阻尼情形,闭环传递函数,单位阶跃响应为,18,过阻尼系统的响应是无振荡的 稳态值为1，无稳态误差,以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：,直观地看， z 越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之， z 越小，振荡性越强，平稳性越差。 若z 过大，如 ，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若z 过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度
5、的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间,二阶系统一般取,其它的动态性能指标,可用 精确表示,只能近似表示,22,(1) 延迟时间,令,4.欠阻尼二阶系统动态性能分析,在较大的 值范围内，近似有,时近似表示为,增大自然频率或减小阻尼，都可减小延迟时间,记住！,单位阶跃响应方程,23,(2) 上升时间,令,得,取n=1，所以,响应速度越快,一定，即 一定时,记住！,24,(3) 峰值时间,令c(t)导数为零，得,由于,所以,取,记住！,25,根据 的表达式,越小，表明响应速度越快,26,(4) 超调量,超调量在峰值时间发生，故,即为最大输出,所以,记住！,超调量只与阻尼比有关系！,27,阻尼比越小
6、， 超调量越大,s%与z 的关系曲线,z 增大，s%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比z 取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-1.5%。,(5)调节时间ts 根据定义： 不易求出ts，需用近似求解的方法,30,已知欠阻尼二阶系统的包络线为,欠阻尼二阶系统响应的包络线,实际输出响应的曲线收敛程度，小于包络线的收敛程度。一般采用包络线来代替实际响应来估算调节时间。所得结果略为保守。,31,令为实际响应与稳态值的误差，则有,若令,所以,记住！,调节时间不连续的示意图,z 值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。,阻尼比越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； 过大时，系统
7、响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差； =0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.7为最佳阻尼比。,总结： 结构参数对单位阶跃响应性能的影响, 化为标准形式, 即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25, 解得 n=5, =0.5,例： 已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其闭环传递函数。,例：,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。 由图知：,5.过阻尼系统的动态特性分析,单位阶跃输入 系统的输出量为 拉氏反变
8、换得,响应曲线起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。 过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机确定,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出： 当 , (临界阻尼）时， , 当 ， 时， 当 ， 时， 由此可见，当 ，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。,过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制 系统一般不采用过阻尼系统。,6. 二阶系统的单位斜坡响应,1）欠阻尼,稳态分量 css 瞬态分量 ctt,系统的误差响应为,2. 临界阻尼,3. 过阻尼,仿真时间,仿真时间,输出,误差,自
9、然频率：wn=1.0 阻尼比：=0.4；1.0；2.5,=0.4,=1.0,=2.5,=2.5,=1.0,=0.4,【例3】已知单位反馈系统的开环传递函数为 (1) 计算放大器增益KA=200,1500时,系统单位阶跃响应的动态性能指标 (2)计算放大器增益KA=200,1500 时,系统单位斜坡响应时的稳态误差 解：闭环传递函数 单位斜坡响应的性能如何?,则,欠阻尼,阶跃响应性能指标,斜坡响应 稳态误差,欠阻尼,阶跃响应性能指标,斜坡响应 稳态误差,KA增大， tp减小， tr减小，可以提高响应的快速性，稳态误差减小 但是KA增大，超调量也随之增加 仅靠调节放大器的增益，难以兼顾系统的快速性
10、、稳态精度和平稳性之间的矛盾，为了改善系统的动态性能，可对系统加入校正环节。,7.二阶系统性能的改善,系统运行的平稳性与稳态精度矛盾 要求在系统具有较高稳态精度的前提下提高平稳性,比例+微分控制 速度反馈控制 加入校正装置（第六章）,改进措施：,比例微分校正后的二阶系统 系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分 的双重控制,系统开环传递函数,闭环传递函数:,等效阻尼比：,， 增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短。 然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度。 不改变系统的无阻尼振荡频率wn。 比例微分控制使系统增加了一个闭环零点z=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。 不利影响：微分器对高频噪声有放大作用，不适用于输入噪声较强的系统，Td的选择不能太大,速度反馈控制的二阶系统,开环传递函数为：,k有所减小,增大了稳态误差,因此降低了系统的精度。但阻尼比增加了。,系统的开环增益,不引入速度反馈开环增益为：,等效阻尼比,开环传递函数,闭环传递函数,应用速度反馈校正时, 应适当增大原系统的开环增益, 以补偿速度反馈引起的开环增益减小。,速度反馈增大系统的阻尼比,而不改变无 阻尼振荡频率wn,因此速度反馈可以改善系统的 动态性能。,