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1、非正弦周期函数:矩形波,分解成不同频率正弦波逐个叠加,7.5 傅里叶级数,设想是把一个复杂的周期函数 f (t) 表示为,即,7.5.1 三角函数系,称为三角级数,各类正弦函数 的迭加,三角函数系,其中任何两个不同,的函数的乘积在区间,即,在 上的正交性是指:,即,上的积分不为0.,三角函数系中每个函数自身的平方在,7.5.2 周期为 的函数的傅里叶级数展开,问题: f (x) 若能展开成三角级数, 是什么?,两边积分,利用三角函数系的正交性,利用三角函数系的正交性,利用三角函数系的正交性,由系数公式所确定的三角级数,傅里叶系数公式:,称为函数 f (x)(诱导出)的傅里叶级数,f (x) ,
2、记为,问题:当 f (x)满足什么条件时,它的傅里叶级数收敛?,收敛定理7.16 (收敛定理 狄利克雷充分条件),设 f (x)是以 为周期的周期函数.如果它 满足条件:,在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点,并且至多只有有限个极值点,则 f (x)的傅里叶 级数收敛,并且,(1) 当x 是 f (x)的连续点时,级数收敛于 f (x);,(2) 当x 是 f (x)的间断点时, 收敛于,收敛定理等价于：,如果设傅里叶级数的和函数为 S(x)，,即,则,设函数 f (x)以 为周期, 且,其傅氏级数在 处收敛于( ).,所以,特别地, 当 f (x)为奇函数时,它的傅里叶系数为,当 f
3、(x)为偶函数时,它的傅里叶系数为,f (x)的傅里叶级数为,称为正弦级数;,称为余弦级数.,f (x)的傅里叶级数为,周期函数的傅里叶级数展开步骤:,(由图形写出收敛域; 求出第一类间断点),(2) 求出傅里叶系数;,(3) 写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于 f (x).,画出 f (x)的图形, 并验证是否满足狄利克雷 收敛定理条件;,解,计算傅里叶系数,例1 函数 f (x)以 为周期, 且,将 f (x) 展开为傅里叶级数.,f (x) 的图象,故 f (x)的傅里叶级数为,由于 f (x)满足狄利克雷充分条件,由收敛定理,收敛于,(2) 将F (x) 展开为傅里叶级数;,作 法,
4、收敛定理的条件,也可展开成傅里叶级数.,(周期延拓);,级数收敛于,7.5.3 函数在 上的傅里叶级数,如果 f (x)只在区间 上有定义,并且满足,得到一定义在,这样就得到 f (x)展开式;,解,例2 将函数 展开为,傅里叶级数.,拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在,因函数在区间,上满足收敛定理的条件,收敛于 f (x).,又 f (x)是偶函数,f (x)是偶函数,已知函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式也可求数项级数的和,设,收敛定理的条件,我们首先将函数 f (x)的定义延,7.5.4 函数在 上的正弦级数或余弦级数,如果 f (x)只在区间 上有定义,并且满足,拓到区间 上,得到一定
5、义在 上的,函数F(x) ,使它 在内成为奇函数(偶函数),按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓 (偶延拓).,然后将F(x)展开成傅里叶级数, 这个级,数必定是正弦级数(余弦级数).,(1) 奇延拓,则 f (x) 的傅里叶级数:,再限制x在区间 上,就得到 f (x)展开式的,正弦级数(余弦级数)展开式.,(2) 偶延拓,则 f (x) 的傅里叶级数:,解 (1) 展开成正弦级数.,正弦级数和余弦级数.,例3 将函数 分别展开成,对 f (x)进行奇延拓,(2) 展开成余弦级数.,对 f (x)进行偶延拓,先作变量代换,7.5.5 周期为2l 的函数的傅里叶级数,条件,若周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理的,展开成傅里叶级数的方法是:,将函数变换到,再利用周期为 的周期函数的傅里叶级数展开法,最后回到变量x,就得到 f (x)的傅里叶展开式,则有,(1) 如果 f (x)为奇函数,其中, 傅里叶系数为,则有,(2) 如果 f (x)为偶函数,其中系数,解,例4 设 f (x)是周期为4的周期函数, 它在,的表达式为 将其展开,成傅里叶级数.,且收敛定理的条件.,