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1、二、 线性变换的简单性质,1 酉空间的介绍,二、酉空间中的重要结论,一、酉空间定义,一、酉空间定义,欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的.,酉空间实际就是复数域上的欧氏空间.,定义 1 设 V 是复数域上的线性空间，在 V,上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 ( , ),它具有以下性质：,共轭复数；,2) (k , ) = k( , ) ;,3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ;,4) ( , ) 是非负实数，且 ( , ) =0 当且仅当, =0 .,这里 , , 是 V 中任意的向量，k 为任意复数，,这样的线性空间称为酉空间.,例1 在线性空间 Cn 中，对向量,
2、 = (a1 , a2 , , an) , = (b1 , b2 , , bn) ,定义内积为,显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件.,这样 Cn 就,成为一个酉空间.,例2 用Ca,b表示区间a,b上所有连续复值函数组成的线性空间，规定,是Ca,b上的一个内积，此时,Ca,b成为一个酉空间.,容易验证，,二、酉空间中的重要结论,由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似,有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的,结论，而不详细论证.,首先由内积的定义可得到,2) ( , + ) = ( , ) + ( , ) .,与实内积空间类似，酉空间V 中由于有了内积的,概念，从而就有长度、角度
3、、正交、距离等度量概念.,定义2 非负实数,叫做向量 的长度，,记为 | .,显然|0|=0，0时， |0.容易证明：,定理1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立，,即对任意的向量 , 有,| ( , ) | | | | |，,当且仅当 , 线性相关时，等号成立.,注意：,酉空间中的内积 ( , ) 一般是复数，,故向量之间不易定义夹角，但我们仍引入,定义3 酉空间V中，两个非零, 的夹角,规定为,于是,（2）,从（7）式得出，,定义4 向量 , ，当 ( , ) = 0 时称为正交或互,相垂直.,与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中，,有三角形不等式和勾股定理.我们可以定义两个向,量,
4、 的距离,与实内积空间一样，在酉空间V 中，有正交向,量组的概念，并且可以证明：正交向量组一定线性,无关.从而有正交基、标准正交基的概念，利用施,密特正交化和单位化，可把V 的一个基变成与它等,价的标准正交基.,n 维酉空间V 中，向量组1,2,n是V 的一个,标准正交基当且仅当,利用标准正交基1,2,n，容易计算向量的内,积. 设, 在1,2,n下的坐标分别是, =(x1,x2,xn), =(y1,y2,yn), 则,利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积,表达. 设 在标准正交基1,2,n下的坐标是,(x1,x2,xn),则,两边用j作内积，得,因此,（3）,（3）式称为 的傅里叶（F
5、ourier）展开，其中每,个系数（ ，j）称为 的傅里叶（Fourier）系数.,n维酉空间V 中，向量组1,2,n是V 的一个,标准正交基，向量组1, 2, n 满足,则i在标准正交基1,2,n下的坐标是P的第,i列Xi ,，于是,1, 2, n 是V 的一个标准正交基,的共轭复数作元素的矩阵.,如 P 满足,则称之为酉矩阵.,它的行列式的绝对值等于1 .,或,两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.,类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以,引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵.,它们也分别,具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把,它列举在下面：,1) 酉空间 V 的线性变换 A ，如果满足
6、,(A , A ) = ( , )，,就称为 V 的一个酉变换.,酉变换在标准正交基下,的矩阵是酉矩阵.,2) 如果矩阵 A 满足,则叫埃尔米特(Hermite)矩阵.,在酉空间 Cn 中令,则,(A , ) = ( , A )，,A 也是对称变换.,3) V 是酉空间，V1 是子空间，V1 是 V1 的,正交补，则 V = V1 V1 .,又设 V1 是对称变换的不变子空间，则 V1 也,是不变子空间.,4) 埃尔米特矩阵的特征值为实数.,它的属于,不同特征值的特征向量必正交.,5) 若 A 是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵 C，使,是对角形矩阵.,6) 设 A 是埃尔米特矩阵，二次齐次函数,叫做埃尔米特二次型.,必有酉矩阵 C，当 X=CY,时,