浅谈测量误差传播及在工程中的应用.doc

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1、一、测量误差的基本知识 (一)什么是测量误差 前面已经讲述过，在任何测量中，由于各种原因，测量值与真实值之间总是存在着差异，测量值与真实值之差就称为测量误差 = 误差存在于一切测量之中，而且贯穿测量过程的始终。每使用一种仪器，进行一次测量，都会引进误差。测量所根据的方法和理论越繁多，所用的仪器装置越复杂，所经历的时间越长，引进误差的机会和可能就越多。弄得不好，就不一定能达到提高测量精确度的目的。 (二) 误差的性质和来源、系统误差和偶然误差 误差根据其性质分为两类：系统误差和偶然误差。 1系统误差 系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。它的来源有以下几方面： (1)

2、 仪器误差。这是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的。例如，仪器零点不准，放大器的非线性，照相底板的收缩，在20下标定的标准电阻30下使用等，产生的误差都属于仪器误差。图151 (2) 理论(方法)误差。这是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法所带来的误差。例如，理论公式中没有把散热考虑在内，没有把接线电阻和接触电阻考虑在内；摆的周期公式：T = 2的成立条件是摆角趋于零，这在实际上是达不到的；用伏安法测电阻时电表内阻的影响等，都属于理论（方法）产生的误差。 (3) 个人误差。这是由于观测者本人生理或心理特点造成的。例如，用停表

3、计时，有人常失之过长，有人常失之过短。 系统误差有些是定值的，例如，游标卡尺的零点不准；有些是积累性的，例如，用受热膨胀的钢质米尺进行测量，其指示值就小于真实长度，误差值随待测长度成比例增加；还有些是周期性变化的，例如，仪器的转动中心读数与刻度盘的几何中心不重合造成的偏心差就是一种周期性变化的系统误差。如图151所示，停表秒针的转轴O与表盘中心不重合，秒针转过圈时指14.8秒，转过半圈时指30.0秒。显然，秒针在不同位置时系统误差数值不同，它是周期性变化的，但对于指针的一定位置，它是定值的；还有些系统误差是按其他一些特定的规律变化的。 系统误差总是使测量结果偏向一边，即或者偏大，或者偏小。因此

4、，多次测量求平均值并不能消除系统误差。 对于不同学科领域、不同类型仪器、不同测量方法，往往有某些共同性的系统误差。例如，热学实验中常见的有温度计的误差、测温没有达到热平衡及散热的误差，金属量具的残余应力误差，电子仪表的零点漂移和非线性误差等，都属于个人误差。 找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的方法去消除它的影响或对测量结果进行修正。 2偶然误差 在测量时，即使排除了产生系统误差的因素（实际上不可能也不必要绝对排除），进行了精心的观测，仍将存在一定的误差。这种误差是由于人的感官灵敏程度和仪器精密程度有限，周围环境的干扰以及随测量而来的其他不可预测的偶然因素造成的。例如，用米尺测量一组

5、振幅，每次判断振幅大小以及用米尺去对准它，并估计毫米以下的一位读数值，都有一定的偶然性，都会带来误差。又如，测量时温度的微小起伏，气流的扰动等会造成测量结果的无序变化。不规则的地脉动和杂散电磁场会影响精密测量等等。这些由于偶然的或不确定的因素所造成的每一次测量值的无规则的涨落，称为偶然误差，也叫随机误差。偶然误差的存在使每次测量值偏大或偏小是不定的，但它服从一定的统计规律。常见的一种是比真值大或比真值小的测量值出现的概率相等，而且误差较小的数据比误差较大的数据出现的概率大；同时，绝对值很大的误差出现的概率趋于零。因此，增加测量次数，可以减小偶然误差。这就是我们在实际工作中常常采取重复多次测量的

6、依据。但是，偶然误差是不能消除的。 根据偶然误差的性质，有多种处理偶然误差的理论和方法。 总之，系统误差与偶然误差性质不同，来源不同，处理方法也不同。测量精密度高，是指偶然误差小；测量准确度高，是指系统误差小；而精确度是把两者都包括进去了。影响测量结果的精确度的，有时主要因素是偶然误差，有时主要因素是系统误差，对于每项具体工作需要进行具体分析。测量结果的总误差是系统误差和偶然误差的总合。 有时候，系统误差与偶然误差是加以区别、分别处理的。在精密测量时尤其如此。有时候，只为了说明总误差的限度，就不加以区别，许多不太精密的仪器的最大允许误差(如电表的精度级别)就是既包括系统误差又包括偶然误差。有时

7、候，也难于划分或区别它们。某些情况，例如，刻度尺的刻度的不均匀性，球不圆等都属于这种情况。对于尺上或球上的某个确定的位置，它与准确值或平均值的偏差是确定的；但是对于各处来说，又有随机性，对这类测量对象的不确定性以及一些有抵消性的误差，可以当作偶然误差来处理，以多次测量表示其结果及计算误差。至于因仪器损坏、设计错误、操作不当等而造成的测量错误，不是测量误差。二，测量误差结果为了描述测量结果的误差，根据国家计量技术规范，应采用以下的术语。（一） 精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，即在规定条件下，对被测量进行多次测量，所得结果之间的符合程度。精密度又可简称为精度。（二） 正确度表示测量结果中系

8、统误差大小的程度。它指的是在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合反映。（三） 准确度表示测量结果与被测量真实值之间的一致程度。它指的是测量结果中系统误差与随机误差的综合反映。准确度亦称精确度。 图152以打靶为例，可形象理解上述三个概念之间的关系，如图1一52所示。图152 (a) 的弹着点都向一侧偏离靶心，但比较集中，这反映了随机误差较小而系统误差较大的情况，即精密度高而正确度低。图152 (b) 的弹着点比较分散，但平均值比较接近靶心，这反映了随机误差较大而系统误差较小的情况，即正确度高而精密度低。图152（c）的弹着点比较集中，又都聚集在靶心附近，这反映了系统误差和随机误差都比较小的

9、情况，即准确度高。三、不确定度 对被测量量的测量过程中，测量误差是普遍存在的，测量结果中包含有多种误差因素，如器具误差、人员误差、环境误差、方法误差、调整误差、观测误差、读数误差等等。还要考虑到在很多情况下，人们对于各种误差的信息不能全面了解和掌握，特别是在那些多次重复测量中，不能充分反映出来的随机误差因素和未定系统误差。所有这些因素使得测量结果具有一定程度的不确定性。为了对测量结果不确定程度进行定量的估计，需要引入一个新的概念不确定度。 不确定度是表征被测量的真实值在某个量值范围的估计值。它表示真实值在多大的可能性上处于某个范围之内。测量不确定度应该这样来估计：在修正了可定系统误差以后，把剩

10、下的所有误差分成两类，可以用统计方法计算的A类分量A和用其它方法计算的B类分量B，然后，将两类分量按方和根的方法进行合成。合成不确定度可表示为 = 需要指出的是，A类分量和B类分量不一定与通常讲的随机误差和系统误差存在简单的对应关系。有关不确定度的计算与合成，还有许多问题需要深入讨论，有些问题还有争议，因此，现在仍用传统的误差概念来表示测量结果的不确定程度。系统误差的特点和处理方法前面已有讨论，以下仅讨论随机误差的处理方法和测量结果的表示方法。四、直接测量的误差 （一）仪器误差 直接测量值是用仪器直接得到的测量结果，因此进行直接测量时，首先要考虑仪器的误差。仪器误差是指在正确使用仪器的条件下，

11、测量值和被测量的真值之间可能产生的最大误差。它是测量结果中系统误差和随机误差的综合反映。实际测量的误差总是小于或等于它，不会超过它，并且符号是不确定的。 仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书所规定的示值误差或准确度等级来确定。例如，50分度的游标卡尺，测量范围在0300mm内，其示值误差为土0.02mm；150mA量程的0.5级电流表的允许误差限为0.75mA，它也是各示值的仪器误差。在物理实验中，还可以简化约定一些仪器的误差限，即取其最小分度值的一半。例如：米尺为0.5mm，干分尺为0.005mm，物理天平为0.03g等。 有时用仪器对被测量进行多次测量，会出现测量值完全相同的情况，好像不存在

12、随机误差，其实这正说明仪器灵敏度太低，不能反映出多次测量的差异。在这种情况下，可以用仪器误差表示测量值的误差。在实际工作中，有时不需要也不可能进行多次重复的测量，只要一次测量的结果就可以了。对于单次测量值，可用仪器误差作为它的误差限。如果认为测量的随机误差在这个极限范围内服从正态分布，则单次测量值的标准误差为= 式中仪代表仪器误差，的置信概率仍为68.3。 （二）多次测量的算术平均值和误差的估算1算术平均值 设在同一测量条件下进行多次测量，得到一组测量值，。被测量的真实值为，各测量值的误差为则算术平均值为= 例题：对某一长度测量10次，结果如下：Ni = 63.57，63.58，63.55，6

13、3.56，63.56，63.59，63.55，63.54，63.57，63.57。求测量结果。解： = 63.56 cm。平均值并非真实值，但比任一测量值更接近真实值，因此是测量结果的最佳值。当测量次数无限多时，算术平均值就无限接近于真实值。因为 = + 由随机误差的抵偿性，有 = 0 所以 = 在实际测量中，只进行有限次数的测量，因此可用算术平均值作为近似真实值。误差指测量值与真实值之差，测量值与平均值之差则称为偏差，二者有所不同。实际测量中只能得到偏差。当测量次数很多时，也可不做区别。2平均偏差平均偏差可用各测量值偏差的绝对值求出平均值表示，即 x = 平均偏差x 表示在一组多次测量中，各

14、个数据之间的分散程度。对于一组测量数据，其平均值的平均偏差与任一值的平均偏差x 之间的关系为 = 可以人为，平均值比任一测量值更接近于真实值，它与真实值的离散程度要小得多。当测量次数n趋于无限大时，平均偏差就表示平均误差。这时任一测量值的误差落在区间内的概率为57.5。3标准偏差 还可以用标准偏差来表示测量值的随机误差。由标准误差的表达式可以得到在有限次测量中，标准偏差的表达式为= 该式为贝塞尔公式。一般说来，只要测量次数不是很少（比如不少于10次左右），表示任一测量值的误差落在区间内的概率也是68.3。可以证明，当测量次数n趋于无限大时，该式即是标准误差的表达式。在物理实验中，随机误差既可以

15、用平均误差也可以用标准误差，还可以用其它误差来表示。到底用哪种误差来表示，应该根据对测量结果的可靠程度的要求来确定。目前普遍采用标准误差的表示方法。（三）测量结果的表示根据随机误差的统计意义，可以把测量结果(修正了系统误差以后)写成如下形式： x = （或）式中，x为测量值；是多次测量数据的算术平均值，代表近真实值；号表示每次测量值比或大些或小些；(或)为绝对误差，表示测量结果的误差范围。不同范围内，被测量真实值出现的概率不同，不能理解成测量结果只有（）两个值。为了增大测量结果的可靠程度，也可粗略地用任一测量值的平均误差或标准误差表示，即x = （或）而不必用平均值的平均误差或标准误差来表示。

16、因为平均值的误差落在土或士区间内的可能性更大。在测量次数为10次左右时，或对都相当于极限误差，即上述区间相应于95以上的置信概率。绝对误差尚不能完全反映出测量质量的好坏程度，还要看它在测量值中所占的比重。因此，可用相对误差来表示测量结果的质量。相对误差的表示式为 E = （或）相对误差常以百分数的形式表示，也叫百分误差。对两个不同的测量结果，绝对误差大的，其相对误差不一定大；绝对误差小的，其相对误差未必就小。六、间接测量的误差传递与合成间接测量值是由一些直接测量值代入公式计算得到的。因为直接测量值都有误差，所以，间接测量值也一定存在误差。也就是说，误差由直接测量值传递给间接测量值。这一规律用数

17、学语言表示即误差传递公式。（一）误差传递的一般公式设间接测量值y是几个互相独立的直接测量值x1，x2，xn的函数，即y = f（x1，x2，xn。)对上式求全微分，有dy = dx1+dx2+dxn。在高等数学中，dy、dxi是函数y和变量x的微小增量，是函数对独立变量的偏导数。在实验中，通常测量误差远小于测量值，故可将dy、dxi看成是误差，式 dy = dx1+dx2+dxn即为误差传递的基本公式。还可以将式y = f（x1，x2，xn。）两边先取对数再求全微分，有 1ny 1nf（x1，x2，xn。）= dx1+dx2+dxn。此式即间接测量值y的相对误差计算公式，也是误差传递的基本公式

18、。以上两个误差传递的基本公式中dxi、dxi各项叫分误差，、叫误差传递系数。显而易见，对和差的函数，用式dy = dx1+dx2+dxn计算误差方便，对积商的函数，用式= dx1+dx2+dxn计算误差方 图152便。（二）误差的算术合成由分误差求出总误差的过程叫误差的合成。误差的算术合成方法是将各项分误差取绝对值相加作为总误差， y = = 这是随机误差在极端条件下的合成。它认为各直接测量值的误差均为同号，因此，是间接测量值可能有的最大误差。常用函数误差的算术合成公式如下表所示；由上述公式，可得到误差的算术合成(传递)规律：和差的绝对误差等于各个直接测量值绝对误差之和；积与商的相对误差等于各

19、个直接测量值相对误差之和。公式中各项均取正值。上述规律可推广到多个直接测量值的情况。误差的算术合成方法计算比较简单，合成后的总误差可靠性较高，但这样计算的结果将偏大。实际上，各项分误差在合成时可能互相抵消一部分。它常用于误差分析、误差限的粗略估算和实验方案的设计方面。五量误差及数据处理一测量与误差测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，都是直接测

20、量。间接测量借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。测量仪器是进行测量的必要工具。熟悉仪器性能。掌握仪器的使用方法及正确进行读数，是每个测量者必备的基础知识。如下简单介绍仪器精密度、准确度和量程等基本概念。二误差与偏差测量的目的就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似值，也就是说，一个被测量值N与真值N0之间总是存在着这种差值，这种差值称为测量误差，即NNN0显然误差N有正负之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差

21、。注意，绝对误差不是误差的绝对值！误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和选用仪器的，不要以为仪器精度越高越好。因为测量的误差是各个因素所引起的误差的总合，要以最小的代价来取得最好的结果，要合理的设计实验方案，选择仪器，确定采用这种或那种测量方法。如比较法、替代法、天平复称法等，都是为了减小测量误差；对测量公式进行这样或那样的修正，也是为了减少某些误差的影响；在调节仪器时，如调仪器使其处于铅直、水平状态，要考虑

22、到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略不计；电表接入电路和选择量程都要考虑到引起误差的大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法将它测准；有的测量不太准确对结果没有什么影响，就不必花太多的时间和精力去对待，在进行处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。1、 中误差1.1中误差的概念为了统一衡量在一定观测条件下观测结果的精度，取标准差 作为依据。但实际工作中，我们不可能做到对某一量进行无数次测量求的标准差。因此，定义有限几次测量的偶然误差求得的标准差为中误差。三.误差传播定理3

23、.1误差的传播对于多次直接测量的量，我们根据中误差的定义很容易就能算出来中误差。那么对于非直接测量量，我们应该怎么办呢？这些间接测量量是由直接测量量经过一定的函数变化得到的。观测值中含有误差，那么经过一定的函数关系后，误差还会存在，也就是说间接测量值也存在着误差。这种现象称之为误差的传播。3.2误差传播定理知道了误差传播现象后，我们就要解决如何计算间接误差的问题。，其中 为直接测量量。我们通过偏导数很容易得到： 。现在我们遇到的一切间接测量量都可以通过这个公式来求解。六误差传播定律的应用目的：讨论某些测量成果的精度和限差规定的理论根据。一、距离测量的精度目的：讨论一般距离丈量中相对极限误差1/

24、2000的理论根据。分析：设长度为 的钢尺丈量一尺段的中误差为m ，共丈量n个尺段，其水平距离为D。则： 又 尺段数 令： -称为单位长度中误差则： 结论：距离丈量的中误差与距离的平方根成正比。评定距离丈量精度通常采用相对误差 根据和差函数的误差传播定律，可得： 取2倍的中误差 作为 的容许误差 ，则 取： （地形良好地区的经验数据） D=200m （常用长度）可计算出一般丈量的相对极限误差 二、角度测量的精度1、水平角观测的精度DJ6-代表一测回观测一个方向的中误差为6，即 下面根据误差传播定律推导J6上、下半测回角差的限差： 半测回方向值的中误差 又 半测回水平角值中误差 同理： 半测回角

25、值较差的中误差 以两倍的中误差作为半测回角值较差的限差容 则： 上述推导即是J6上、下半测回角差的限差的理论根据。2、多边形角度闭合差限差的规定多边形的角度闭合差可用下式计算：取2倍中误差作为 的容许限差，即大家可参看P112页表7-4。三、水准测量的精度若在路线L上进行水准测量，设测站数为n，测得的高差为h，则：由于等精度观测，每站的高差中误差相同，均为m站，依据误差传播定律有：结论：水准测量的中误差与测站数的平方根成正比。设两水准点间的路线长度为L(km)，每站的距离为S(km)，则有 式中：1/s-每公里的测站数 -每公里水准测量的中误差，即单位观测中误差，用表示。则： 结论：水准测量的高差中误差与水准路线的距离的平方根成正比。例题：已知四等水准测量每公里往返高差的平均值中误差 则每公里单程水准测量中误差： L公里单程高差的中误差为： L公里往返高差的中误差为： 取2倍中误差作为往返测量高差较差的极限误差，则： 上述推导即是规范规定的四等水准测量往返测量的较差（闭合差）的限差为20Lmm的理论根据。