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1、1,数学分析,多元函数的极限与连续,重极限与累次极限,浙江师范大学数学系,2,复习,二元函数极限的定义,3,例1 讨论函数,等值图,解,当点(x,y)沿任何直线趋于原点时，,但是，当点(x,y)沿抛物线 y=k x2(0k1)趋于点(0,0)时，,当 时的极限.,总有,有,4,例2 设,图像,证,作极坐标变换 x= rcos , y= rsin . 由于,什么值都有| f(x,y)-0| ,不论 取,因此，对,5,例3 讨论函数,函数图像,等值图,分析：,则有,f(x,y)=f(rcos,rsin),当 =0, /2, ,3/2 时，上式的值为0；,当 取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,
2、2,3)的值时，,总有：,作极坐标变换 x = rcos ,y = rsin ( ),当 时的极限.,6,|f(rcos,rsin)|,下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.,|f(rcos,rsin)|,对例2，用 “ ” 语言表示为：,恒有,对例3，用 “ ” 语言可表示为：,对,7,解,当(x,y)沿抛物线x=ky2趋于点(0,0)时,f(x,y)=f(ky2,y),当 k=1和k=2时，上式的值分别是,因此，,8,注：,() 求二元函数极限的一般思路是转化为,一元函数的极限来处理.,() 极坐标变换是转化为一元函数极限的常用方法之一，,但要注意的是：极限,必须关于 一致成立.,9,二
3、、累次极限,定义3,存在极限,而且进一步存在极限,则称此极限L为二元函数 f 先对x(x0)后对y( y0)的累次,极限，并记作,设Ex, Ey R, x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点,二元函数 f 在集合DEx Ey 上有定义. 若对,10,重极限存在与累次极限存在之间有什么关系？,(x0,y0),11,例4 求函数,在点(0,0)的重极限和累次极限.,12,若将函数定义修改为,则有:,但仍然有,此时，两个累次极限存在且相等，但重极限不存在.,13,例5 讨论函数,在点(0,0)的重极限和累次极限.,解,当y0时，,同样，当x0时,但由于,因此，,函数图像,14,重极限与累次极限的关系分
4、析图,15,定理16.6,若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限,且存在0, 对任意 x U0(x0; ),存在极限,也存在，且,则累次极限,16,在(*)式中令yy0,这就说明了,=A.,证明,点(x0,y0)记为P0,由定义，对 当 时，有,取,(*),由条件，对 存在极限,则当 时,17,定理16.6,若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限,与累次极限,则它们必相等.,18,如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？,如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？,19,推论1,若累次极限,和重极限,都存在，则三者相等.,推论2,若累次极限,存在但不相等，则重极限,20,例6 函数,在点(0,0)的两个累次极限分别为,=1,= -1,与,因此，根据上面的推论2，重极限,不存在.,21,作业：,P129 2(2)(3)(5)(7),6,8,22,23,y=x2,f=1,f=0,24,