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1、一、多元线性回归的数学模型,二、数学模型的分析与求解,三、MATLAB中回归分析的实现,四、小结,多元线性回归,一、多元线性回归的数学模型,用最大似然估计法估计参数.,达到最小.,二、数学模型的分析与求解,化简可得,正规方程组,引入矩阵,正规方程组的矩阵形式,最大似然估计值,多元线性回归,1.确定回归系数的点估计值,用命令: b=regress(Y,X),2.求回归系数的点估计和区间估计,并检验回 归模型,用命令: b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X,alpha),3.画出残差及其置信区间,用命令: rcoplot(r,rint),三、MATLAB中回归分析的实现,
2、符号说明,(1),(2) alpha为显著性水平, 默认为 0.05;,(3) bint为回归系数的区间估计;,(4) r与rint分别为残差及其置信区间;,(5) stats 是用于检验回归模型的统计量, 有三个 数值, 第一个是相关系数 r2, 其值越接近于 1, 说明回 归方程越显著; 第二个是 F 值, FF1-alpha(p,n-p-1) 时 拒绝 H0, F 越大, 说明回归方程越显著; 第三个是与 F对应的概率 p, palpha 时拒绝, 回归模型成立.,例1 测得16组的身高和腿长如下(单位:cm):,试研究这些数据之间的关系.,输入数据,x=143,145,146,147,
3、149,150,153,154,155,156,157, 158,159,160,162,164; X=ones(16,1),x; Y=88,85,88,91,92,93,93,95,96,98,97,96,98,99,100, 102;,回归分析及检验,b,bint,r,rint,stats=regress(Y,X); b,bint,stats,一元多项式回归,1.确定多项式系数,用命令: p,S=polyfit(x,y,m),也可使用命令:polytool(x,y,m),结果产生一个交互式的画面, 画面中有拟合曲 线和 y 的置信区间, 左下方的 Export 可以输出参数.,2.预测和预
4、测误差估计用命令:,求回归多项式在x处的预测值Y.,Y,DELTA=polyconf(p,x,S,alpha),求回归多项式在 x 处的预测值 Y 以及预测值的 显著性为1-alpha 的置信区间 YDELTA,alpha 的默 认值是 0.05.,一元多项式回归可化为多元线性回归求解.,Y=polyval(p,x),例2 下面给出了某种产品每件平均单价 Y(元) 与 批量 x (件) 之间的关系的一组数据 .,试用一元二次多项式进行回归分析.,输入数据,x=20,25,30,35,40,50,60,65,70,75,80,90; y=1.81,1.70,1.65,1.55,1.48,1.40
5、,1.30,1.26,1.24,1.21, 1.20,1.18;,作二次多项式回归,p,S=polyfit(x,y,2),预测及作图,Y=polyconf(p,x,y) plot(x,y,b+,x,Y,r),作二次多项式回归,p,S=polyfit(x,y,2), p=polyfit(x,y,2) p = 0.0001 -0.0225 2.1983,Y=polyval(p,x),Y = 1.7978 1.7134 1.6352 1.5632 1.4975 1.3848 1.2972 1.2627 1.2345 1.2126 1.1969 1.1843,预测及作图,Y=polyconf(p,x,
6、y) plot(x,y,b+,x,Y,r),Y=polyconf(p,x,y) Y = 1.7978 1.7134 1.6352 1.5632 1.4975 1.3848 1.2972 1.2627 1.2345 1.2126 1.1969 1.1843,预测及作图,polytool(x,y,2),预测及作图,polytool(x,y,2),p,S=polyfit(x,y,2)；,Y,DELTA=polyconf(p,x,S,0.05),Y = 1.7978 1.7134 1.6352 1.5632 1.4975 1.3848 1.2972 1.2627 1.2345 1.2126 1.196
7、9 1.1843 DELTA = 0.0335 0.0311 0.0299 0.0296 0.0297 0.0302 0.0302 0.0299 0.0297 0.0297 0.0305 0.0354,化为多元线性回归,X=ones(12,1) x (x.2);,X = 1 20 400 1 25 625 1 30 900 1 35 1225 1 40 1600 1 50 2500 1 60 3600 1 65 4225 1 70 4900 1 75 5625 1 80 6400 1 90 8100,化为多元线性回归,X=ones(12,1) x (x.2); b,bint,r,rint,st
8、ats=regress(y,X); b,stats,与前面的结果一致.,多元二项式回归,rstool(x,y,model,alpha),其中,输入数据 x, y 分别为 nm 矩阵和 n 维列向量; alpha 为显著性水平, 默认为 0.05; model 为下列四种模型中的一种, 输入相应的字符串, 默认为线性模型.,rstool的输出是一个交互式画面,画面中有m个 图形,分别给出了一个独立变量xi与y的拟合曲线, 以及y的置信区间,此时其余m-1个变量取固定值.可 以输入不同的变量的不同值得到y的相应值.,图的左下方有两个下拉式菜单,一个用于传送 回归系数、剩余标准差、残差等数据;另一个
9、用于 选择四种回归模型中的一种,选择不同的回归模型, 其中剩余标准差最接近于零的模型回归效果最好.,例3 设某商品的需求量与消费者的平均收入、商 品价格的统计数据如下, 建立回归模型, 预测平均收 入为 1000, 价格为 6 时的商品需求量 .,选择纯二次模型,即,数据输入,x1=1000,600,1200,500,300,400,1300,1100,1300,300; x2=5,7,6,6,8,7,5,4,3,9; y=100,75,80,70,50,65,90,100,110,60; x=x1 x2;,回归、检验与预测,rstool(x,y,purequadratic),化为多元线性回归
10、求解,x1=1000,600,1200,500,300,400,1300,1100,1300,300; x2=5,7,6,6,8,7,5,4,3,9; y=100,75,80,70,50,65,90,100,110,60; X=ones(10,1) x1 x2 (x1.2) (x2.2); b,bint,r,rint,stats=regress(y,X),回归系数的点估计以及区间估计,残差及其置信区间,检验回归模型的统计量,逐步回归分析,在实际问题中,影响因变量的因素很多,而这些 因素之间可能存在多重共线性.为得到可靠的回归 模型,需要一种方法能有效地从众多因素中挑选出 对因变量贡献大的因素.
11、,如果采用多元线性回归分析,回归方程稳定性 差,每个自变量的区间误差积累将影响总体误差,预 测的可靠性差、精度低;另外,如果采用了影响小的 变量,遗漏了重要变量,可能导致估计量产生偏倚和 不一致性.,选择“最优”回归方程的方法,1.从所有可能的变量组合的回归方程中选择 最优者;,2.从包含全部变量的回归方程中逐次剔除不 显著因子;,3.从一个变量开始,把变量逐个引入方程;,4.“有进有出”的逐步回归分析.,“最优”的回归方程应该包含所有有影响的 变量而不包括影响不显著的变量.,逐步回归分析法在筛选变量方面比较理想, 是 目前较常用的方法. 它从一个自变量开始, 根据自变 量作用的显著程度, 从
12、大到小地依次逐个引入回归 方程, 但当引入的自变量由于后面变量的引入而变 得不显著时, 要将其剔除掉. 引入一个自变量或从回 归方程中剔除一个自变量, 为逐步回归的一步, 对于 每一步, 都进行检验, 以确保每次引入新的显著性变 量前回归方程中只包含作用显著的变量.,反复进行上面的过程, 直到没有不显著的变量 从回归方程中剔除, 也没有显著变量可引入到回归 方程.,函数: stepwise,用法: stepwise(x,y,inmodel,alpha),符号说明:,x自变量数据,为nm矩阵;,y因变量数据,为n1矩阵;,inmodel由矩阵x列的指标构成,表明初始模 型中引入的自变量,默认为全
13、部自变量;,alpha判断模型中每一项显著性的指标, 默 认相当于对回归系数给出95%的置信区间.,例4 水泥凝固时放出的热量 y 与水泥中的四种化 学成分 x1, x2, x3, x4 有关, 今测得一组数据如下, 试 用逐步回归法确定一个线性模型.,x1=7,1,11,11,7,11,3,1,2,21,1,11,10; x2=26,29,56,31,52,55,71,31,54,47,40,66,68; x3=6,15,8,8,6,9,17,22,18,4,23,9,8; x4=60,52,20,47,33,22,6,44,22,26,34,12,12; y=78.5,74.3,104.3
14、,87.6,95.9,109.2,102.7,72.5,93.1, 115.9,83.8,113.3,109.4; x=x1,x2,x3,x4;,输入数据,stepwise(x,y),逐步回归分析,stepwise(x,y),逐步回归分析,对变量 y 和 x1, x2 , x3 , x4 , 作线性回归., X=ones(13,1),x1,x2,x3,x4; b,bint, r,rint,stats=regress(y,X),b = 62.4054 1.5511 0.5102 0.1019 -0.1441 bint = -99.1786 223.9893 -0.1663 3.2685 -1.1
15、589 2.1792 -1.6385 1.8423 -1.7791 1.4910 r = 0.0048 1.5112 -1.6709 -1.7271 0.2508 3.9254 -1.4487 -3.1750 1.3783 0.2815 1.9910 0.9730 -2.2943 rint = -4.0390 4.0485 -3.2331 6.2555 -5.3126 1.9707 -6.5603 3.1061 -4.5773 5.0788 -0.5623 8.4132 -6.0767 3.1794 -6.8963 0.5463 -3.5426 6.2993 -3.0098 3.5729 -2.2372 6.2191 -4.1338 6.0797 -6.9115 2.3228 stats = 0.9824 111.4792 0.0000 5.9830,对变量 y 和 x1, x2 作线性回归.,X=ones(13,1),x1,x2; b,bint, stats=regress(y,X),回归模型为,三个统计量表明: 回归效果显著.,对变量 y 和 x1, x2 作线性回归., x=x1,x2; stepwise(x,y),四、小结,1.多元线性回归的数学模型,2.数学模型的分析与求解,3.MATLAB中回归分析的实现,