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1、4 旋转曲面的面积,面积公式：,如果光滑曲线C由参数方程 x=x(t) y=y(t),t， 面积公式 ： 那么，它是怎样推导出来的呢？,回顾,曲边梯形求面积的问题 （分割 近似求和 取极限）,一、问题的提出,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,微元法的一般步骤：,这个方法通常叫做微元法,微元法是指通过从分析事物的极小部分入手,达到使事物的整体问题得以解决的一种方法. 运用微元法, 在一定的条件下可以把变化的、运动的、物理规律不适用的整体对象或整体过程转化为不变的、静止的、物理规律适用的元对象或元过程, 即变为理想的对象或过程. 微元法可以
2、是把研究物体取微元部分进行分析, 也可以是把研究过程取微元阶段进行分析. 微元法的基本数学工具是有关近似、极限、数列知识以及几何、三角中的知识。 微元法是把求累加量问题转化为定积分计算的 简化, 它省却了分微段、近似求和等过程, 直接由微 元累积导出积分,如图 曲线c：y=f(x),x（a,b）垂直点x 与x+x的平面的截面侧面积,所以有,由 f(x)的连续性,例一 计算圆 在 上的弧段绕 x轴旋转所得球的面积。 解：,二 微元法的应用方向：,经济学 (经济函数最大小值问题，广告策略问题 ，资本现值和投资问题等） 物理学 （功；水压力；引力和平均值等） 几何学（立体的面积，体积；曲线的弧长.
3、） 电子学（微元法的高精度系统响应矩阵建模） ，,1 利用微元法计算资本现值和投资,解 由已知条件收入率为a= 2000( 万元) , 年利率r= 5%, 故无限期的投资的总收入的贴现,例 有一个大型投资项目, 投资成本为A = 10000( 万元) , 投资年利率为5% , 每年的均匀收入率为a= 2000( 万元) , 求该投资为无限期时的纯收入的贴现值( 或称为投资的资本价值) .,从而投资为无限期时的纯收入贴现为 R=y-A=40000-10000=30000(万元)=3（亿元）,例2: 一闸门呈倒置的等腰梯形垂直地位于水中, 两底的长度分别为4m 和6m, 高为6m, 当闸门上底正好
4、位于水面时, 求闸门一侧受到的水压力(水的密度为10 kg /m3 )。,选取坐标系如图2 所示, 则AB 的方程为y=-x/6+3 取x为积变变量, 在 它的积分区间 0, 6上任取微小区间 x, x+ dx , 在水下深为x m处的压强为9. 8x kN /m2, 因此在代表区间相应的一小窄条上所受的压力微元为,2 微元法在物理上的应用,在0,6上积分得,3 用微元法建立微分方程,例3 边长a 为的方桌四角处各有( 雌雄相间的) 小虫一只, 它们以相同速度按逆时针方向爬向它邻近的小虫, 求虫们的爬行路线所满足的微分方程。,解 以方桌的对角线为坐标轴, 中心在原点, 不妨设第一只虫子在x 轴
5、正向, 第二只在y 轴正向上。由于爬行速度v 一样及位置的对称性, 四只虫子的轨迹是全等形, 所以只讨论第一只虫子所满足的微分方程。假设在t 时刻, 第一只虫子位于点P ( x , y ) , 第二只虫子位于Q( x 2, y 2) 。给时间t 一个微小的增量dt ,第一只虫子的变量x , y 相应地取得增量dx , dy 。由于dt 甚小, 认为第一只虫子在该时间段 t , t + dt 内在PQ 连线上运动了vdt , 取,由于按逆时针旋转90度 第一只虫子与第二只虫子的轨迹重合, 则 , 该两式相比, 得 显然，第一只虫子 的轨迹满足,4 利用微元法简化对曲面积分的 计算,利用微元法把面积微元转化为两个变量微分之积，根据球面、柱面坐标系与直角坐标之间的关系，对面积的曲面积分 计算方便快捷，效果较好。,微元法的提出、思想、步骤.,三、小结,微元法的实质是“和式”的极限.,