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1、第4讲 指数与指数函数,【2014年高考会这样考】 1考查指数函数的图象与性质及其应用 2以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用 3以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算和幂的比较大小 4考查指数函数与函数、方程、不等式等内容结合的综合问题.,考点梳理,(1)根式的概念,1根式,正数,负数,两个,相反数,xna,(2)两个重要公式,a,a,a,a,2分数指数幂,0,3有理指数幂的运算性质,ars,ars,arbr,4指数函数yax(a0且a1)的图象与性质,R,(0，),(0,1),一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根
2、式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 两个防范 (1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按01进行分类讨论 (2)换元时注意换元后“新元”的范围 三个关键点,【助学微博】,Aa1，b0 Ba1，b0 D0a1，b0 答案 D,考点自测,答案 A,A关于直线yx对称 B关于x轴对称 C关于y轴对称 D关于原点对称 答案 C,3若lg alg b0(其中a1，b1)，则函数f(x)ax与g(x)bx的图象 ( ),答案 C,答案 7,审题视点 熟记有理数指数幂的运算性质是化简的关键,考向一 指数幂的化简与求值,在解决分数指数幂的运算时，应注意如下几点：(
3、1)尽量将根式、小数指数幂统一为分数指数幂；(2)尽量运用乘法公式；(3)对于有些指数式的问题，有时应转化为对数；(4)注意整体代换思想在指数式运算中的应用,审题视点 对a分a1和0a1两种情况讨论，然后结合指数函数的性质(如单调性)进行判断,考向二 指数函数的图象及应用,答案 D,(1)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象 (2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解,【训练2】 画出函数y|3x1|的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？,解 函数y|3x1|的图象是由
4、函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示,当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；,当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解； 当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解,(1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围 审题视点 对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值解决,考向三 指数函数的性质及应用,(2)当a1时，a210，yax为增函数，yax为
5、减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数 当00，且a1时，f(x)在定义域内单调递增 (3)由(2)知f(x)在R上是增函数，所以在区间1,1上为增函数，所以f(1)f(x)f(1)，,(1)判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系；(2)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论；(3)解决恒成立问题，一般需通过分离变量，转化为求函数的最值等来实现,(1)求函数f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的奇偶性； (3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立 解 (1)由于ax10，且ax1，
6、所以x0. 函数f(x)的定义域为x|xR，且x0,即当x0时，f(x)0. 又由(2)知f(x)为偶函数，即f(x)f(x)， 则当x0，有f(x)f(x)0成立 综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立,【命题研究】 通过对近三年高考试题分析，对本讲考查的题目源于教材，略高于教材，是教材中问题的延伸与组合，指数函数作为中学阶段的基本函数，其图象和性质是重要的考查热点题型有：解简单的指数方程、不等式，利用数形结合思想判断方程解的个数、与不等式相结合考查代数式的最值或参数的取值范围等多以选择题、填空题出现，难度以中档题为主,热点突破5有关求解指数型函数中参数的取值范围问题,教你审题 本题为指数型的复合函数，利用复合函数的单调性的判定判断，结合函数图象求解 解法 因为yeu是R上的增函数，所以f(x)在1，)上单调递增，只需u|xa|在1，)上单调递增，由函数图象可知a1. 答案 (，1 反思 有关复合函数的单调性要利用“同增异减”的判定法则来求解，若指数函数的底数不确定时还要进行分类讨论,【真题探究】 (2012上海)已知函数f(x)e|xa|(a为常数)若f(x)在区间1，)上是增函数，则a的取值范围是_,【试一试】 (2013焦作模拟)若函数ye(a1)x4x(xR)有大于零的极值点，则实数a的取值范围是 ( ),答案 B,