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1、第三章,数列、推理与证明,合情推理与演绎推理,第22讲,归纳推理,【例1】 一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)： 则第9行第4个数是_,【解析】第1行第1个数为120，第2行第1个数为221，第3行第1个数为422，第9行第1个数为291256，所以第9行第4个数为2563259. 答案：259,点评,从特殊到一般，是归纳的特点用归纳的方法导出结论一般是以审题、经验和直觉为前提的本题从数表的特点出发，仔细观察第一列的特征，不难发现每行的第一个数的规律性,【变式练习1】 根据下列5个图表及相应点的个数的变化规律，归纳出第n个图中点的个数f(n)与n的关系式f(n
2、)_.,【解析】f(2)f(1)2；f(3)f(2)4；f(4)f(3)6；f(n)f(n1)2(n1) 以上(n1)个式子相加得f(n)f(1)n2n， 所以f(n)n2n1.,类比推理,【例2】 在直角三角形ABC中，若C90，则cos2Acos2B1.那么，在空间四面体PABC中，是否具有类似的结论？,点评,应用类比要注意两类对象具有某些类似的特征，并由其中一类对象的已知特征推出另一类对象也具有这些特征本题中，平面三角形有两条边相互垂直，同时与第三条边所成角已知；在空间四面体中，也应有三个面相互垂直，并同时与第四个面所成角已知，那么由于情景和性质完全相同，就可以进行类比了,【变式练习2】
3、 在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是什么？,演绎推理,点评,本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力分析上述推理过程，可以看出，推理的前提是一般性命题：平行四边形的判定与性质、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理等，这些大前提一般可以省略，结论是蕴含在前提中的特殊位置关系像这类推理证明题和其他知识结合到一起，属于知识综合题解决此类题目时建立合理的解题思路是关键,【变式练习3】 将推理“函数y2x2x1的图象是抛物
4、线”改写成三段论的形式为_.,二次函数的图象是抛物线(大前提)；函数y2x2x1是二次函数(小前提)；函数y2x2x1的图象是抛物线(结论),1.下列四种说法中正确的有_. 合情推理就是正确的推理； 合情推理就是归纳推理； 归纳推理是从一般到特殊的推理； 演绎推理是从一般到特殊的推理 【解析】合情推理包括归纳推理和类比推理，它们分别是由特殊到一般和特殊到特殊的推理，推理未必正确,【解析】根据各种推理的特点逐一判断：是演绎推理；是类比推理；是归纳推理；是归纳推理,推理一般包括合情推理与演绎推理，合情推理是指根据已有的事实和正确的结论(包括公理、定理、常用的结论)导出合理结果的推理过程，或根据个人
5、的经验和直觉推测出某些结果的推理过程因此，当前提为真时，结论可能为真的推理就是合情推理最常见的合情推理有归纳推理和类比推理在解决问题时，合情推理具有猜测、设想和发现结论及探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养,演绎推理是根据已有的事实和正确的前提，按照严格的逻辑法则得出新的结论的推理过程，其特点是，当前提为真时，结论必然为真最常见的演绎推理有假言推理，即“若pq，p真，则q真”；三段论推理，即“若bc，且ba，则ac”，又称“大前提，小前提，结论”三段论；关系推理，即“若ab，bc，则ac”；完全归纳推理，即把所有情况都考虑在内的演绎推理，它与合情推理中的归纳推理是有区别的,合情推理中的归
6、纳推理称为不完全归纳推理，是一种由特殊到一般地推理，推理的结论未必是可信的，而演绎推理中的归纳推理是完全归纳推理，它是一种由一般到一般地推理，只要前提正确，推理的结论一定是正确的,选题感悟：本题主要考查的是合情推理弄清平面几何与立体几何之间的类比关系，即面积体积，是进一步求解的关键,【解析】根据已知不等式左右两边的构成，应用归纳推理即可求解,选题感悟：归纳往往从特殊值开始，通过对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，这是数学研究的基本方法之一，要注意体会,3(2010辽宁文数)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B. (1)证明：平面AB1C平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点，且A1B平面B1CD，求A1DDC1的值,(2)设BC1交B1C于点E， 连结DE，则DE是平 面A1BC1与平面B1CD的交线 由线面平行的性质定理(大前提)，且A1B平面B1CD(小前提)，所以A1BDE.(结论) 又E是BC1的中点， 所以D为A1C1的中点，即A1DDC11.,选题感悟：本题应用演绎推理证明和计算，很多情况下，演绎推理的大前提可以省略,