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1、第九章,圆锥曲线与方程,抛物线,第52讲,求抛物线的标准方程,【例1】 求定点在原点，对称轴为坐标轴，且过点(3,2)的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p.从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，有时需要相应的讨论,点评,【变式练习1】 求顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线x2y40上的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程,抛物线的几何性质,【例2】 已知A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)， (1)求证：A、B这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值； (2)求证：直线AB过定点； (3)求
2、线段AB中点M的轨迹方程,p的规律性结论很多，我们都可围绕定义，同时适时运用点差法即可求得设AB为过抛物线y22px(p0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为，则,点评,【变式练习2】 设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明：直线AC经过原点O.,抛物线的应用,【例3】 已知点A(1,0)，F(1,0)和抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P两点，直线MF交抛物线C于另一点Q，如图,【变式练习3】 如图，设抛物线方程为x22py(p0)，M为直线y2p上任意一点
3、，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；,1.已知边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴则以O为顶点且过A、B两点的抛物线方程是 _,2.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则P的轨迹方程为_,y28x,3.已知点P在抛物线y24x上，那么点P到点Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为_,4.已知点P(3,2)在抛物线y24x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|MF|最小，并求此最小值,【解析】过M作准线l的垂线MA，垂足为A，则由抛物线的定义有|MF|MA|.所以|M
4、P|MF|MP|MA|，显然当P，M，A三点共线时，|MP|MF|最小 此时，M点的坐标为(1,2)，最小值为4.,5.如图，抛物线关于x轴对称， 它的顶点在坐标原点，点P(1, 2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在 抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其焦点坐标； (2)当直线PA与直线PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率,【解析】(1)由已知条件可设抛物线的方程为y22px(p0) 因为点P(1,2)在抛物线上，所以222p1，得p2. 故所求抛物线的方程是y24x，焦点坐标为(1,0) (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，,1由于坐标
5、系建立时，设坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种形式，这四种标准方程的区别与联系在于： (1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数,(2)方程右边一次项的变量与所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线开口方向、焦点的非零坐标是一次项系数的1/4 (3)在利用抛物线定义解题时应特别注意应用“斜直转换”，即将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离互相转换,(2)求抛物线的标准方程，需判断焦点所在的坐标轴和确定p的值当根据已知条件不能判断是抛物线时，用轨迹法过焦点的直线与抛物线的交点问题有时用焦半径较简单 (3)要重视抛物线定义的应用，“回归定义”有时使
6、问题变得简捷明确利用坐标法求曲线方程并研究其性质，体现了解析几何研究数学问题的数学思想方法,答案：y26x 选题感悟：高考对抛物线的考查要求是A级，以容易题为主，主要是通过知识的重组与链接，突出考查对基础知识掌握的程度和应用的熟练程度,2(2010重庆卷)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_. 答案：2 选题感悟：抛物线的定义用法：一是根据定义求轨迹；二是两个相等距离(动点到焦点的距离与动点到准线的距离)的互化在解题中，应正确合理地使用定义，同时应注意“看到准线想焦点，看到焦点想准线”,3(2009南京一模卷)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y22px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5. (1)求该抛物线的标准方程； (2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点,选题感悟：本题第(1)问比较简单，重点考查对抛物线的基础知识和基本方法的的掌握程度；第(2)问是抛物线背景下，探究动圆过定点的问题，能力要求较高，能有效地区分不同层次的考生，值得关注,