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1、电力生产问题的数学模型摘要本文解决的是根据每日的不同时段的用电量需求，合理的安排不同型号发电机的数量，达到总成本最少的目标，这是一个单目标非线性整数规划求最优解的问题。首先，我们根据题意列写出该非线性规划模型中的目标函数，即四种型号发电机的总固定成本、总启动成本、总边际成本的和函数；其次，根据附录一、二中所给数据的要求，列写出模型的约束条件；然后，运用数学软件LINGO，matlab等计算工具，编写相应的程序，对建立的模型进行求解，分别确定了符合问题1和问题2中在每个时间段最佳的发电机选取方法以及最小总成本；同时，我们对此结果进行了分析，结果表明：该选取方法确实是最优的；最后，我们还对模型进行
2、了评价、改进和推广，目的在于将该模型更广泛地应用于我们的生活中。针对问题1：问题要求确定每个时段的发电机的安排计划，使得每天的总成本达到最小。首先，我们根据三个指标函数：总固定成本，总边际成本，总启动成本，从而确定了目标函数(三个指标函数的和)；其次，根据每天的供电需求和所给出的四种型号的发电机情况，建立非线性最优化模型，应用Lingo程序得到每个时段的全局最优解。最后得到的各个时段分别使用的各种型号的发电机数量以及工作时的发电功率见表6-1，最后得到每天的最小总成本为1465400元。针对问题2：和问题一的解题思想相同，问题二要求正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然
3、上升，问题二的模型约束条件只需在问题一的基础上加上启动的发电机的输出功率总和是发电机以最大功率输出总和的80%一个约束，得到最低总成本为1468840元。得出结论：观察模型结果可发现，型号2与型号3发电机使用相当频繁，建议可适当增加此类发电机台数。本文还就模型求解结果展开深入的分析，结合实际情况，给出发电机安排的合理建议，以便于更好的指导实践，使模型更具有理论指导意义。关键词：发电机 非线性最优化 lingo软件 成本计算1 问题重述1.1问题背景 电是我们这个社会不可缺少的资源之一。我们身边处处都需要电，小到电灯、电扇，大到飞机、卫星。对电力资源的合理利用是目前重要任务之一。在可持续发展的社
4、会中，如何节约资源、提高效率是当前社会面临的重要问题之一。发电机是电力的源泉，因此如何合理的安排发电机的工作，是每个厂家首先要解决的问题。本题即是要求合理分配发电机使用数量，以减小发电成本的问题。1.2目的要求这是一个电力生产的安排问题，在所给实际问题当中，给出了每日各个时段的用电需求(数据见附录一)以及可以使用的不同型号的发电机数量和其相应的运行参数、各项成本等数据(数据见附录二)，问题的目标是如何合理的安排各个阶段的发电机的使用，使得每日的总成本最小。并且需要考虑用电需求的不确定性，以防用电量突然上升，给出相应的问题解决方案。在这个生产规划问题中，受到一些条件约束，为有约束的最优化问题。具
5、体有如下约束：(1)每个时段的输出电量必须满足各阶段的用电需求；(2)各种型号的发电机数量是一定的；(3)各种型号的发电机的输出功率在所给的范围内，在以最小输出功率运行时有一个固定成本，超出部分会产生边际成本；(4) 只能在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机，开启不同型号的发电机会产生不同的启动成本，而关闭发电机不需要付出任何代价。1.3本文具体需要解决的问题问题1：在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，最小总成本为多少？问题2： 如果在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升。那么每个时段又应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，此时
6、最小总成本又为多少？2模型假设假设1：发电机的电量在传输过程中没有损耗假设2：不计发电机的启动和关闭的时间假设3：发电机在每一个时段输出功率保持不变假设4：发电机关闭过程中不做任何功率损耗或者成本的考虑假设5：在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机假设6：发电机在运行过程中没有发生任何故障3符号说明表3-1符号符号说明第i个时间段第i个时间段j型号发动机的启动数量j型号发动机的固定成本j型号发动机的边际成本j型号发动机的启动成本第i时间段j型号发动机的工作功率j型号发动机最小输出功率j型号发动机最大输出功率第i个时间段所需功率j型号发动机的总数量i1,2.7; j=1,2,3,44问题的分析4
7、.1 问题1的分析此题解决的是每天在不同的时间段满足用电需求并使成本最小的数学模型，一个分段求解问题。在所给实际问题当中，给出了把每天分为7个时段，要达到最小成本，必然要使所有已启动的发电机的固定成本、启动成本和边际成本的和最小，而本文给出的有四种型号的发电机，每种型号的发电机的数量、输出功率、固定成本、启动成本、边际成本等均不相同，这就需要在每个时间段开始时根据用电量需求来调整发电机的台数和输出功率来控制成本，尽量使成本最小。据此对每个时段建立模型及其相应的约束条件，又对各时段中若已经启动的发电机就不用再启动，所以无需相应的额外启动成本，故第1时段与后6个时段计算情况不同，所以我们要分时段来
8、求各时段的启动成本。4.2问题2的分析在问题1的基础上发电机组要留出20%的发电能力余量，也就是所有已启动的发电机的输出功率是最大输出功率和的80%，上述模型依然适用于问题二，我们只需对问题一加以约束、改进，就可以得出结果。5数据分析根据附录一的数据可以看出每日的各个时段的用电量的变化情况，表中给出的数据并不是按照平均时间段来分配，不同的时间段用电需求量也不同。根据附录一的数据可以看出每种型号的发电机的数量有限，且发电机启动之后其输出功率界定于最小功率和最大功率之间。每种型号的发电机的启动成本、固定成本和边际成本都不相同，当我们对每种型号的发电机选取的时候，总固定成本、总边际成本和总启动成本都
9、在发生着变化，直接影响着总成本。所以，我们应该确定一种最优化的选择方式是总成本达到最小。6问题一的简答本文解决的是对发电机优化选择以降低成本的数学建模问题，对于选择方式模型的优劣，要用合理的指标评价体系。本文选用了总固定成本、总边际成本、总启动成本。评价指标1：总固定成本() 评价指标2：总边际成本() 评价指标3：总启动成本() 6.1模型的建立6.1.1确定目标函数该模型是为了解决电力生产，在满足每日每个时段电力需求的条件下，通过调整四类不同型号发电机的台数以及输出功率使总成本最小的问题，我们只要让三个指标函数（总固定成本、总边际成本、总启动成本）的和最小，就得到了目标函数，即总成本：目标
10、函数：6.1.2.确定约束条件1）在七个不同的时间段里所选择的发电机的总功率必须要满足各时间段的电力需求，所以存在平衡约束：2）在每个时间段里某种型号已启动的发电机的数量不大于该型号所拥有的发电机的总数量，所以存在的约束条件是： 3）四种型号的发电机在正常工作时的输出功率一定是介于该种型号发电机的最小输出功率和最大输出功率之间的，即 6.1.3综上所述得到最优化模型目标函数：约束条件：6.2求解与结果分析6.2.1求解结果通过对各个时段状态的分析，以编写Lingo程序(见附录二)，运行结果如下：表6-1时段型号 0-66-99-1212-1414-1818-2222-241台数0222111输
11、出功率017507501750120017507502台数4444444输出功率15001500100015001500150015003台数3888886输出功率20002000198820002000200020004台数0323130输出功率0216618003500180020830总成本：S=14654006.2.2结果图图6-1 不同时间段四种型号的发电机所需台数图6-2不同时间段四种型号的发电机所需输出功率6.2.3结果分析由以上的运行结果可知：在不同的时间段里，同型号的发电机的启动数量发生着变化；在同一个时间段里，不同型号的发电机的启动数量也发生着变化；随着发电机数量的波动变化
12、，总成本也一定会随之变动，实际总成本也发生着变化。根据图6-1和6-2可以分析结果如下：（1）型号2和型号3的发电机在6个时段均为开启状态，说明在满足发电需求下应优先考虑型号2和型号3的发电机。（2）型号2和型号3发电机全天均以最大功率运行，且型号2的所有发电机都处于开启状态，型号3的所有发电机在第2、3、4、5、6时段都处于开启状态，因此对型号2和型号3发电机随时检修，并购买备用发电机。（3）型号1和型号4的发电机在不同时段呈现波动状态。（4）在第四时间段，用电处于高峰用电阶段，且使用了4种型号的发电机，此时所有发电机均以最大功率运行，对设备要求较大，应准备备用型号发电机防止发电机组无法正常
13、运转。7问题二的解答基于第一问的基础上，我们考虑在任何时刻，正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力余量，以防用电量突然上升的情况，那么通过分析，可知问题2是在问题1的基础上，将原来每个时段启动的发电机的输出功率改为实际输出的功率的80%来用于满足电力需求，目标函数和约束条件的确定方法和问题1中相同。 7.1所得到最优化模型目标函数约束条件7.2模型的求解及结果分析7.2.1求解结果在Lingo环境中运行结果如下：表7-1时段型号 0-66-99-1212-1414-1818-2222-241台数0222221输出功率017507501750150013007502台数4444444输出功率
14、15001500100015001500150010003台数3888887输出功率20002000198820002000200018934台数0323030输出功率0216618003500180018000总成本：S=14688407.2.2结果图图7-1 不同时间段四种型号的发电机所需台数图7-2不同时间段四种型号的发电机所需输出功率7.2.3结果分析与问题1类似，根据图7-1和7-2可以得出：（1）型号2和型号3的发电机在各个时段均为开启状态，说明在满足发电需求下应优先考虑型号2和型号3的发电机。（2）型号2发电机全天均以最大功率运行，且所有发电机均处于开启状态，因此对型号2发电机应
15、购买备用发电机。（3）型号1和型号4的发电机在不同时段呈现波动状态。（4）在第四时段，用电处于高峰用电阶段，此时发电机组的输出功率达到最大，所有运行的发电机均满负荷，因此工作人员应特别注意此时段发电机组的运转情况，防止意外发生。8模型的误差分析本题主要是一个最优解的问题，因此其最终解是一个近似值，存在一定的误差，前面对于模型的假设可知，发电机自身不消耗功率那是不可能的，其之间由于有摩擦力以及要散热等都需要消耗功率，另外，发电机输出过程其功率始终保持不变也是理想情况下才存在的，所以也有一定的误差，还有在开启以及关闭发电机时不仅有功率损耗方面的误差，而且还有时间方面的误差，这些都会对模型的建立有一
16、定程度上的影响。9模型的评价、改进以及推广9.1模型的评价主要有以下优点：(1) 将一天作为一个整体进行求解，考虑到了各个时段间的关联，得出的解为全局最优解，适用性较强；(2) 本文采用了最优化的算法。在满足使用的前提下，运用最优化算法，使每个时间段使用的发电机数量最少以达到提高效率，降低成本的目的；(3) 解决该题的方法方便、直观，运用的数学原理、概念简单明了，易于在计算机上实现；(4) 此模型的通用性较好，可以广泛推广到其它非线性规划模型中去；(5) 忽略次要因素，抓住关键因素，既符合实际生活中取材的主要衡量标准，又使问题简单化，便于求解；(6) 有顺序，有步骤地给出优化方案，把复杂的问题
17、简单明朗化，显得通俗易懂(7) 本文采用了lingo程序编程。利用lingo程序方便解决线性规划问题的优点，来得出各时段各型号发电机使用的数量以使其成本最低。主要缺点：（1） 假定了同时段同型号的发电机的输出功率相同且维持不变，与实际情况有些不符，从而使得出的最优解与实际最优解有一定的误差。（2） 由于所给数据太少以致得到的结果带有自身的局部性，又由于计算机软件求解带有一定的随机性和近似性，以致得到模型的结果不是很让人满意。9.2模型的改进 （1）建模时没有考虑发电机启动机器关闭的时间消耗，若考虑这些时间消耗将会使费用相应的增加，因此我们可以对该模型启动以及关闭时间进行缩短；（2）所建的模型是
18、针对其输出功率始终保持不变的，但实际上其在传送以及散热等方面都会损耗，因此功率也是不断变化的，若考虑这些损耗，将会使计算趋于复杂不易得到近似的最优解，即：在保证满足供电需求的情况下，调整同型号发电机的输出功率（不要求相同），使得出的结果进一步优化。9.3模型的推广我们的模型不仅仅是对电力生产问题的应用，还可以推广其它资源的安排，如在银行不同方式的存利率，以及对不同市场的投资，市场人员安排等。参考文献1 谢金星. 薛毅.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社，2006.2 陈光亭,裘哲勇.数学建模.北京：高等教育出版社， 2010.3 陈宝林.最优化理论与算法.北京：清华大学
19、出版社，2005.4 宋来忠. 数学建模与实验.北京：科学出版社，2005.附录附录一：每日用电需求（兆瓦）时段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000附录二：发电机情况可用数量最小输出功率（MW）最大输出功率（MW）固定成本（元/小时）每兆瓦边际成本（元/小时）启动成本型号110750175022502.75000型号241000150018002.21600型号381200200037501.82400型号431800350048003.81200附录三：模拟所用的程序1sets:sh
20、iduan/1.7/:Pin,t;xinghao/1.4/:NN,Pmin,Pmax,A,B,C;link(shiduan,xinghao):n,p;endsetsdata: t=6 3 3 2 4 4 2; Pin=12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000; NN=10 4 8 3; Pmin=750 1000 1200 1800; Pmax=1750 1500 2000 3500; A=2250 1800 3750 4800; B=2.7 2.2 1.8 3.8; C=5000 1600 2400 1200;enddatamin=sum(link(
21、i,j):A(j)*t(i)*n(i,j)+(p(i,j)-Pmin(j)*n(i,j)*B(j)*t(i) +sum(link(i,j):C(j)*(if(i#ge#2,(n(i,j)-n(i-1,j),n(1,j)*(sign(n(i,j)-(if(i#ge#2,n(i-1,j),0)+1)/2);for(link(i,j):n(i,j)=NN(j);for(link(i,j):p(i,j)=Pmin(j);for(shiduan(i):sum(xinghao(j):p(i,j)*n(i,j)=Pin(i);for(link:gin(n);模拟所用的程序2sets:shiduan/1.7/
22、:Pin,t;xinghao/1.4/:NN,Pmin,Pmax,A,B,C;link(shiduan,xinghao):n,p;endsetsdata: t=6 3 3 2 4 4 2; Pin=12000 32000 25000 36000 25000 30000 18000; NN=10 4 8 3; Pmin=750 1000 1200 1800; Pmax=1750 1500 2000 3500; A=2250 1800 3750 4800; B=2.7 2.2 1.8 3.8; C=5000 1600 2400 1200;enddatamin=sum(link(i,j):A(j)*t(i)*n(i,j)+(p(i,j)-Pmin(j)*n(i,j)*B(j)*t(i) +sum(link(i,j):C(j)*(if(i#ge#2,(n(i,j)-n(i-1,j),n(1,j)*(sign(n(i,j)-(if(i#ge#2,n(i-1,j),0)+1)/2);for(link(i,j):n(i,j)=NN(j);for(link(i,j):p(i,j)=Pmin(j);for(shiduan(i):sum(xinghao(j):p(i,j)=Pin(i);for(link:gin(n);