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1、第九章 ARIMA模型已知1867-1938年英国（英格兰及威尔士）绵羊的数量如表1所示，运用时间序列模型预测未来三年英国的绵羊数量。表1 1867-1938年英国绵羊数量年份绵羊数年份绵羊数年份绵羊数1867220318912111191517521868236018922119191617951869225418931991191717171870216518941859191816481871202418951856191915121872207818961924192013381873221418971892192113831874229218981916192213441875220
2、718991968192313841876211919001928192414841877211919011898192515971878213719021850192616861879213219031841192717071880195519041824192816401881178519051823192916111882174719061843193016321883181819071880193117751884190919081968193218501885195819092029193318091886189219101996193416531887191919111933193
3、51648188818531912180519361665188918681913171319371627189019911914172619381791（一） 序列的平稳性检验（1）时序图在workfile的工作区，双击“X”，打开“Series：X”窗口，选择View/Graph,type下选择Basic graph和Line & Symbol，点确定，得到图1。 图1从图1可以看出，绵羊数量的序列X具有向下的趋势，不平稳。（2）对序列进行一阶差分，去除趋势。在命令行输入命令：genr DX=d(X)，回车，得到X差分后的序列DX。画DX的时序图，见图2： 图2 从图2可以看出，差分后的序
4、列已经没有趋势，可以初步判断是平稳的。（3）序列DX平稳的单位根检验 在Series:DX窗口，选择View/Unit Root Test，弹出如下窗口（见图3）。 图3选择Test type为Augmented Dickey-Fuller，Test for unit root in 选择Level，Include in test equation处依此选择Trend and intercept、intercept、None，Lag length处按默认的选项，由Schwarz Info Criterion自动选择最佳滞后长度。在选择Trend and intercept后，输出了表2. 表2
5、 根据表2的结果，ADF统计量=-6.403584，相应的P值为0.0000，小于=0.05，因此拒绝原假设（原假设为序列DX有一个单位根，也即序列DX非平稳），DX是平稳的。在表2中给出了单位根检验的辅助回归结果，其中C和trend(1867)均不显著（相应的t统计量的p值分别为0.4014，0.4606），因此检验模型中不应包括趋势和截距项。在模型选择处（Include in test equation）重新选择None，得到下表（表3）： 表 3ADF统计量=-6.430649，相应的P值为0.0000，小于=0.05，因此拒绝原假设，即DX是平稳的。（4）DX的白噪声检验在Series
6、：DX窗口，选择View/Correlogram，在Correlogram Specification下选择Level，点“OK”确定，得到图5。 图4图 5从图5 的最后一列，Q统计量的伴随概率P均小于=0.05，因此应拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即DX是非白噪声的。（二）模型的识别根据图5，可知DX序列的自相关系数4阶截尾，偏相关系数3阶截尾，因此可选择MA（4）、AR(3)、ARMA（3，4）模型拟合。相应地，X序列可选择ARIMA(0,1,4)、ARIMA(3,1,0)和ARIMA(3,1,4)。（三）模型的估计及检验1、拟合ARIMA(0,1,4)模型 命令： LS D(X
7、) C MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) 表4写出拟合的方程：s.e.=67.79307，AIC=11.33862，SC=11.49796模型的显著性检验：（在Equation窗口，选择View/residual tests/ Correlogram-Q-Statictic: 图6根据图6，残差序列的Q统计量的p值均大于=0.05，因此不拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即残差序列是白噪声，拟合模型显著有效。模型参数的显著性检验： 表5 参数 估计值 标准误差 T统计量 P 值结论C-7.1018572.184440-3.2511110.0018MA(2)的系数在10%的水平
8、下显著，其余参数在5%的水平下显著.MA(1)0.3714970.1067333.4806070.0009MA(2)-0.2149010.110342-1.9475850.0557MA(3)-0.4565220.107424-4.2497250.0001MA(4)-0.5966690.114973-5.1896600.00002、拟合ARIMA(3,1,0)模型 命令： LS D(X) C AR(1) AR(2) AR(3) 在剔除不显著的C后得到估计结果（表6） 表6写出拟合的方程：s.e.=67.85262，AIC=11.31567，SC=11.41359模型的显著性检验： 图 7根据图7
9、，残差序列的Q统计量的p值均大于=0.05，因此不拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即残差序列是白噪声，拟合模型显著有效。模型参数的显著性检验： 表7 参数 估计值 标准误差 T统计量 P 值结论AR(1)0.4951970.1272773.8907090.0002所有参数在10%的水平下显著AR(2)-0.2393320.135978-1.7600740.0831AR(3)-0.2555350.119253-2.1428000.03593、拟合ARIMA(3,1,4)模型 命令： LS D(X) C AR(1) AR(2) AR(3) MA(1) MA(2) MA(3) MA(4) 在剔
10、除不显著的项后得到估计结果（表8） 表 8写出拟合的方程：s.e.=65.21546，AIC=11.27737，SC=11.47321模型的显著性检验： 图 8根据图8，残差序列滞后7阶的Q统计量的p值为0.035，小于=0.05，因此拒绝原假设（原假设为：序列为白噪声），即残差序列是非白噪声的，拟合模型不显著。（四）模型的优化 表9模型AICSCARIMA（0，1，4）11.3386211.49796ARIMA（3，1，0）11.3156711.41359根据AIC和SC准则，模型ARIMA（3，1，0）优于模型ARIMA（0，1，4），我们选择ARIMA（3，1，0）最为预测模型。（五）预
11、测首先扩大样本范围，在命令行输入：expand 1867 1941，然后估计模型ARIMA（3，1，0），在Equation窗口，选择forecast菜单： 图 9 在Forecast sample 里输入要预测的时间，在S.E.(optional)处输入“se”，以便保存预测值的标准误差，点“OK”确定。计算95%的预测区间如下： 表10年份预测值标准误差95%的置信下界95%的置信上界19391876.96372.400721735.0582018.86819401889.991129.411636.3472143.63519411833.962167.13721506.3732161.551其中预测值来自workfile里的xf序列，标准误差来自se序列，95%的置信下界=预测值xf-1.96*标准误差se；95%的置信下界=预测值xf+1.96*标准误差se； 1.96为=0.05时，标准正态分布N（0，1）的临界值。