罗默《高级宏观经济学》第3版课后习题详解第7章消费.doc

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1、Born to win经济学考研交流群 点击加入 罗默高级宏观经济学（第3版）第7章 消 费跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。7.1 生命周期储蓄（Modigliani and Brumberg，1954）。考虑一个个人，他的生命期限由0至，终生效用由给出，其中，这个人的

2、收入，其中，并且退休年龄满足。利率为0，这个人没有初始财富，不存在不确定性。（a）这个人的终生预算约束是什么？（b）这个的效用最大化的消费路径是什么？（c）作为的函数的个人财富路径是什么？答：（a）对于这个人而言，他终生消费的现值必须小于或等于终生收入的现值（个人并没有原始财富），从而有： （1）由于此人的收入为，所以他收入的现值为：因此，这个人的终生预算约束为： （2）（b）因为，且利率和贴现率都为零，所以效用最大化问题简化为要求消费保持不变。预算约束意味着每一时点的消费等于终生收入除以生命的长度。由（a）可知，终生收入为，因而不变的消费水平为： （3）此外，也可以利用变分法、拉格朗日方法求

3、出上述结论。（c）在任何时刻，此人的财富是从时期0到时期的储蓄，即： （4）其中，代表储蓄，代表财富。时期的储蓄等于收入和消费之差，即： （5）因而储蓄可以表示为： （6）当时，财富为：从而可得： （7）当时，财富为： （8）其中，是此人退休时的财富。将代入（7）式可得： （9）由于，所以（9）式可以表示为： （10）（10）式简化为： （11）上式表明：由于此人退休后没有收入，所以退休后的消费必须由工作时期积累的财富来维持。由于是退休后的时间，又由于此人每时期消费，所以退休时的财富必须等于。将（11）式以及代入（8）式，得：因此，一旦当前的收入超过了终生的平均收入，此人开始有正的储蓄。财富在

4、退休时达到最大值，然后逐渐下降以维持消费。在生命终结的时刻，财富降为0。如图7-1所示。图7-1 生命周期中的消费、收入和财富图7-1（a）描述了收入和消费作为时间的函数，假定在0时刻收入超过了不变的消费水平。加粗的线条表示消费在退休之前为，而退休之后就一直为0。消费始终为。图7-1（b）描述了财富作为时间的函数图像。财富曲线的斜率等于储蓄。在工作期间财富增加，因为收入高于消费；财富在退休时刻达到最大值。在退休之后，财富以不变的比例下降直至生命结束时降为零。给定财富函数的形状，生命周期中这种财富积累形式称为驼峰型储蓄。7.2 农民的平均收入低于非农民的平均收入，但前者年度的波动更大。根据这一点

5、，永久性收入假说在预测农民和非农民的估计消费函数时有何不同？答：因为暂时收入的均值为0，可以将平均收入解释为平均永久收入，因此平均而言，农民的永久性收入低于非农民的永久性收入，即。农民逐年的收入波动更大意味着农民的暂时收入的方差大于非农民的暂时收入的方差，即。考虑下面的回归方程： （1）其中是当前消费，根据永久性收入假说由来决定：；是当前收入，是永久性收入和暂时收入之和：。最小二乘回归的关于的估计值为： （2）只要在两组中是相同的，则意味着估计的斜率系数对于农民应当小一些。农民的当前收入的边际增加的影响小于非农民的。根据永久收入假说，这是因为当前收入的增加很大程度上是由于暂时收入的增加。因此，

6、对农民的影响小于对非农民的影响。对于常数项的最小二乘估计是： （3）农民比非农民平均拥有更低的永久性收入，使得估计的常数项更小。不过对农民而言更小。这使得估计的常数项对农民来讲更大，因此对常数项的估计是不确定的。对农民平均永久性收入，估计的消费函数低于非农民的。如果两个估计的消费函数相交，则交点的收入水平低于。考虑每组的一个人，他的收入等于农民的平均收入。因为更多的非农民的永久性收入高于平均收入，因此非农民的永久性收入更有可能高于他的当前收入。因此拥有当前收入的非农民平均而言有更高的永久性收入，他们倾向于消费更多。相反，对于农民而言，他的永久性收入一般高于当前收入，因此平均而言，他们消费当前收

7、入。因此在农民的平均收入水平处，农民的消费函数会位于非农民的消费函数的下方。7.3 时间平均的问题（沃金Working 1960）。实际消费数据并不是时点数据，而是较长时期内的平均数据，例如一个季度。本题要求考察这个事实所产生的影响。假设消费服从随机游走：，其中为白噪声。但假设数据提供的是两期内的平均消费，即观测到的是，等等。（a）用表示所观测到的从一个两期到下一个两期的消费变化。（b）观测到的消费变化是否与以前的变化值无关？根据你的答案，观测到的消费是否为随机游走？（c）根据你在（a）部分的结论，从第一个两期到下一个两期的消费变化与第一个两期中的任何已知量一定无关吗？与第一个两期前的两期中的

8、任何已知量一定无关吗？（d）假设观测到的消费不是两期的平均值，而是其中第二期的消费值。也就是说，我们观察到的是、等等。在这种情形下，观察到的消费是随机游走吗？答：（a）下面寻找的表达式。可以将、和写成和关系式： （1） （2） （3）从一个两期的间隔到另一个两期的间隔中消费的变化为： （4）化简得： （5）（b）通过与（a）部分相同的计算，消费以前的值为： （6）使用方程（5）和（6），衡量消费的连续变化的协方差为： （7）因为扰动项是序列无关的，因为在两个表达式中都出现的项，协方差下降为： （8）其中，表示的方差。因此消费的变化与它的以前的值相关。因为协方差是正的，这意味着在两期之间衡量消费

9、大于在两期之间，则衡量消费在两期之间将倾向于大于在两期之间。当一个变量遵循随机游走，变量的连续变化是无关的。例如，在这个模型中真实的消费有和。因为和是无关的，真实消费的连续变化是无关的。因此如果大于，这并不意味着将大于。因为衡量消费的连续变化是相关的，衡量消费并不服从随机游走。今天衡量消费的变化提供了关于消费明天将如何变化的信息。（c）由方程（5），衡量消费从到的变化依赖于，消费在期的变化。期是第一个两期的一部分。因此消费从第一个两期到下一个两期的变化与第一期的任何一期并不是无关。不过，与之后的两期间隔无关。由方程式（5）知，、和都与无关。（d）可以将写为和的函数： （9）因此衡量消费从一个两

10、期到下一个两期的变化为： （10）同理可以得到： （11）因此衡量消费的连续变化的协方差为： （12）因为是无关的，协方差为0。在这个例子中衡量的消费服从随机游走。不同于的数量并不能提供关于和差异的任何信息。7.4 在第7.2节的模型中，有关未来收入的不确定并不会影响消费。这是否意味着不确定性并不会影响预期的终生效用？答：未来收入的不确定性尽管不会影响消费，但是却会影响预期的终生效用。由教材中方程（7.10）式可知，预期的终生效用为： （1）其中，。（1）式可以表示为： （2）由于，所以： （3）其中，。方程（3）式对任何时期都成立，将（3）代入（2）式可得： （4）因为，且，从而（4）式变为

11、： （5）又因为，所以（5）式可以表示为： （6）如果在确定性情况下，则，终生效用为： （7）由于在是否存在不确定性情况下都是相同的，所以比较（6）、（7）两式可知：在不确定性情况下，预期的终生效用降低了。7.5 （本题依据汉森和辛格尔顿1983。）假设瞬时效用函数是不变相对风险厌恶形式，假设利率不变但不一定等于贴现率。（a）求将和的期望联系起来的欧拉方程。（b）假设对数收入是正态分布，且因此的对数是正态分布的；令表示其基于时可得信息的条件方差。将（a）部分所得表达式用、以及参数、和重写（提示：若变量服从均值为，方差为的正态分布，则）。（c）证明：若和不随时间变化，则（b）的结果表明对数收入服

12、从带漂移的随机游走：，其中为白噪声。（d）和的变化对期望的收入增长各有何影响？根据第7.6节中对预防性储蓄的讨论，解释对期望的收入增长的影响。答：（a）设在时刻消费下降，对于相对风险不变的效用函数： （1）在时刻消费的边际效用为，这种变化的效用成本为： （2）在时刻消费的边际效用为，实际利率为，个人在期的消费增加。贴现的预期效用收益为： （3）如果个人是行为最优的，这种形式的边际变化不影响预期效用。这意味着预期效用收益必须等于效用成本： （4）方程（4）为欧拉方程。（b）对于任何变量，有： （5）如果，则，因为消费的对数是正态分布的，有： （6）在第一步中用了消费对数的方差是，除此以外，在时刻

13、消费的对数均值在期信息的条件下，是。最后，是常数。将（6）代入（2）然后在两边取对数得： （7）在（7）式两边除以得到： （8）（c）在（8）中求得到： （9）方程（9）意味着从一期到下一期消费的预期变化为常数：。消费的变化量是不可预测的。根据预期的定义有： （10）其中有零均值，是序列无关的。消费的对数函数遵循随机游走，并且带有漂移项：（d）由方程（9），预期消费增长率为： （11）明显，提高可以提高预期消费增长率： （12）越小，消费的替代弹性越大，消费增长率越高（由于实际利率的提高）。的上升也会增加消费增长率： （13）可以证明相对风险厌恶不变的效用函数的三阶导数为正，由和可以推出： （

14、14）因此一个具有相对风险厌恶不变的效用函数的个人会有预防性储蓄行为。不确定性的提高（即消费的对数的方差的上升）增加了储蓄和预期消费增长率。7.6 考察过度平滑性的一个分析框架。假设等于且（a）证明该假设意味着（因而消费服从随机游走），以及（b）假设，其中为白噪声。假设比大1单位（即假设）。那么消费将增加多少？（c）在的情形下，收入的创新与消费的创新相比，哪一个的方差更大？在该模型中，消费者是使用储蓄和借款来平滑消费相对于收入的路径吗？请解释。答：（a）将期的消费表达式 （1）代入期的财富表达式： （2）得到： （3）整理得： （4）因为（1）式在各期都成立，将期的消费写为： （5）将（4）代

15、入（5）得： （6）在（6）式两边取期望： （7）上步用了迭代期望法则，因此对于任意一变量，。如果这一法则不成立，个人将向上或向下修改他们的估计，那么他们原先的预期便不是理性的。对（7）整理得： （8）化简得： （9）利用加总的概念，并且： （10）（1）和（10）是相等的： （11）消费遵循随机游走，消费的变化是不可预期的，因此最好的对未来消费的估计是本期的消费。即对于任意的，有： （12）由（12）可以写出预期消费路径的现值： （13）因为，收敛于，因此： （14）将（1）代入（14）的右边： （15）（15）式表明预期消费路径的贴现值等于初始财富加上预期收入路径的贴现值。（b）在（1）式

16、两边取期望值： （16）上步用了在期是确定的。除此以外，还用了期望迭代法则：。从（1）中减去（16）可以得到： （17）消费的变化是预期终生收入的现值的部分。下面求预期终生收入的现值。 （18）由于，因此： （19）在时期，因为，的变化预期将为。因此，的水平预期将提高，即： （20）在时期，因为，的变化预期将提高。预期将提高，因此有下式： （21）简化为： （22）这一无穷序列可以写为： （23）令：，则（23）的第一项收敛于；第二项收敛于；第三项收敛于等。（23）可以写为： （24）将代入（24），可以得： （25）将（25）代入（24）可得： （26）（c）消费变化的方差为： （27）因为

17、，消费变化的方差大于收入变化的方差。收入的变化意味着消费者将在未来同一个方向上经历进一步的收入变化。不能确定消费者是否利用储蓄和借贷来平滑消费。收入是不平稳的，所以不明确是否会平滑消费。7.7 考虑第7.4节中分析的两期构架。假设政府最初仅通过征收利息税来获取收入，因而个人的预算约束为，其中为税率。政府的第一期收入为0，第二期收入为，其中为给定税率下个人选择的。现在假设政府取消利息税，而改为在两期内分别征收数量为和的一次性税；因而个人现在的预算约束为。假设、和为外生。（a）新税收必须满足什么条件才能使税收变化不影响政府收入的现值？（b）如果新税收满足（a）中的条件，那么原有消费束是支付不起、刚

18、够支付，还是支付有余？（c）如果新税收满足（a）中的条件，那么第一期的消费是增加、减少，还是不变？答：（a）一次总量税的现值为。税收对于利息收入的现值为，其中是利息收入的现值。政府必须选择和来保证两式相等： （1）（b）假定新税率满足（1）。这意味着在个人消费时，他支付的利息税等于原先的一次性总量税。即在右边，个人税后终生收入在两种税制下是相同的。因此在，个人在两种税制下，在第二期有足够的收入消费。这意味着新的预算线通过，如同旧税制的情况一样。因为位于新预算线的右边，因此是可以支付的。（c）第一期的消费必须下降。如图7-2所示。点代表禀赋。在面对利息税的情况下，预算线的斜率为，；对于，没有正的

19、储蓄，因此没有利息税，斜率为。如同在（b）部分解释的，收益中性、一次总量税的预算线经过初始的最优消费束，斜率为。对于，储蓄不再被征税，一期放弃一单位的消费在二期可以带来更多的消费，收入是而不是。在图上可以看出，新的切线必须包含第一期较低的消费在内。图7-2 第一期消费的变化政府设定税率以保证政策变化没有收入效应，只有替代效应。因此，因为储蓄的回报率增加，个人在第一期选择储蓄更多，消费更少。7.8 耐用品的消费（曼昆1982）。同第7.2节一样，假设即期效用函数是二次型的，且利率和贴现率等于0。假设商品是耐用品，具体而言，其中是期的购买，。（a）考虑期的购买有一边际减少。求和的值以使、和的联合变

20、化不改变支出的现值（因而），也不改变（因而）。（b）（a）中的变化对和有何影响？对期望效用有何影响？（c）和必须满足什么条件以使（a）中的变化不影响期望效用？是否服从随机游走？（d）是否服从随机游走？（提示：用和来表示）请从直观上进行解释。若，的行为如何？答：（a）期购买的变化必须保证支出的现值不变： （1）除此以外，必须保证在期的消费不变： （2）可以将的变化写为。的变化是，将代入，有；的变化是，可以推出。因此不变，方程（2）成立。由方程（1）求解得到： （3）将（3）代入（2）得： （4）将式（4）展开并整理得： （5）即： （6）将式（6）代入（3）得： （7）即： （8）（b）因为所以

21、可以得到： （9）又因为 所以可以得到： （10）将式（9）和式（6）代入（10）得： （11）因为只有和是变化的，被构造为不变，仅需要看期和期的预期效用。因为瞬时效用是二次项，所以在期消费的边际效用为，因此在期的效用变化为，在期消费的边际效用为。因为，在期预期效用的变化是的期望值。（c）如果个人是最优化的，有：的期望值 （12）两边抵消，两边减去1，然后除以，得到：的期望值 （13）因为消费的变化是不可预测的，因此消费服从随机游走。在期的预期消费就是本期的消费。（d）求解式可以得到： （14）因为式（14）对任意时期都适用，所以可以得到： （15）从（14）式减去（15）式得到： （16）即

22、： （17）因为消费服从随机游走，得到： （18）其中在期的期望值为0。运用（18）式及（18）式在各期都成立的事实，（17）式可以写为： （19）（19）式表明购买从期到期的变化存在可以预期的因素，在期已经知道的，消费在期的变化，因此永久性物品的购买不服从随机游走。任何预期终生资源的变化都会在一生的剩余期限里平分到各期的消费中。尽管本模型假定贴现率为0，这一结论依然成立。假定在期，个人终生资源变化的估计遵循下面路径：比多一单位，即。这意味着预期的消费在未来所有时期都会比前一期高一个单位。为使向上增加一个单位，在期的购买必须增加一单位。下面观察从期到期购买的变化，由（19）式可以知道，从期到期

23、购买的变化为，因为被假设等于1。在期购买的消费品在期仍然存在，因此在期保持预期消费在更高的路径上。个人仅需购买在期折旧的部分。因此在期的购买小于在期的购买，且降低的数量为未折旧的数量。因此，如同在期，从期到期购买的变化有一部分是可以预期的，购买不遵循随机游走。下面考虑没有折旧的情形：。由方程（19），从期到期购买的预期变化是-1。现在所有的在期购买的物品在期仍然存在，因此，为了维持预期消费在更高的路径上（即比以前高1单位），无须期待在期必须购买任何新商品。购买预期下降的数量是以前时期购买的变化。7.9 考虑一只股票，其在期的股息为，股价为。假设消费者是风险中立的，其贴现率为；因而他们最大化。（

24、a）证明均衡要求（假设在股票卖出前，该期的股息已被支付）。（b）假设（这是一个无泡沫条件，参见下一习题）。向前迭代（a）中的表达式，推出一个用期望的未来股息表示的的表达式。答：（a）在期，个人降低消费，用于购买股票。因为一单位股票的价格为，可以购买单位的股票。这一变化的效用成本为，因为效用是消费的线性函数。在期，收到的红利为。他可以卖掉股票，收到。折现预期效用收益为。如果个人是最优化的，这一变化不会导致预期效用的变化。因此效用成本必须等于效用收益： （1）抵消掉，两边乘以，得到： （2）（b）由于（2）在各期都成立，因此： （3）将式（3）代入式（2）可得： （4）使用期望的迭代法则，对于变量

25、，方程（4）变为： （5）类似地，替代，可得： （6）加上无泡沫条件，得到： （7）方程（7）说明股票的价格是预期未来股息支付的折现值。7.10 泡沫。考虑在无的假设下的上一题的构架。（a）确定性泡沫。假设等于习题7.9（b）中推出的表达式再加上（，。习题7.9（a）中推出的消费者一阶条件是否仍然得到满足？是否可为负？（揭示：考虑不出售股票的策略。）（b）爆裂的泡沫（布兰查德1979）。假设等于习题7.9（b）中推出的表达式再加上，其中以概率等于，以概率等于0。习题7.9（a）中推导出的消费者一阶条件是否仍然得到满足？如果在时有一个泡沫（即若），那么该泡沫在之前爆裂的概率是多少（即）？若趋近于

26、无穷，这个概率的极限是多少？（c）内在的泡沫（弗鲁特和奥伯斯特费尔德Froot and Obstfeld 1991）。假设股息服从随机游走：，其中为白噪声。无泡沫时，期的股票价格是多少？假设等于中推出的表达式再加上，其中，。那么习题7.9（a）中推出的消费者一阶条件是否仍然得到满足？在何种意义上股票价格对股息反应过大？答：（a）加上泡沫项，在期股票的价格为： （1）价格路径满足价格的一阶条件： （2）下面证明（1）和（2）的右边相等。因为（1）在各期都成立， （3）在（3）两边除以，再在两边取期望： （4）在上步中用了迭代期望法则。在式（4）两边同时加上可以得到： （5）因此（1）和（2）的右

27、边相等，建议价格路径满足价格的一阶条件。在这种情况下，消费者愿意支付多于未来现金流的贴现值。因为他们预测到股票的价格将持续上升，因此他们享受到的资本利得恰好抵消了他们支付的价格升水。如果是负的，随着，泡沫项将趋于负无穷。因此股票的价格最终变为负数，并且趋于负无穷。不过这是不可能的。股票永远不可能以负的价格出售。策略仅仅是始终持有股票而不出售，便可以避免因为股票出售带来的资本损失。或者更简单的，个人仅仅扔掉自己的股票而不是以一个负的价格卖掉。因此不可能为负。（b）加上泡沫项，在期股票的价格是： （6）其中以概率等于，以概率为等于0。下面检验（6）式的右边是否等于（2）式的右边，一阶条件。因为（6

28、）在每一期都成立，可以将期的股票价格写为： （7）在（7）式两边取期望，运用期望迭代法则： （8）在（8）式两边除以再加上，得到： （9）（6）式的右边等于（2）式的右边，因此价格路径满足价格的一阶条件。（2）泡沫在期破裂的概率等于在期破裂的概率加上给定第期没有破裂而第期破裂的概率，加上给定第、期没有破裂而第期破裂的概率，等等。泡沫在期破裂的概率为，第期没有破裂而第期破裂的概率为，第、期没有破裂而第期破裂的概率为等。直到在期泡沫破裂给定在以前各期没有破裂的概率为。因此，泡沫破裂的概率为： （10）（c）在时刻不存在泡沫的情况下，股票的价格为： （11）如果红利服从随机游走，则对于，有。因为红利

29、变化是不可预测的，对未来时期红利的最好的预测是今天红利的数量。因此，可以写为： （12）因为，所以可以得到： （13）将（13）代入（12）得到在时刻股票的价格为： （14）加上泡沫后，在时刻股票的价格为： （15）下面证明（15）式与（2）式的右边相等。因为（15）式在各期都成立，因此可以将时刻股票的价格写为： （16）上步用了。在（16）式两边同时除以，并且在两边取期望： （17）在式（17）两边同时加上可以得到： （18）即： （19）因此（15）与（2）的右边相等，一阶条件满足。通过这个式子，红利的变化进入了泡沫。的一个正的实现，不仅仅提高红利的预期路径，还提高了泡沫的路径和当前的价格

30、。因此，股票的价格存在对红利变化的一个过度反应。7.11 卢卡斯资产定价模型（卢卡斯1978）。假设经济中的唯一资产是长生不老树。产出等于这些树的果实，产出是外生的且果实不能储存；因而，其中是外生决定的人均产出，是人均消费。假设一开始每个消费者拥有的树一样多。由于所有的消费者被假定为相同，这意味着在均衡时，树木的价格必须使得代表性消费者在每一期既不想增加也不想减少其拥有的树量。令表示在期树的价格（假设树在被卖掉前，其拥有者已经收获了果实）。最后，假设代表性消费者最大化。（a）假设代表性消费者在期将其消费减少一无穷小量，并把由此而得的储蓄用于增加其拥有的树的数量，然后在期将这些增加的数量卖掉。要

31、使这种变化不影响期望效用，则以及、和的期望必须满足什么条件？从这一条件中求解，把它用以及、和的期望值来表示。（b）假设。根据这个假设，向前迭代在（a）部分的结果以求解（提示：利用对于所有，都成立这一事实）。（c）从直观上解释为什么未来红利预期值的增加不影响该资产的价格。（d）本模型的消费是否服从随机游走？答：（a）假设消费者在时刻降低自己的消费数量，这样做的效用成本等于在时刻的消费的边际效用，乘以，因此有：效用成本 （1）消费的降低允许消费者在时刻购买棵树。在时刻，个人通过持有额外的树而收获额外的产出。他得到额外的消费。他接着卖掉额外的树得到，然后消费掉这部分财富。因此他在时刻的额外的消费为。

32、在时刻消费的边际效用为。因此，这一行动的折现预期效用收益为： （2）如果个人行为是最优化的，这种形式的边际变化不会导致预期效用的变化。这意味着效用成本等于预期效用收益： （3）两边抵消（这样做并不太正规），可以推出： （4）下面求解（4）以得到。注意可以用替代，并且在时刻是确定的。（4）式可以写为： （5）求解（5）得到在时刻树的价格为： （6）（b）因为对于，总是成立的，所以由（6）式可得： （7）（7）式在所有各期都成立，因此可以将时刻树的价格写为： （8）将（8）式代入（7）式得： （9）使用期望的迭代法则，即对于任意变量，有，可以得到： （10）在重复替代后，得到： （11）加上无泡沫

33、条件，在时刻树的价格可以写为： （12）因为，时刻树的价格可以写为： （13）因此最终树的价格为： （14）（c）未来红利的预期值的增加有两个效应，第一个是给定消费的边际效用，预期红利的提高增加了拥有树的吸引力，这倾向于提高树的当前价格。不过，因为在这个模型中消费等于红利，未来红利的预期值的增加会导致未来消费的增加，因此降低了未来消费的边际效用，这倾向于降低拥有树的吸引力，因而降低树的价格。在对数效用的例子中，这两种力量恰好相互抵消，在未来红利的预期值增加的情况下，树的当前价格不变。（d）消费路径等于产出路径。因此如果产出遵循随机游走，则消费也遵循随机游走。如果产出不遵循随机游走，则消费也不遵

34、循随机游走。7.12 股票升水和总量冲击的集中（曼昆1986）。考虑一个存在两种可能状况的经济，两种状况发生的概率都为。在好状况下，每个消费者的消费为1。在差状况下，占人口比例为的人消费为，剩余的人消费为1，其中，。表示差状况下平均消费的减少，表示对该减少的分担程度。考虑两种资产，一种在好状况下的收益为1单位，另一种在差状况下的收益为1单位。令表示差状况资产与好的状况资产的相对价格。（a）考虑一个两种资产初始持有量都为0的人，并且考虑下一种做法：个人边际地减少（即卖空）其好状况资产的持有量，并将所得收益用于购买更多的差状况资产。推导出使得这种变化不影响个人期望效用的条件。（b）由于两种状况下的

35、消费都是外生的，且每个人事前都相同，因而必须调整至这样的一个点，即此时个人对两种资产的持有量均为0，并且这是一个均衡。根据（a）中推导出的条件，求出的这一均衡值，把它用、和来表示。（c）求。（d）证明：若效用是二次型的，则。（e）证明：若处处为正，则。答：（a）假设个人减少拥有好的状况的资产的数量为。这意味着如果好状态发生，发生的概率为，个人将损失乘以好状态下消费的边际效用，即。因此：预期的效用损失 （1）因为代表在坏的状态下资产与好状态下资产的相对价格，卖掉好的状态下资产的允许消费者购买坏的状态下资产的。这意味着如果坏的状态发生，发生的概率为，个人将得到乘以在坏的状态下消费的预期的边际效用。

36、在坏的状态下人口的部分的消费为，而部分消费为1。因此在坏的状态下消费的预期边际效用为，可以得到：预期的效用收益= （2）如果个人行为是最优化的，两种资产持有的变化不会导致效用的变化。因此预期效用损失必须等于预期效用收益： （3）（b）由方程（3），两边抵消和，得到： （4）解方程（4）可以得到： （5）（c）由于的变化，在均衡时在坏的状态下资产与好状态下资产的相对价格之比为： （6）化简可得： （7）（d）如果效用函数是二次型的，则是的线性函数，因为是不变的。如图7-3所示。图7-3 二次型效用函数可以计算的斜率为： （8）或者简化为： （9）可以知道图中线的斜率在任何的处均为并且等于。将两个

37、表达式联立得到： （10）因此得到： （11）（11）式的左边为等于0。对于二次型效用函数，总冲击集中度的边际变化对于在坏状态下资产与好状态下资产的相对价格没有影响。（e）如果，则是的凸函数，随着的增加，上升，或者负数变小。如同（d）所言，可以画出一条经过和的直线。而且这条直线的斜率等于：不过，从图7-4上可以知道这条直线的斜率比在处的较低，即： （12）简化为： （13）图7-4 总冲击的集中度的边际变化（13）式的左边为，因此。如果处处为正，的下降将引起上升。即总冲击的集中度的边际增加，的下降引起在坏的状态下资产与好状态下资产的相对价格的上升。7.13 与绝对风险厌恶不变的效用函数有关的预防性储蓄。考虑一个只生活两个时期的个人，他有如下的绝对风险厌恶系数不变的效用函数：其中，。利率为零且个人没有初始财富，故其终生预算约束为。其中，是确知的，是正态分布的，其均值为，方差为。（a）在瞬时效用函数，的情形下，的符号是什么？（b）作为以及外生参数，和的函数的个人预期终生效用是什么？提示：见习题7.5（b）部分的提示（c）找到用，和表示的的表达式。若无不确定性，则是多少？不确定性的增加如何影响。答：（a）效用函数的一阶导数为：二阶导数为：三阶导数为：（b）对于时期2而言，个人一生的预算约束为：