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1、第6章 弯曲变形,6.1 梁的挠曲线近似微分方程 6.2 积分法求变形 6.3 叠加法求变形 6.4 梁的刚度条件 6.5 变形比较法解超静定梁 6.6 提高梁抗弯刚度的措施,6.1 梁的挠曲线近似微分方程,1、挠度,一、挠度和转角,1) 挠曲线 梁的轴线变为图中虚线所示的平面曲线。,2) 挠度 y 轴线上各点在y轴方向的线位移,3) 挠曲线方程,2、转角,1) 转角 横截面绕中性轴转过的角度,2) 转角方程,图示坐标系中，规定: 向上的挠度和逆钟向的转角为正。,横力弯曲时,纯弯曲时梁轴线的曲率,平面曲线任一点的曲率,6.1 梁的挠曲线近似微分方程,二、挠曲线近似微分方程,小变形情况下,取正号
2、,当弯矩M(x)0时，梁的挠曲线向下凸，曲率 。,上式称为挠曲线近似微分方程。,6.1 梁的挠曲线近似微分方程,正负号选取,6.2 积分法求变形,2、挠度,1、转角,边界条件确定积分常数 C、D,1) 简支梁和外伸梁，两个铰支座处的挠度等于零；,2)悬臂梁，固定端处的挠度和转角都等于零。,3 、常见边界条件,6.2 积分法求变形,例61 图6-3所示等截面悬臂梁AB，承受均布载荷q作用。梁的弯曲刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定最大挠度ymax和最大转角max。,解 (1) 列出梁的弯矩方程,(2) 建立挠曲线近似微分方程并积分,6.2 积分法求变形,(3) 确定积分常数,在固定
3、端,(4) 转角方程和挠曲线方程,(5) 最大挠度和最大转角,梁的最大挠度和最大转角都发生在自由端处,6.2 积分法求变形,(1)弯矩连续函数，积分常数可由其边界条件来确定。,(2)弯矩方程为分段函数时，除了使梁满足边界条件以外，还要满足连续性条件。,连续性条件,相邻梁段在交界处具有相同的挠度和转角,6.2 积分法求变形,例62 图6-4所示简支梁受集中载荷F作用，梁的抗弯刚度为EI，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并求截面C的挠度和截面A的转角。,解 (1)求支座约束力，分段建立弯矩方程,AC段,CB段,6.2 积分法求变形,(2)分段建立挠曲线近似微分方程，并积分,AC段,CB段,6.2 积
4、分法求变形,(3)利用边界条件及连续条件确定积分常数,边界条件,连续条件,6.2 积分法求变形,(4)给出转角方程和挠曲线方程,AC段,CB段,(5)求指定截面的位移,截面A的转角,截面C的挠度,6.3 叠加法求变形,小变形和材料遵从胡克定律。,一、叠加法的应用前提,当梁上同时作用多个载荷时，可分别算出每一载荷单独作用所引起的位移，这些位移的总和(代数和或矢量和)即为各载荷同时作用所引起的位移，这就是计算弯曲变形的叠加法。,二、叠加法,6.3 叠加法求变形,例63 图65所示简支梁的抗弯刚度为EI，受均布载荷q和集中力偶Me作用。试用叠加法求梁跨中点C的挠度和截面A、B的转角。,解 均布载荷单
5、独作用下,集中力偶单独作用下,将以上两个结果叠加,6.3 叠加法求变形,例64 抗弯刚度为EI的外伸梁承受载荷如图6-6a所示。求自由端截面C的挠度。,解 悬臂梁BC,简支梁AB,外伸梁上截面C的挠度,6.4 梁的刚度条件,梁的刚度条件,(2) 强度条件往往起控制作用。,(1) f 和 分别为梁的许可挠度和转角。,(3)在设计梁时，通常先由强度条件选择梁的截面，然后对刚度进行校核。,6.4 梁的刚度条件,例64 图67所示工字钢简支梁，跨中受集中载荷F=25 kN作用。跨长l=4 m，许可挠度，材料的弹性模量E=206 GPa，许用应力，试选择工字钢的型号。,解 (1)按强度条件选择截面,由附
6、录C可查得，No.18a工字钢的几何特性为,最大弯矩发生在跨中截面,6.4 梁的刚度条件,梁的最大挠度在跨中截面,刚度符合要求。,(2)按刚度条件校核,故可选用No.18a工字钢。,6.5 变形比较法解超静定梁,一、静定梁,二、超静定梁,未知约束力的数目等于独立静力平衡方程的数目。,未知约束力的数目多于独立静力平衡方程的数目，仅靠平衡方程不能确定全部未知力 。,三、变形比较法,1) 构造原超静定梁的“相当系统”。假想地将多余约束去掉，代之以相应的约束力。,2) 相当系统与原结构变形谐调的条件，建立与多余约束力数目相等的补充方程，进而解出全部未知力。,6.5 变形比较法解超静定梁,变形比较方法求
7、解图示超静定梁。,解 (1)视支座B为多余约束,建立相当系统,(2)建立补充方程,附录B可查得,解得,6.5 变形比较法解超静定梁,(4) 剪力图和弯矩图,(3) 求出其他的约束力,6.5 变形比较法解超静定梁,解法二,(1)视支座A的约束力偶为多余约束,建立相当系统,(2)建立补充方程,附录B可查得,解得,6.5 变形比较法解超静定梁,解超静定梁的主要步骤:,(1)去掉多余约束,并施加与多余约束相对应的约束力,(2) 根据多余约束处的变形情况，建立补充方程，求出多余约束力。,(3) 利用静力平衡方程求解其他的约束力和内力。,6.6 提高梁抗弯刚度的措施,1. 改善加载方式,左侧的皮带轮和右侧的齿轮尽可能地靠近轴承,皮带拉力经由轴承传给箱体，传动轴几乎不产生弯曲变形。,使齿轮尽量靠近轴承外，同时使中间齿轮在下方与另一齿轮啮合。,6.6 提高梁抗弯刚度的措施,2. 减小梁的跨度,梁的挠度与跨度的三次方(集中力时)或四次方(分布力时)成正比，在满足使用要求的情况下，应尽量减小梁的跨长。,3. 增加约束,6.6 提高梁抗弯刚度的措施,4. 选择合理的截面形状,增大惯性矩的数值可以减小弯曲变形。一般空心薄壁截面的惯性矩比同面积的实心截面为大。,5. 预加反挠度,