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1、第二节 方差,方差的定义 方差的计算 方差的性质 切比雪夫不等式 课堂练习 小结 布置作业,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的
2、弹着点较集中在中心附近 .,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,一、方差的定义,记为D(X)或Var(X)，即,D(X)=Var(X)=EX-E(X)2,若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；,因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度
3、的一个尺度。,X为离散型， 分布率 PX=xk=pk,由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 的数学期望 .,二、方差的计算,X为连续型，X概率密度f(x),计算方差的一个简化公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,展开,证：D(X)=EX-E(X)2,=EX2-2XE(X)+E(X)2,=E(X2)-2E(X)2+E(X)2,=E(X2)-E(X)2,利用期望 性质,例1,设随机变量X具有(01）分布，其分布率为,求D(X) .,解,由公式,因此,0-1分布,例2,解,X的分布率为,上节已算得,因此,泊松分布,例3,解,因此,均匀分布,例4,设随机变量X服从指数分布,
4、其概率密度为,解,由此可知,指数分布,三、方差的性质,1. 设C 是常数, 则 D(C)=0 ;,2. 若 C 是常数, 则 D(CX)=C2 D(X) ;,3. 设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y),4. D(X)=0 PX= C=1 ,这里C=E(X),下面我们证明性质3,证明,若 X,Y 相互独立, 由数学期望的性质4得,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,例6 设XB(n,p)，求E(X)和D(X).,则 是n次试验中“成功” 的次数,下面我们举例说明方差性质的应用 .,解,XB(n,p),“成功” 次
5、数 .,则X表示n重贝努里试验中的,于是,i=1,2，n,由于X1,X2, Xn 相互独立,= np(1- p),E(Xi)= p,D(Xi)=,p(1- p) ,例7,解,于是,例如,例8,解,由于,故有,四、切比雪夫不等式,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|X-E(X)| 的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大.,证,我们只就连续型随机变量的情况来证明.,当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 .,如取,可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在， 则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 .,例9
6、已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 .,解：设每毫升白细胞数为X,依题意，E(X)=7300,D(X)=7002,所求为 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100,即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9 .,例10 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在n次独立重
7、复试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90?,解：设X为n 次试验中，事件A出现的次数，,E(X)=0.75n,的最小的n .,则 XB(n, 0.75),所求为满足,D(X)=0.750.25n=0.1875n,=P(-0.01nX-0.75n 0.01n),= P |X-E(X)| 0.01n,P(0.74n X0.76n ),可改写为,= P |X-E(X)| 0.01n,解得,依题意，取,即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.740.76之间的概率至少为0.90 .,五、课堂练习,1、 设随机变量X服从几何分布，概率分布为,PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2,其中0p1,求E(X),D(X),2、,1、解：,记 q=1-p,求和与求导 交换次序,无穷递缩等比 级数求和公式,D(X)=E(X2)-E(X)2,+E(X),2、解,六、小结,这一讲，我们介绍了随机变量的方差.,它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 .,下一讲，我们将介绍刻划两r.v间线性相关程度的一个重要的数字特征：,协方差、相关系数,七、 布置作业,概率论与数理统计 P89 3, 5,概率与统计 P107 9, 11,