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1、概率与统计,知识结构,随机事件,随机数与随机模拟,相关概念,1、随机事件,2、必然事件,3、不可能事件,在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。,在条件S下一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件。,在条件S下一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件。,确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A、B、C表示。,频率的定义,在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n 次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)=nA/n为事件A出现的频率。,思考：频率的取值范围是
2、什么？,0，1,必然事件出现的频率为1，不可能事件出现的频率为0。,概率的定义,对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记做P（A），称为事件A的概率，简称为A的概率。,思考：概率的取值范围是什么？,0，1,(一）、事件的关系与运算,对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）.,1.包含关系,记作:BA（或AB）,概率的基本性质,2.相等事件,一般地，若BA，且AB ，那么称事件A与事件B相等。,记作:A=B.,注：,（1）图形表示：,B(A),（2）两个相等的事件总是同时发
3、生或同时不发生。,3.并（和）事件,若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）.,记作：AB（或A+B）,图形表示：,4.交（积）事件,若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）.,记作：AB（或AB）,图形表示：,某检查员从一批产品中抽取8件进行检查，观察其中的次品数 记：A =“次品数少于5件” ; B = “次品数恰有2件” C = “次品数多于3件” ; D = “次品数至少有1件” 试写出下列事件的基本事件组成： A B ， A C, B C ;,例子,AB = A ( A,B 中至少有一个发
4、生）,AC= “有4件次品”,BC =,5.互斥事件,若AB为不可能事件（ AB =）那么称事件A与事件B互斥.,（1）事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.,（2）两事件同时发生的概率为0.,图形表示：,注：事件A与事件B互斥时,（3）对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.,6.对立事件,若AB为不可能事件， AB为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件。,（1）事件A与事件B在任何一次试验中有且 仅有一个发生.,（2）事件A的对立事件记为 .,图形表示：,（4）从集合的角度看，事件A的对立事件，是全集中的事件A所含结果组成的集合的补集.,注:,1、投掷一枚硬币，考察正
5、面还是反面朝上。 A=正面朝上 ，B=反面朝上,A，B是对立事件,A，B是互斥（事件）,2、某人对靶射击一次，观察命中环数 A =“命中4环” B =“命中5环” C =“命中 6环”,A，B是互斥 事件,A，B是对立事件,例子,(二)、概率的几个基本性质,1.概率P(A)的取值范围,（1）0P(A)1.,（2）必然事件的概率是1.,（3）不可能事件的概率是0.,2.概率的加法公式：,如果事件A与事件B互斥，则 P(A B）= P(A) + P(B）,若事件A，B为对立事件，则 P(B）=1P(A),3.对立事件的概率公式,（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？,（2）取到黑色牌（事件D）的
6、概率是多少？,例1 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是 ，取到方片（事件B）的概率是 。问:,例.某射手射击一次,射中10环、9环、8环、7环的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16，计算这名射手射击一次,(1)射中10环或9环的概率；,(2)至多射中7环的概率.,解:(1)设事件为“射中10环”，事件为“射 中环”,则和是互斥事件所以射 中10环或9环的概率 P(A)P(B)0.52,解：(2)设事件为“至多射中环”，事件 为“射中环或环以上”，则和是对立事件所以 P(C)1P(D)1(0.190.52)0.29 即至多射中7环的概率是0
7、.29,古典概率模型特点是： 我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概率。,(1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有限个，即只有有限个不同的基本事件；,(2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。,对于古典概型，任何事件的概率为：,例1 从字母a、b、c、d任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？,解：所求的基本事件共有6个：,树状图,分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来。,我们一般用列举法列出所有 基本事件的结果，画树状图是列 举法的基本方法。,练习：将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：,（1）共有多少种不
8、同的结果？ （2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的倍数的概率是多少？,36种,12种,例3、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率。,分析：样本空间 事件A 它们的元素个数n,m 公式,解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是,= ,(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),n = 6,用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则,A= ,(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),m=4,P(A) =,例4、从含有两件正品a,b和一件次
9、品c的三件产品中每次任取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的两件中恰好有一件次品的概率.,解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的样本空间是,= ,(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),n=9,用B表示“恰有一件次品”这一事件，则,B= ,(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),m=4,P(B) =,巩 固 练 习,2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数 都是奇数的概率.,解：试验的样本空间是,=(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25),
10、 (34) ,(35) ,(45),n=10,用A来表示“两数都是奇数”这一事件，则,A=(13)，(15)，(3,5),m=3,P(A)=,（1，2）（1，3）（1，4）（1，5） （2，3）（2，4）（2，5） （3，4）（3，5） （4，5）,因此，共有10个基本事件 (2)记摸到2只白球的事件为事件A， 即（1，2）（1，3）（2，3）故P（A）= 3/10,例6 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只红球，从中一次摸出两只球(1)共有多少基本事件(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？,解:(1)分别记白球1,2,3号，红球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件（摸到
11、1，2号球用（1，2）表示）：,(3) 该事件可用Venn图表示,在集合I中共有10个元素 在集合A中有3个元素 故P（A）= 3/10,8（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。,问共有多少个基本事件；,解： 分别对红球编号为1、2、3、4、5号，对黄球编号6、7、 8号，从中任取两球，有如下等可能基本事件，枚举如下：,（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）,（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）,（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）,（4，5）、（4，6
12、）、（4，7）、（4，8）,（5，6）、（5，7）、（5，8）,（6，7）、（6，8）,（7，8）,7,6,5,4,3,2,1,共有28个等可能事件,28,8（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。,求摸出两个球都是红球的概率；,设“摸出两个球都是红球”为事件A,则A中包含的基本事件有10个，,因此,8（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从中一次摸出两个球。,求摸出的两个球都是黄球的概率；,设“摸出的两个球都是黄球” 为事件B，,故,则事件B中包含的基本事件有3个，,8（摸球问题）：一个口袋内装有大小相同的5个红球和3个黄球， 从
13、中一次摸出两个球。,求摸出的两个球一红一黄的概率。,设“摸出的两个球一红一黄” 为事件C，,故,则事件C包含的基本事件有15个，,摸出两个球都是红球的概率为,摸出的两个球都是黄球的概率为,摸出的两个球一红一黄的概率为,通过对摸球问题的探讨，你能总结出求古典概型 概率的方法和步骤吗？,想一想？,几何概型的定义,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型的特点: (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.,在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:,解：设A=“等
14、待时间不超过10分钟”,则,例1： 某人午睡醒后，发现表停了，于是打开收音机等候整点报时，那么等待时间不多于10分钟的概率是多大？,例3：取一个边长为2a的正方形及其内切圆(如图),随机地向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.,解:记“豆子落入圆内”为事件A,则,P(A)=,答:豆子落入圆内的概率为,撒豆试验：向正方形内撒n颗豆子，其中有m颗落在圆内，当n很大时，频率接近于概率,34,p = = 1- = 5/9 。,解：以 7 点为坐标原点，小时为单位。x，y 分别表示两人到达的时间，( x，y )构成边长为 1 的正方形，显然这是一个几何概率问题。,例5. 两人相约于 7 时到 8
15、时在公园见面，先到者等候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。,他们能见面的充要条件是 | x y | 1/3 ,因此，,A 的面积 S 的面积,4 9,35,例6.已知关于x的方程ax2-ax+a-3=0. (1)若方程有两实根,求实数a 的值; (2)在(1)的前提下,任取一实数a,方程 有两正根的概率是多少?,练一练,练习2.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?,解:取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件高为A,则,P(A)=,答:含有麦锈病种子的概率为0.01,练习1. 在数轴上，设点x-3,3中按均匀分布出现，记a(-1,2为事件A，则P（A）=（ ） A、1 B、0 C、1/2 D、1/3,C,练习3：在正方形ABCD内随机取一点P，求APB 90的概率,B,C,APB 90？,概率为0的事件可能发生！,38,练习5.甲乙二人相约定6：00-6：30在预定地点会面，先到的人要等候另一人10分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率，假定他们在6：00-6：30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的。,解 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为 x 及 y（分钟）, 则,二人会面,