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1、前言 达朗贝尔原理 虚位移原理 动力学普遍方程 拉格朗日第一类方程 拉格朗日第二类方程,理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系,理论力学 CAI,分析力学基础,达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,2,达朗贝尔原理,前言 达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理 一般运动刚体的动静法 平面运动刚体的动静法 定轴转动刚体的动静法 动反力,分析力学基础/达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,3,达朗贝尔原理,前言 达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理 一般运动刚体的动静法 平面运动刚体的动静法 定轴转动刚体的动静法 动反力,
2、分析力学基础/达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,4,前言,质点系的达朗贝尔原理 1743年由达朗贝尔提出 与矢量动力学不同，从另一个角度给出了作用于系统的力与系统运动的关系 构成了分析动力学的基础,分析力学基础/达朗贝尔原理/前言,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,5,达朗贝尔原理,前言 达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理 一般运动刚体的动静法 平面运动刚体的动静法 定轴转动刚体的动静法 动反力,分析力学基础/达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,6,达朗贝尔惯性力、质点系达朗贝尔原理,达朗贝尔惯性力 质点系达朗贝尔原理,
3、分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,7,达朗贝尔惯性力,考虑惯性基下质点的运动,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,根据牛顿定律,质点的动力学方程,定义达朗贝尔惯性力,质点运动的任意时刻，质点的达朗贝尔惯性力与作用于质点的所有真实的作用力组成平衡力系,质点达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,8,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,动静法,真实的作用力指作用于质点的外力(包括理想约束力),引入达朗贝尔惯性力使惯性基下的质点动力学方程变换为一种力的平衡方程的形式,这种
4、处理方法称为动静法,动力学,“静力学”,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,9,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,回顾非惯性系下动力学方程,惯性基,非惯性平动基,定义,非惯性系下动力学方程,考虑特殊情况：,惯性系下动力学方程,牵连加速度,牵连惯性力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,10,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,非惯性系惯性力,牵连加速度,达朗贝尔惯性力,达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力,绝对加速度,处理相对运动问题,动静法处理绝对运动问题,牵连惯性力,使方程类似于惯性系下的牛顿方程,2019年4月6日,理论力学CA
5、I 分析力学基础,11,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,质点系,外力,内力,牛顿定律,质点Pi所对Pk的作用力力,质点Pk 所受的力,质点系达朗贝尔原理,定义达朗贝尔惯性力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,12,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,质点系,外力,内力,质点Pk 所受的力,n个方程相加,达朗贝尔惯性力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,13,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理,质点系,外力系,力系主矢,达朗贝尔惯性力系,外力系与达朗贝尔惯性力系构成平衡力系,力系对点O的主矩,外力系,平衡方
6、程,质点系达朗贝尔原理,惯性力系,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,14,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例,例,小球P1与P2与铅垂轴AB固连 将小球视为质点，质量均为m 轴AB作匀角速度w旋转。,求轴承A与B处所受的力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,15,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解,解,连体基,运动分析,系统作定轴匀角速度转动,质点P1与P2作匀速圆周运动转动,加速度,动静法,系统“冻结” （一般状态下）,加惯性力,设定正向,真实外力,主动力,理想约束力,设定正向,与加速度方向相反,大小,2019年4月
7、6日,理论力学CAI 分析力学基础,16,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解,连体基,动静法,系统“冻结” （一般状态下）,惯性力,主动力,理想约束力,平面力系,平衡方程,构成力偶,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,17,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解,连体基,动静法,系统“冻结” （一般状态下）,平面力系,平衡方程,由于平面x-y随轴AB一起转动，所以轴承受到的力在惯性基上观察是在不断的改变方向,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,18,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/例,例,变摆长的摆套在环
8、上，摆绳原长为l0，以匀速v向下拉 小球视为质点，质量为m,建立此摆的的动力学方程,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,19,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解,解,小球运动的一般位置,动静法,惯性基,小球加速度,惯性力,设定正向,真实外力,主动力,理想约束力,以小球为对象,坐标y,小球笛卡儿坐标,与加速度方向相反,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,20,分析力学基础/达朗贝尔原理/惯性力质点系达朗贝尔原理/解,动静法,惯性基,小球平衡方程,小球动力学方程,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,21,达朗贝尔原理,前言 达朗贝尔惯
9、性力与质点系达朗贝尔原理 一般运动刚体的动静法 平面运动刚体的动静法 定轴转动刚体的动静法 动反力,分析力学基础/达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,22,一般运动刚体动静法,刚体的达朗贝尔原理 刚体达朗贝尔惯性力的简化,分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,23,分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法,刚体达朗贝尔原理,质点系达朗贝尔原理,主动力与理想约束力主矢,主动力与理想约束力对质心C的主矩,惯性力系主矢,刚体达朗贝尔原理,惯性力对质心C的主矩,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础
10、,24,分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法,刚体达朗贝尔原理的变换,刚体达朗贝尔原理,对点O,对质心C,刚体达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,25,分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法,刚体达朗贝尔惯性力,达朗贝尔惯性力的主矢,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,26,分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法,达朗贝尔惯性力对质心C的主矩,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,27,分析力学基础/达朗贝尔原理/一般运动刚体动静法,达朗贝尔惯性力对质心C简化,该力等于惯性力系的主矢,该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系
11、对质心C的主矩,简化结果为作用于质心的一个力与一力偶,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,28,达朗贝尔原理,前言 达朗贝尔惯性力与质点系达朗贝尔原理 一般运动刚体的动静法 平面运动刚体的动静法 定轴转动刚体的动静法 动反力,分析力学基础/达朗贝尔原理,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,29,平面运动刚体动静法,平面运动刚体惯性力的简化,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,对质心C的主矩,主矢,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,30,平动刚体惯性力的简化,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,平动刚体惯性力向质心简化结果只有一
12、个过质心的力，其大小与方向等于惯性力的主矢,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,31,平面定轴转动刚体惯性力的简化,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,主矢,定轴O,质心加速度,离心惯性力,切向惯性力,质心向心加速度,质心切向加速度,方向,方向,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,32,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,方法1,对质心C的主矩,向点O的主矩,对点O的主矩,定轴O,方向与角加速度方向相反,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,33,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,方法2,对点O的主矩,定轴O,质点P
13、k加速度,质点Pk惯性力,对点O的主矩,方向与角加速度方向相反,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,34,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,平面定轴转动刚体惯性力系对转轴O简化,该力等于惯性力系的主矢,该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点O的主矩,简化结果为作用于点 O的一个力与一力偶,方向与角加速度方向相反,方向,方向,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,35,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,平面定轴转动刚体惯性力系对质心C简化（作为平面运动的特殊情况）,该力等于惯性力系的主矢,该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点C的主矩,简化结果为作用
14、于点 C的一个力与一力偶,方向与角加速度方向相反,方向,方向,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,36,平面运动刚体达朗贝尔原理,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法,平动,平面定轴转动,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,37,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例,例,均质杆AB长为l，质量为m。 当该杆由静止开始，在地面与墙面上无摩擦地滑动,试利用达朗贝尔原理求解杆刚开始滑动时的角加速度与约束反力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,38,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,解,惯性基,杆的运动为平面一般运动
15、,运动学分析,质心位置,质心加速度,杆的角速度,杆的角加速度,开始时刻,一般时刻,开始时刻,质心加速度,定义正向,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,39,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,惯性力主矢,设定正向,惯性力主矩,设定正向,与加速度方向相反,与角加速度方向相反,注意惯性力系简化后的作用点应该在何处,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,40,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,惯性力主矢,受力分析,主动力,理想约束力,惯性力主矩,平衡分析,S,时刻,未知约束力不出现,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,41,分
16、析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,平衡分析,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,42,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例,例,质量为m，长为l的均质杆AB一端A与半径为r的圆盘的边缘固结 圆盘以角速度w与角加速度a绕O转动 不计重力,计算图示瞬时AB杆在A处的约束力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,43,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,解,运动分析,连体基,质心加速度,定轴O,惯性力向点O简化,主矢正向设定,主矩正向设定,注意惯性力系简化后的作用点应该在何处,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,4
17、4,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,受力分析,连体基,理想约束力正向设定,对象AB,平衡分析,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,45,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,连体基,平衡方程,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,46,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/例,例,两根质量为m，长为l的均质杆OA与AB以铰链连接，铰链O与机座连接 在图示位置无初速开始运动,求此瞬时两杆的瞬时角加速度,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,47,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,解,惯性基,杆OA
18、,定轴转动,运动分析,角加速度,设定正向,杆AB,连体基,平面一般运动,角加速度,质心加速度,设定正向,质心加速度,此瞬时角速度为0,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,48,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,杆OA,定轴转动,惯性力分析,杆AB,平面一般运动,对点O简化,对点C2简化,注意惯性力系简化后的作用点应该在何处,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,49,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,受力分析,主动力,约束力,平衡分析,整体为对象,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,50,分析力学基础/达朗贝尔原理/平
19、面运动刚体动静法/解,受力分析,主动力,约束力,平衡分析,AB为对象,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,51,分析力学基础/达朗贝尔原理/平面运动刚体动静法/解,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,52,例：两根质量为 m，长为 l 的均质杆 OA 和 AB 以铰链连接，铰链 O 与机座连接，图示位置 OA 和 AB 水平，用软绳挂在支撑处。 （04年期末考试题）,试用达朗贝尔原理计算在软绳剪断的瞬时（系统在图示位置无初速开始运动），杆 OA 和 AB 的角加速度。,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,53,解法1：,系统在图示位置无初速开始运动时:
20、,取A为基点，建立平动坐标系,AB质心C2的加速度的矢量式 :,Y方向投影式：,(2),(1),2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,54,(1),(2),取系统为研究对象,将(1)和(2)代入以上方程：,化简得到：,(3),由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对O点的主矩为0：,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,55,(1),(2),(3),取AB为研究对象,将(2)代入以上方程：,化简，得：,(4),由(3)、(4)，得：,由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对O点的主矩为0 ：,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,56,解法2：,系统在图示位置无初速开始运动
21、时:,取A为基点，建立平动坐标系,AB质心C2的加速度的矢量式 :,Y方向投影式：,(2),(1),2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,57,取OA为对象，由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对O点的主矩为0：,(1),(2),将(1)和(2)代入：,化简得到：,(3),2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,58,(1),(2),将（2）式代入，得：,(3),取AB为对象，由达朗贝尔原理，真实力和惯性力对C2点的主矩为0：,(4),真实力和惯性力的主矢在Y方向分量为0：,(5),2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,59,(3),(4),(5),由(3)，(4)
22、，(5)化简得到：,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,60,定轴转动刚体动静法 动反力,讨论对象,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,定轴转动刚体,作用于刚体的力为空间力系,旋转轴OA不是刚体的主轴,刚体的质心不在旋转轴OA上,刚体定轴转动的一般情况,不能抽象为平面问题,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,61,运动分析,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,连体基,质点Pk的速度,加速度,刚体绕Oz轴的转角为,角速度,角加速度,质心C的加速度,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,62,惯性力的简化,分析力学基础/达朗贝尔原理/
23、定轴转动刚体动静法,质点Pk的惯性力,惯性力主矢,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,63,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,惯性力对点O的主矩,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,64,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,定轴转动刚体惯性力的主矢,在连体基的坐标式,定轴转动刚体惯性力对点O的主矩,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,65,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,在连体基的坐标式,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,66,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,小结：定轴转动刚体惯
24、性力对点O可简化作用于点O一个力与一力偶,该力等于惯性力系的主矢,该力偶的力偶矩矢量等于惯性力系对点O的主矩,在连体基的坐标式,当质心在Oz轴上,当Oz轴为刚体的主轴,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,67,定轴运动刚体达朗贝尔原理,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,受力分析,主动力对点O的主矢与主矩,约束力,平衡方程（空间力系）,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,68,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,平衡方程,5个方程可以解出理想约束力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,69,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚
25、体动静法,刚体不转动,静约束反力,静平衡方程,可以解出理想动反力,约束力与主动力有关,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,70,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,刚体的约束力与刚体的运动有关,不考虑静约束反力部分,动约束反力,解出理想动反力,动平衡方程,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,71,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法,动平衡方程,当Oz轴为主轴，质心在Oz轴上 轴承的动反力为零,系统处于动平衡,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,72,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/例,例,一质量为m均质圆盘转子以
26、匀角速度旋转，轴承的布置对称，离转子中心均为l=0.5m 角速度w=12000r/min 圆盘的质心C偏离该轴为e=0.01cm,求轴承动反力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,73,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解,解,连体基,Oz为主轴,惯性力,考虑到对称性,约束力,动平衡方程,e=0.01cm,静反力,动反力是静反力16.1倍,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,74,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/例,例,一质量为m均质圆盘转子以匀角速度旋转，轴承的布置对称，离转子中心均为l=0.5m 角速度w=12000r/min 转子
27、转轴与圆盘中心轴一小偏角,求轴承动反力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,75,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解,解,连体基1,连体基2,中心主轴基,Ox与Oz非主轴， Oy为主轴,惯性力,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,76,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解,连体基1,连体基2,中心主轴基,Ox与Oz非主轴， Oy为主轴,惯性力,考虑到对称性,约束力,动平衡方程,静反力,动反力是静反力56.4倍,2019年4月6日,理论力学CAI 分析力学基础,77,分析力学基础/达朗贝尔原理/定轴转动刚体动静法/解,小结,动反力的计算可通过动平衡方程 约束反力与达朗贝尔惯性力 静反力的计算可通过静平衡方程 约束反力与主动力 动反力可能远大于静反力 动反力的产生与系统的质量分布有关 通过调整质心位置与主轴的方位可消除动约反力,