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1、,解,三,角,形,的应用,解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。,解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。,我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的周髀算经里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦,学习目标：,1、会运用解三角形的理论解决简单的实际应用问题；,2、培养将实际
2、问题化归为纯数学问题的能力。,复习1、请回答下列问题：,复习2. 下列解ABC问题, 分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？,第4小题A变更为A=150o呢？_,余弦定理先求出A,或先求出B,正弦定理先求出b,正弦定理先求出B(60o或120o),无解,余弦定理先求出a,解斜三角形理论 在实际问题中的应用,解应用题中的几个角的概念,1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：,2、方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫方向角，如图,例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛
3、成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是 。,A,C,B,解斜三角形,基本概念和公式.,解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45 BC=10sin60 /sin45,解斜三角形,基本概念和公式,练习1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）,解：AB=16，由正弦定理知： BS/sin20=AB/sin45 可求BS=7.7海里。,2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为此在山的一侧选取适当的点
4、C(如图),测得CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又测得A,B两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长,C,解斜三角形,基本概念和公式.,由余弦定理可解AB长。进而求DE。 解略。,析：,4、计算要认真，准确计算出答案。,解斜三角形理论应用于实际问题应注意：,1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。,2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如视角，仰角，俯角，方位角等等。,3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。,例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军
5、舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45o 、距离为10海里的C处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105o的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？,解斜三角形,解三角形的应用.,N,N,45o,105o,10海里,A,C,解斜三角形,解三角形的应用.,解：设所需时间为t小时，在点B处相遇（如图）在ABC中， ACB = 120, AC = 10, AB = 21t, BC = 9t,（舍去）,由正弦定理：,由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 2109tcos120 整理得： 36t2 9
6、t 10 = 0 解得：,航向为北45o+22o=67o 东,时间40分钟能营救成功。,例2 一艘渔船在我海域遇险，且最多只能坚持45分钟，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45o 、距离为10海里的C处，并测得渔船以9海里/时的速度正沿方位角为105o的方向航行，我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救。求出舰艇的航向和赶上遇险渔船所需的最短时间，能否营救成功？,10海里,解斜三角形,解三角形的应用.,练习1、我舰在敌岛A南50西相距12海里B处，发现敌舰正由岛沿北10西的方向以10海里/时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为 。,南,B,分析：2小时敌舰航
7、行距离AC=20，由AB=12，BAC=120， 余弦定理可解我舰航行距离 BC。（略）,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,A,B,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,A,B,C,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,C,简解：由正弦定理可得 AB/sin=BC/sinA =a/sin(+),a,例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。,测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55cm，BAC51o，
8、ACB75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）,分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,例3、 如何测定河对岸两点A、B间的距离？如图在河这边取一点，构造三角形ABC，能否求出AB?为什么？,A,B,C,解斜三角形,解三角形的应用- 实地测量举例,例3、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，求A、B两点的距离.,A,B,C,D,1公里,分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有ABC和ABD，利用其一可求AB。,A
9、CD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，,略解：Rt ACD中，AD=1/cos30o BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在ABD中可求AB。,解斜三角形,练习1：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北75东，航行20 海里后，见此岛在北30东，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。,B,C,解法一： 在ABC中ACB=120BAC=45由正弦定理得：,无触礁危险,由BC=20 ,可求AB 得AM= 8.978,解法二： 在RtABM中，AM/BM=tan15 在Rt ACM中 ，AM/CM=tan60 BM= AM/ tan15， CM= AM/ tan60 ,由BC=BM-CM=20 可解出AM= 8.978,无触礁危险,1、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图； 2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题） 3.求模（正确运用正、余弦定理求解） 4，还原。,小结：求解三角形应用题的一般步骤：,如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是=3512和=4928，CD间的距离是11.12m已知测角仪器高1.52m，求烟囱的高,试 试 看,