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1、第五章 向量与矩阵的范数 定义： 设 是实数域 （或复数域 ）上的 维线性空间，对于 中的任意一个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 的范数，记为 ，并且要求范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意数。,（3） 三角不等式：对于 中的任意两个向量 都有 例 ： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义,证明： 都是 上的范数，并且还有 引理（Hoider不等式）：设,则 其中 且 。 引理（Minkowski不等式）：设 则,其中实数 。 几种常用的范数 定义：设向量 ，对任意的数 ，称 为向量 的 范数。 常用的 范数： （1）1范数,
2、（2）2范数 也称为欧氏范数。 （3） 范数 定理： 证明：令 ，则,于是有 另一方面,故 由此可知 定义：设 是 维线性空间 上定义的两种向量范数，如果存在两个与 无关的正数 使得,定理：有限维线性空间 上的任意两个向量范数都是等价的。 利用向量范数可以去构造新的范数。 例 ：设 是 上的向量范数，且 ，则由 所定义的 是 上的向量范数。 例 ： 设 数域 上的 维线性空间，,为其一组基底，那么对于 中的任意一个向量 可唯一地表示成 又设 是 上的向量范数，则由 所定义的 是 上的向量范数。 矩阵范数,定义：对于任何一个矩阵 ，用 表示按照某一确定法则与矩阵 相对应的一个实数，且满足,（1）
3、非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意复数。 （3） 三角不等式：对于任意两个同种形状矩阵 都有,（4）矩阵乘法的相容性：对于任意两个可以相乘的矩阵 ，都有 那么我们称 是矩阵 的范数。 例 1：对于任意 ，定义 可以证明如此定义的 的确为矩阵 的范数。,证明：只需要验证此定义满足矩阵范数的四条性质即可。非负性，齐次性与三角不等式容易证明。现在我们验证乘法的相容性。设 ，则,例 2 ：设矩阵 ，证明： 是矩阵范数。 证明：非负性，齐次性和三角不等式容易证得。现在我们考虑乘法的相容性。设 ，那么,因此 为矩阵 的范数。,例 3 ：对于任意 ，定义 可以证明 也是矩阵 的范数。我们称此
4、范数为矩阵 的Frobenious范数。 证明：此定义的非负性，齐次性是显然的。利用Minkowski不等式容易证明三角不等式。现在我们验证乘法的相容性。 设 ，则,于是有,例 4 ：对于任意 ，定义 证明如此定义的 是矩阵 的范数。 证明： 首先注意到这样一个基本事实，即 由一个例题可知此定义满足范数的性质。,Frobenious范数的性质： （1）如果 ，那么 （2） （3）对于任何 阶酉矩阵 与 阶酉矩阵,都有等式 关于矩阵范数的等价性定理。 定理：设 是矩阵 的任意两种范数，则总存在正数 使得,诱导范数 定义：设 是向量范数， 是矩阵范数，如果对于任何矩阵 与向量 都有 则称矩阵范数
5、与向量范数 是相容的。 例 1 ：矩阵的Frobenius范数与向量的2-范数是相容的. 证明 : 因为,根据Hoider不等式可以得到,于是有 例 2 ：设 是向量的范数，则 满足矩阵范数的定义，且 是与向量范 相容的矩阵范数。 证明：首先我们验证此定义满足范数的四条性质。非负性，齐次性与三角不等式易证。现在考虑矩阵范数的相容性。,设 ，那么,因此 的确满足矩阵范数的定义。,最后证明 与 是相容的。 由上面的结论可知 这说明 与 是相容的。 定义：上面所定义的矩阵范数称为由向量范数 所诱导的诱导范数或算子范数。由,向量 P-范数 所诱导的矩阵范数称为矩阵P-范数。即 常用的矩阵P-范数为 ，
6、 和 。 定理：设 ，则 （1） 我们称此范数为矩阵 的列和范数。,（2） 表示矩阵 的第 个特征值。我们称此范数为矩阵 的谱范数。 （3） 我们称此范数为矩阵 的行和范数。 例 1 ：设,计算 ， ， 和 。 解：,因为 所以 。 练习 ：设 或,分别计算这两个矩阵的 ， ， 和 。 例 2 ：证明：对于任何矩阵 都有,如何由矩阵范数构造与之相容的向量范数？ 定理：设 是矩阵范数，则存在向量范数 使得 证明：对于任意的非零向量 ，定义向量范数 ，容易验证此定义满足向量范数的三个性质，且,例：已知矩阵范数 求与之相容的一个向量范数。 解：取 。设,那么 矩阵的谱半径及其性质 定义：设 ， 的
7、个特征值为 ，我们称 为矩阵 的谱半径。 例 1 ：设 ，那么,这里 是矩阵 的任何一种范数。 例 2 ：设 是一个正规矩阵，则 证明：因为,于是有 例 3 ：设 是 上的相容矩阵范数。证明： （1） （2） 为可逆矩阵， 为 的特征值 则有,例 5 ：如果 ，则 均为可逆矩阵，且 这里 是矩阵 的算子范数。 矩阵序列与极限 定义：设矩阵序列 ，其中,，如果 个数列 都收敛，则称矩阵序列 收敛。 进一步，如果 那么 我们称矩阵 为矩阵序列 的极限。,例 ：如果设 ，其中 那么,定理： 矩阵序列 收敛于 的充分必要条件是 其中 为任意一种矩阵范数。 证明：取矩阵范数 必要性：设,那么由定义可知对
8、每一对 都有 从而有 上式记为,充分性：设 那么对每一对 都有 即,故有 现在已经证明了定理对于所设的范数成立 ，如果 是另外一种范数，那么由范数的等价性可知,这样，当 时同样可得 因此定理对于任意一种范数都成立。 同数列的极限运算一样，关于矩阵序列的极限运算也有下面的性质。 （1）一个收敛的矩阵序列的极限是唯一的。 （2）设,则 （3）设 ，其中 ，那么 （4）设 ，其中,那么 （5）设 ，且 ， 均可 逆，则 也收敛，且 例 1：若对矩阵 的某一范数 ，则,例 2：已知矩阵序列： 则 的充要条件是 。 证明： 设 的Jordan标准形 其中,于是 显然， 的充要条件是 又因,其中,于是 的
9、充要条件是 。 因此 的充要条件是 例 3 ：设 是 的相容矩阵范数，则对任意 ，都有 矩阵的幂级数,定义：设 ，如果 个常数项级数 都收敛， 则称矩阵级数 收敛。如果 个个常数项级数,都绝对收敛， 则称矩阵级数 绝对收敛。 例 ： 如果设 ，其中,那么矩阵级数 是收敛的。,定理：设 ，则矩阵级数 绝对收敛的充分必要条件是正项级数 收敛，其中 为任意一种矩阵范数。 证明：取矩阵范数,那么对每一对 都有 因此如果 收敛，则对每一对 常数项级数,都是收敛的，于是矩阵级数 绝对收敛。 反之，若矩阵级数 绝对收敛，则对每一对 都有,于是 根据范数等价性定理知结论对任何一种范数都正确。,定义：设 ，称形
10、如 的矩阵级数为矩阵幂级数。,定理：设幂级数 的收敛半径为 为 阶方阵。若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。,证明： 设 的Jordan标准形为 其中 于是,所以,其中,当 时，幂级数 都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。,当 时，幂级数 发散，所以 发散。 定理：矩阵幂级数 绝对收敛的充分必要条件是 。且其和为 。,例 1 ： （1）求下面级数的收敛半径 （2）设 判断矩阵幂级数 的敛散性。 解：设此级数的收敛半径为 ，利用公式,容易求得此级数的收敛半径为2。而 。所以由上面的定理可知矩阵幂级数 绝对收敛。 例 2 ： （1）求下面级数的收敛半径,（2）设,判断矩阵幂级数 的敛散性。 例 3 ： （1）求下面级数的收敛半径 （2）设,判断矩阵幂级数 的敛散性。 例 4 ：构造一个收敛的二阶可逆矩阵序列，但是其极限矩阵不可逆。,解： 显然每一个 均可逆，但是其极限矩阵,却不可逆。,