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1、第六章 矩阵函数 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 定义： 已知 和关于变量 的多项式 那么我们称 为 的矩阵多项式。,设 为一个 阶矩阵， 为其Jordan标准形，则 于是有,我们称上面的表达式为矩阵多项式 的Jordan表示。其中,例 已知多项式 与矩阵,求 。 解：首先求出矩阵的 的Jordan标准形 及其相似变换矩阵,那么有,定义：已知 和关于变量 的多项式 如果 满足 ，那么称 为矩阵 的一个零化多项式。,定理：已知 ， 为其特征多项式 ，则有 我们称此定理为Hamilton-Cayley定理。 定义：已知 ，在 的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为 的最小多项式
2、，通常记为 。 最小多项式的性质：已知 ，那么 （1）矩阵 的最小多项式是唯一的。 （2）矩阵的任何一个零化多项式均能被,整除。 （3）相似矩阵有相同的最小多项式。 如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑Jordan标准形矩阵的最小多项式。 例 1 ：已知一个Jordan块,求其最小多项式。 解：注意到其特征多项式为 ，则由上面的定理可知其最小多项式 一定具有如下形状 其中 。但是当 时,因此有 例 2 ：已知对角块矩阵 ， 分别为子块 的最小多项式，则 的最小多项式为 即为 的最小公倍数。,例 3 ：求下列矩阵的最小多项式,解： （1）首先求出其Jordan标准形为 所以其最小多项式为 。
3、 （2）此矩阵的Jordan标准形为,从而其最小多项式为 。 （3）该矩阵的Jordan标准形为,故其最小多项式为 。 （4）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以其最小多项式 。 矩阵函数及其计算 函数在矩阵谱上的值与矩阵函数 定义：设 ， 为 的 个互不相同的特征值， 为其最小多项式且有,其中 如果函数 具有足够高阶的导数并且下列 个值 存在，则称函数 在矩阵 的谱上有定义。 例：设,又已知 容易求得矩阵 的最小多项式为 并且,所以 在 的谱上有定义。但是如果取 容易求得矩阵 的最小多项式为 显然 不存在，所以在 的谱上无定义。 考虑下面两个问题：,（1）设 ，如果 有定义，那么 是否
4、也有定义？ （2）设 且 可逆，如果 有定义，那么 是否也有定义？ 如果上述说法正确，请予以证明；如果上述说法不正确，请举反例加以说明。 定义：设矩阵 的最小多项式为,函数 在矩阵 的谱上有定义，如果存在多项式 且满足 则定义矩阵函数为 如何求矩阵函数？矩阵函数的Jordan表示，多项式表示与幂级数表示 定理：设 ， 为矩阵 的Jordan标准形， 为其相似变换矩阵且使得,，如果函数 在矩阵 的谱上有定义，那么 其中,我们称此表达式为矩阵函数 的Jordan表示。,例 1 ：设 求 的Jordan表示并计算 。 解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵,从而 的Jordan表示为,
5、当 时，可得 从而有,当 时，可得 于是有,当 时，可得 同样可得,例 2 ：设 求 的Jordan表示并计算 解：首先求出其Jordan标准形矩阵 与相似变换矩阵,从而 的Jordan表示为,当 时，可得,于是有 当 时，可得 故,类似可求得,矩阵函数的多项式表示 定理：设函数 与函数 在矩阵 的谱上都有定义，那么 的充分必要条件是 与 在 的谱上的值完全相同。 设矩阵 的最小多项式为 其中 为矩阵 的 个互异特征值且,如何寻找多项式 使得 与所求的矩阵函数 完全相同？根据计算方法中的Hermite插值多项式定理可知，在众多的多项式中有一个次数为 次的多项式 且满足条件,这样，多项式 中的系
6、数 完全可以通过关系式 确定出来。则我们称 为矩阵函数 的多项式表示。,例 1 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为,这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2 的多项式 且满足 于是可得,解得 所以其多项式表示为,当 时，可得 于是有 当 时，可得,故有 类似地有,例 2 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为 这是一个3次多项式，从而存在一个次数为2,的多项式 且满足 于是有,解得 所以其多项式表示为,当 时，可得 于是有 当 时，可得,故有 类似地有,例 3 ：设 求 的多项式表示并且计算 解：容易观察出该矩阵的最小多项式为 这是一
7、个2次多项式，从而存在一个次数为1 的多项式,且满足 于是有 解得,所以其多项式表示为 当 时，可得 从而可得,当 时，可得 故有,同样可以得到 练习 ：设 求 的多项式表示并且计算,矩阵函数的幂级数表示 定义：设 ，一元函数 能够展开成关于 的幂级数 并且该幂级数地收敛半径为 。当矩阵 的谱半径 时，我们将收敛矩阵幂级数,的和定义为矩阵函数，一般记为 ，即 因为当 时，有,当 时，有 当 时，有 所以对于任意的矩阵 ，当,时，我们有,由此可以得到一些简单的推论：,矩阵指数函数与矩阵三角函数 这里我们主要讨论两种特殊矩阵函数的性质，即,定理：设 ，那么当 时，我们有 证明：首先证明第一个等式,现在证明第二个等式,同样可以证明其余的结论。 注意：这里矩阵 与 的交换性条件是必不可少的。 例：设 那么容易计算,并且 于是有,故有 显然 三者互不相等。,另外，关于矩阵的指数函数与三角函数还有下面几个特殊性质。,例 ：设 是一个Hermite 矩阵，那么 是一个酉矩阵。 证明：由矩阵指数函数公式 可得,这表明 为一个酉矩阵。 例 ：设 是一个实的反对称矩阵（或反-H阵 ），那么 为一个正交矩阵(或酉矩阵) 。 证明：设 为一个实的反对称矩阵，那么由矩阵指数函数的幂级数表示 可得,同样可以证明当 为一个反H-矩阵时， 为一个酉矩阵。,