《兴化市板桥初级中学2010中考第二轮专题复习第四讲操作型问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《兴化市板桥初级中学2010中考第二轮专题复习第四讲操作型问题.doc（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、兴化市板桥初级中学 第四讲 操作型问题 初三第二轮复习教案中考数学中的操作型问题在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓
2、励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想。因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。题型1 动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起。题型2 证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明。题型3 探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系，此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的
3、方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。例1、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是（ ） 【答案】C例2、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示） （图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决（1）将图3中的ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的ABF绕点F顺时针方向旋转30到
4、图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；（3）将图3中的ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AHDH （图4） （图5） （图6）解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长（2分）又在RtABC中，斜边长为10cm，BAC30，BC5cm，平移的距离为5cm（2分）（2），D30（1分）在RtEFD中，ED10 cm，FD，（1分）cm（2分）（3）AHE与中，（1分），即（1分）又，（AAS）（1分）（1分）例3、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图
5、1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）（图1） （图2） 请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，BMP是什么三角形？请证明你的结论（2）在图2中，若ABa，BCb，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD的边AB2，BC4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线为，当60时，求k的值.此时，将ABM沿BM折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？解：（1）BMP是等边三角形 （图3）证明：连结AN，EF垂直平分AB AN BN
6、，由折叠知 AB BNAN AB BN ABN为等边三角形，ABN 60 PBN 30 又ABM NBM 30，BNM A 90， BPN 60MBP MBN PBN 60，BMP 60，MBP BMP BPM 60，BMP为等边三角形 （2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP，则BC BP在RtBNP中， BN BA a，PBN 30，BP b ab 当ab时，在矩形上能剪出这样的等边BMP（3）MBC 60 ABM 906030，在RtABM中，tanABM tan30 AM ，M(，2). 代入ykx中 ，得k设ABM沿BM折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为，过作H BC交BC于HB
7、M ABM 30， B AB 230在RtBH中， H B 1 ，BH，落在EF上。 (图2) (图3)例4、如图的梯形ABCD中，AB90，且ADAB，C45将它分割成4个大小一样，都与原梯形相似的梯形（在图形中直接画分割线，不需要说明）ABDC例5、已知AOB90，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E 当三角板绕点C旋转到CD到OA垂直时（如图1），易证：ODOEOC当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD、OE、
8、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明解：图2结论：ODOEOC，证明：过C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q， CPDCQE，DPEQ，OPODDP，DQOEEQ，又OPOQOC，即ODDPOEEQOC，ODDEOC图3结论：OEODOC例6、操作，在ABC中，ACAB2，C90，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，射线CB于D，E两点，图、是旋转三角板得到的图形中的其中三种 探究：（1）三角板绕P点旋转，观察线段PD与PE之间有什么大小关系？它们的关系为_，并以图为例，加以证明 （2）三角板绕P点旋转，PBE
9、能否成为等腰三角形，若能指出所有的情况（即求出PBE为等腰三角形时的CE的长）；若不能，说明理由 （3）若将三角板直角顶点，放在斜边AB的M处，且AM：MB1：3和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系？直接写出结论，不必证明 （图供操作，实验用）结论为_例7、在ABC中，ABBC，将ABC绕点A沿顺时针方向旋转得到AB1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合） （1）如图，当C60时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明； （2）当C60时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当C60时，请你在图中用尺规作图法作出AB1C1（保留作图痕迹，不写作法）
10、，再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立？并说明理由解：（1）在矩形ABCD中，AB2，AD1，AF，D90根据轴对称的性质，得EFAF，DFADAF，在RtDEF中，DE（2）设AE与FG的交点为O，根据轴对称的性质，得AOEO，取AD的中点M，连接MO，则MODE，MODC，设DEx，则MOx，在矩形ABCD中，CD90，AE为AED的外接圆的直径，O为圆心延长MO交BC于点N，则ONCD，DNM180C90，ONBC，四边形MNCD是矩形，MNCDAB2，ONMNMO2x，AED的外接圆与BC相切，ON是AED的外接圆的半径，OEON2x，AE2ON4x在RtAED中，AD2DE
11、2AE2，12x2（4x）2解这个方程，得x，DE，OE2x根据轴对称的性质，得AEFG，FOED90又FEOAED，FEOAED，AD可得FO，又ABCD，EFOAGO，FEOGAO，FEOGAO，FOGO，FG2FO，折痕FG的长是例8、（1）已知中，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）ABC备用图ABC备用图ABC备用图（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系解：（1）如图（共有2种不同的分割法，每种1分，共2
12、分）ABC备用图ABC备用图（2）设，过点的直线交边于在中，若是顶角，如图1，则，此时只能有，即，即若是底角，则有两种情况第一种情况：如图2，当时，则，中，1由，得，此时有，即2由，得，此时，即3由，得，此时，即，为小于的任意锐角第二种情况，如图3，当时，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾当是底角时，不成立BDCA图1BDCA图2BDCA图3例9、已知：矩形纸片中，厘米，厘米，点在上，且厘米，点是边上一动点按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点与点重合，展开纸片得折痕（如图1所示）；步骤二，过点作，交所在的直线于点，连接（如图2所示）（1）无论点在边上任何位置，都有_（填“”、“”、“”号）；
13、（2）如图3所示，将纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点在点时，与交于点点的坐标是（_，_）；当厘米时，与交于点点的坐标是（_，_）；当厘米时，在图3中画出（不要求写画法），并求出与的交点的坐标；（3）点在运动过程，与形成一系列的交点观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式APBCMD(P)EBC图10(A)BCDE6121824xy61218图3ANPBCMDEQT图2解：（1）2分；（2）；画图，如图所示解：方法一：设与交于点0(A)BCDE6121824xy61218FMGP在中，又，方法二：过点作，垂足为，则四边形是矩形，设，则在中，（3）这
14、些点形成的图象是一段抛物线函数关系式：例10、某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）。 分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形.设计图案的关键：以正六边形的6个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成6等分图案. 解：（答案不惟一，在下图9-2中任选两种）. 图9-2 说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、矩形、正方形分割成4等分等.这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案。
15、例11、如图9-3，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形ABCD（见示意图a）. (以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.)探究一：（1）想一想判断四边形ABCD是平行四边形的依据是 ；(c)CAB(b)DCAB图9-3（2）做一做按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并在图（b）中画出示意图.(a)DCBAA探究二：在直角三角形ABC中，请你找出其他的裁剪线，把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边形.（1）试一试你能拼得不同类型的特殊四边形有 ，它们的裁剪线分别是 ；
16、（2）画一画请在图（c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.DCABD(1) 分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题.由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩.重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.ADCAB(2)图9-4 解：探究一：/ = / = （1）CD AB（或AD BC等）. (2)(只要画出图9-4（1），（2）之一的示意图).探究二：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形. 三角形ABC的中位线（或一条三角形的中位线）（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成：1的两段
17、，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段”，才算正确.） DCABD(3)AABCDD(2)AABCD(1)C k Dk BAC(6) k kCBADA(5)图9-5CABDD(4) (2)只要画出图9-5中（1）（6）之一的示意图. 说明：本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重新组合图形留下较大的创新空间.解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法.想一想：探究一中，能否拼成菱形？请说明理由。例12、阅读下面短文：如图9-6（1）所示，ABC是直角三角形，C=900，现在ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可
18、以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB（如图9-6（2）所示）。F图9-6（2）DACAB图9-6（1） EBC 解答问题： （1）设图9-6（2）所示矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 S2（填“”、“=”、“”） （2）如图9-6（3）所示， ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个 ，利用图9-6（3）把画出来.图9-6（4）ABCCAB9-6（3） （3）如图9-6（4）所示，ABC是锐角三角形三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图9-6（4）把它出来. （4）在（3）中所画出
19、的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？ 分析：（2）只能以AB为一边，作一个矩形；（3）可以锐角ABC的三边作三个矩形；（4）由（1）类推（3）中的三个矩形的面积相等，设其面积为S，用S与a、b、c三边分别表示三个矩形的周长L1、L2、L3，用作差法类比三个矩形的周长的大小.解：（1）S1=S2；（2）一个（如图9-6（5）；（3）三个（如图9-6（6）； 图9-6（6）HABCDEFGQ图9-6（5）CAB(4)以AB为边的矩形周长最小. 设矩形BCED、ACHQ、ABGF的周长分别为L1、L2、L3，BC=a,AC=b,AB=c.易知这三个矩形的面积相等.令其面积为S，则有，L1=+2a，L
20、2=+2b，L3=+2c.L1 L2=+2a(+2b)=2(ab). 而abS，ab，L1 L20，即L1 L2，同理L2 L3. 以AB为边的矩形周长最小. 说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化.另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）.二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2倍等）. 三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）。例13、取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图9-8（1）；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为
21、AE，点B在MN上的对应点为B，得RtA BE，如图9-8（2）；第三步：沿E B线折叠得折痕EF，如图9-8（3）.利用展开图9-8（4）探究：（1） AEF是什么三角形？证明你的结论.（2） 对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.BFEMABCDN（4）CAD（2）图9-8FAE（3）FABCMDN（1）ENC NDBB（2003年山西省中考试题） 分析：（1）经过操作测量易判定AEF是正三角形.再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明AEF是正三角形； (2) 不一定.运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长a与宽b的关系，再
22、按ba、aba的情形分类讨论. FEMABBCDN 31 2P 解：（1）AEF是正三角形.证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA，BP是RtA BE斜边上的中线， PA=P B，1=3. 又PN/AD，2=3.而BAF=21+2=900， 1=2=300. 在RtA BE，1+AEF=900，AEF=600，EAF=1+2=600，AEF是正三角形.证法二：ABE与A BE完全重合， ABEA BE，BAE=1.由平行线等分线段定理知 EB=BF. 又A BE=900，ABEA BF，AE=AF. 1=2=BAD=300.AEF是正三角形.（2）不一定.由上推证可知当矩形的长
23、恰好等于AEF的边AF时，即 矩形的宽：长AB：AF=sin600=：2时正好能折出. 如果设矩形的长为a，宽为b ,可知当ba时，按此法一定能折出等边三角形；当aba时，按此法无法折出完整的等边三角形. 说明：折叠图形问题，着重考察动手操作和分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等. 折叠图形的常见类型：对角线折叠问题；角平分线折叠问题；轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题？例14、OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y 轴上，OA=10，OC=6.（1）如图9-9（1），在OA上选取一点G，将COG沿CG翻折
24、，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式.(2)如图9-9（2），在OC上选取一点D，将AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为 E. 求折痕AD所在直线的解析式.再作EF/AB，交AD于点F，若抛物线y=x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数. FxED OyCBA图9-9（2）xOyCBAGE图9-9（1）（3）如图9-9（3），一般地，在OC、OA上选取适当的点D、G，使纸片沿DG翻折后，点O落在BC边上，记为E. 请你猜想：折痕DG所在直线与中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想.BG xEDOyCA图9-9（3） 分析：（1
25、）由折法易知：G（6，0）、C（0，6）. 求得折痕CG的解析式为y=x+6；（2）由勾股定理易求得D E=，则折痕AD的解析式为：y=x+；由题意设F（2，yF），点F在AD上，F的坐标为（2，），求出抛物线为y=x2+3. 再联立方程组，判定直线AD与抛物线只有一个交点. 解：（1）由折法知，四边形OCEG是正方形，OG=OC=6，G（6，0）、C（0，6）.设直线CG的解析式为：y=kx+b，则0=6k+b, 6=0+b. k=1,b=6 直线CG的解析式为：y=x+6.(2) 在RtABE中，BE=8，CE=2. 设OD=s，则DE=s， CD=6s，在RtDCE中，s2=(6s)2+
26、22, s=.则D（0，）.设AD：y=kx+.由于它过A（10，0），k=. AD：y=x+.EF/AB, E(2,6) ,设F（2，yF），F在AD上，yF=2+=，F（2，）.又F在抛物线上，=22+h. 抛物线的解析式为：y=x2+3.将y=x+代入y=x2+3. 得x2+x=0. =()24()()=0. 直线AD与抛物线只一个交点.（3）例如可以猜想：折痕所在直线与抛物线y=x2+3只有一个交点；验证：在图1 中折痕为CG. 将y=x+6 代入y=x2+3.得x2+x3=0. =14 (3)()=0, 折痕CG所在直线的确与抛物线y=x2+3只有一个交点.说明：本例在直角坐标系中，以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，引其函数变化，并用特殊的（1）中的情形加以验证.若不用（1）中的情形验证，请猜想：DG所在直线与中的抛物线会有什么位置关系？16