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1、工程数学（本）复习资料考试考点归纳总结最新 电大考试电大小抄电大复习资料 一、单项选择题（每小题 3 分，本题共 15 分） 1. 若 ，则 （A ） A. 3 B. 2 C. D. 0512x 32 2. 已知 2 维向量组 ，则 至多是（B ） A B C D 4321,),(4321r 134 3. 设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（C）A. B. C. D. BA,n)(A)(B)( 4. 若 满足（B ），则 与 是相互独立 A. B. C. D. )()(P)()(PPP 5. 若随机变量 的期望和方差分别为 和 ，则等式（ D ）成立XXE A. B. C. D. )()(ED
2、22)()(D)(2XE22)()(XED 6若 是对称矩阵，则等式（ B ）成立 A. B. C. D. IA1A 1 A1 7 （D） A. B. C. D. 5433547457534 8若（A ）成立，则 元线性方程组 有唯一解XO A. B. C. D. 的行向量线性相关 4. 若条件（ C ）成立，则随机事件 ， 互为对立事件 A. 或 B. 或BU0)(ABP()1 C. 且 D. 且 B 9对来自正态总体 （ 未知）的一个样本 ，记 ，则下列各式中（C ）不是统 31iX 计量 A. B. C. D. X 31ii312)(iiX312)(iiX 10设 都是 n 阶方阵，则下
3、列命题正确的是( A )B, A B 22B C D若 ，则 或O 11向量组 的秩是（ B ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 73,01, 12 元线性方程组 有解的充分必要条件是（ A）n A. B. 不是行满秩矩阵 C. D. )()brA 13. 袋中有 3 个红球，2 个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D ） A. B. C. D. 5610259 14设 是来自正态总体 的样本，则（ C）是 无偏估计N(,)2 A. B. C. D. 321x321x315x3215x 15设 为 阶矩阵，则下列等式成立的是（ A ）B,n A B C
4、 DA11)(BA1)(BA 16方程组 相容的充分必要条件是( B )，其中 ， 31221ax 0ia)3,2i A B C D 03a0313210321a 17下列命题中不正确的是（ D ） A A 与 有相同的特征多项式 B若 是 A 的特征值，则 的非零解向量必是 A 对应于 的特征向量OXI）（ C若 =0 是 A 的一个特征值，则 必有非零解 D A 的特征向量的线性组合仍为 A 的特征向量 18若事件 与 互斥，则下列等式中正确的是（ A ） A B C D 19设 是来自正态总体 的样本，则检验假设 采用统计量 U =（ C ）nx,21 )1,5(N5:0H A B C
5、D5x5/x 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设 均为 n 阶可逆矩阵，逆矩阵分别为 ，则 BA, 1,BA1)(AB)(1 2. 向量组 线性相关，则 -1.,0),0(),1,( 321 k _k 3. 已知 ，则 0.6.8.0)BPP 4. 已知随机变量 ，那么 2.45.01.32X)(XE 5. 设 是来自正态总体 的一个样本，则 1021,x 4,(N10ix)104,(N 6设 均为 3 阶方阵， ，则 8BA, 63AB3()A 7设 为 n 阶方阵，若存在数 和非零 n 维向量 ，使得 ，则称 为 相应于特征值的特征向量 XXA 8若 ，则 0.35.)(
6、,8.)(PP 9如果随机变量 的期望 ， ，那么 202E9)(2)2(D 10不含未知参数的样本函数称为 统计量 11设 均为 3 阶方阵， ，则 -18BA, ,3AB1A 12设随机变量 ，则 a = 0.3 01.25X 13设 为随机变量，已知 ，此时 27 )(D 14设 是未知参数 的一个无偏估计量，则有 ()E 15设 ，则 的根是 1，-1，2，-2 2 14Ax0A 16设 4 元线性方程组 AX=B 有解且 r（ A）=1，那么 AX=B 的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量 17设 互不相容，且 ，则 0 18设随机变量 X B（ n， p），则 E（ X）=
7、 np 19若样本 来自总体 ，且 ，则 x,21 )1,(N nix1)1,0(nN 三、计算题（每小题 16 分，共 64 分） 1 设矩阵 ，求（1） ，（2） 4235AA1 解： （1） （2）利用初等行变换得1003042315 120512105 即 190720751A17 2. 当 取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的全部解 232341xx 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 102435010310213 由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解 此时相应齐次方程组的一般解为 （ 是自由未知量）43,x 分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系 XX1
8、20301, 令 ，得非齐次方程组的一个特解 X01 由此得原方程组的全部解为 （其中 为任意常数） Xk012 3. 设 ，试求 ； （已知)4,3(NX)95(P)7(P,843.)( ）87.972.0)( 解：(1) 335 P 1574.083.97.01 (2) )2()( )2(1)2(XX 28)( 4. 已知某种零件重量 ，采用新技术后，取了 9 个样品，测得重量（单位：kg）的平均值为 14.9，已知方差不09.,15NX 变，问平均重量是否仍为 15（ ）？ 解： 零假设 由于已知 ，故选取样本函数 :0H.2UxnN(,)01 已知 ，经计算得 ， 9.14x1.031
9、.054nx 由已知条件 ， 故接受零假设，即零件平均重量仍为 15975.6ux 5设矩阵 ，求 052,321BABA1 解：利用初等行变换得 1023410321 14603514610 即 由矩阵乘法得165465A 52018021BA 6当 取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的全部解 17932241xx 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 190256 105180512 由此可知当 时，方程组无解。当 时，方程组有解。 此时齐次方程组化为 分别令 及 ，得齐次方程组的一个基础解系 432159xx 10,021XX 令 ，得非齐次方程组的一个特解 由此得原方程组的
10、全部解为08 （其中 为任意常数） 7设 ，试求：(1) ；(2) （已知)75(XP ）9.0)3(,972.0)(,8413.0)( 解：(1) (2)PXX110843157( ()()()5532).292039 8某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布今从一批产品里随机取出 9 个，测得直径平均值为 15.1mm，若已知这批滚珠 直径的方差为 ，试找出滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间 206. 解：由于已知 ，故选取样本函数 已知 ，经计算得 )1,0(NnxU1.5x02.369 滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间为 ，又由已知条件 ，故此置信区间为975.
11、975. u.175.0u1392.5,068. 9设矩阵 ，且有 ，求 AB 410, X 解：利用初等行变换得 1203512130210512051 即 由矩阵乘法和转置运97075A17 算得 XAB 1201751362 10求线性方程组 的全部解 284234142xx 解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 046231842317 02130621 方程组的一般解为 （其中 为自由未知量） 令 =0，得到方程的一个特解 . x1345 )01(0X 方程组相应的齐方程的一般解为 （其中 为自由未知量）4321x 令 =1，得到方程的一个基础解系 . 于是，方程组的全部解为 （其中
12、为任意常数）)15(1X 10kX 11据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度 ，今从这批砖中随机地抽取了 9 块，测得抗断强度（单)2.,53(N 位：kgcm 2）的平均值为 31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（ ） 解： 零假设 由于已知 ，故选取样本函数 已知 ，经计算得UxnN(,)1 ， 由已知条件 ，91307.xn3125073 u3796075 故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格 12设矩阵 ，求 解：由矩阵乘法和转置运算得1A1()A 利用初等行变换得 01032110321102 即 2012011()A 14求下列线性方程组的通解 1234 5648xx 解
13、利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即 24536811205015201 方程组的一般解为： ，其中 ， 是自由未知量 43 x2x4 令 ，得方程组的一个特解 042x0(1)X 方程组的导出组的一般解为： ，其中 ， 是自由未知量1243x2x4 令 ， ，得导出组的解向量 ；12x04 (0)X， 令 ， ，得导出组的解向量 所以方程组的通解为：21 其中 是任意实数210Xk1()()kk， 1k2 15设随机变量 X N（3，4）求：（1） P（1 X 7）；（2）使 P（ X a）=0.9 成立的常数 a (已知 ，8413.0)( ， ) 9.)8.(97.
14、0 解：（1） P（1 X 7）= = = = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 32()()1( （2）因为 P（ X a）= = = 0.9 所以 ， a = 3 + = 5.56 )a28.28. 16从正态总体 N（ ，4）中抽取容量为 625 的样本，计算样本均值得 = 2.5，求 的置信度为 99%的置信区间.(已知 x )576.9.0u 解：已知 ， n = 625，且 nxu)1,0(N 因为 = 2.5， ， ， x01.95.276.21u206.57.21nu 所以置信度为 99%的 的置信区间为： ,94,22xx 17某车间生产滚珠，已知滚珠直径
15、服从正态分布今从一批产品里随机取出 9 个，测得直径平均值为 15.1mm，若已知这批滚珠直 径的方差为 ，试找出滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间 206. 解：由于已知 ，故选取样本函数 已知 ，经计算得 )1,0(NnxU1.5x02.369 滚珠直径均值的置信度为 0.95 的置信区间为 ，又由已知条件 ，故此置信区间为97.975. u.175.0u1392.5,068. 四、证明题（本题 6 分） 1 设 , 是两个随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知 BABU)( 而 ，故由加法公式和乘法公式可知 证毕 )(BA 2设随机事件 , 相互独立，试证： 也相互独立A,
16、证明： 所以 也相互独立证毕)(1)()( PPP)(BA, 3设 是 阶对称矩阵，试证： 也是对称矩阵,n 证明： 是同阶矩阵，由矩阵的运算性质可知 已知 是对称矩阵，故有 ，即AB, B, 由此可知 也是对称矩阵，证毕BA)( 4设 n 阶矩阵 A 满足 ，则 A 为可逆矩阵0)(I 证明： 因为 ，即 所以， A 为可逆矩阵)(2I I2 5设向量组 线性无关，令 ， ， ，证明向量组 线性321,132134321, 无关。 证明：设 ，即 03kk 0)()()( kkk 04)()( 32211 因为 线性无关，所以 解得 k1=0, k2=0, k3=0，从而 线性无关321, 432k 321, 6设 , 为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知 而 ，故由概率的性质可知