第2章信号和系统的频域分析.ppt

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1、第2章 信号和系统的频域分析,2.1 引言 2.2 序列的傅里叶变换 2.3 周期序列的离散傅里叶级数 2.4 时域离散信号的FT与模拟信号的FT的关系 2.5 序列的Z变换 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性,2.1 引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种： 时域分析方法，频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析方法相当于用化学分析方法间接看水。 时域分析 频域分析 f(t) F() x(n) X(ej) 在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。 在离散领域：系统用差分方程？、Z变换？和傅里叶变换？描述。,连续信号和系统的 离散信号和系统的 频域分

2、析 频域分析,2.2 序列的傅里叶变换的定义及性质,2.2.1 序列傅里叶变换的定义 FTx(n)= IFTX(ej)=x(n)=,序列的傅里叶变换,序列的傅里叶反变换,例 2.2.1 设x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT。 解：,设N=4，X()的幅度与相位随变化曲线如图2.2.1所示。注意观察它的周期性？。,图 2.2.1 R4(n)的频谱的幅度与相位曲线,2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 在定义(2.2.1)式中， n取整数， 因此下式成立,M为整数(2.2.6),它说明序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期是2。在=0和=2M附近的频谱分布是相同的。在=0，2

3、， 4，点上表示信号x(n)的直流分量，在= ，3， 5，点上表示信号x(n)的高频分量？。 例如：信号x(n)=cos(n)，当=2M时它没有变化，当=2M+时它变化最快，用图表示如图2.2.2。,图 2.2.2 cos（n）的波形,2. FT的线性,那么,设,式中a, b为常数 。 3. FT的时移与频移 设X(e j)=FTx(n)， 那么 证明方法： 令l=n-n0,(2.2.7),(2.2.8),(2.2.9),例 2.2.2 试分析x(n)=e jn的对称性 解： 将x(n)的n用-n代替， 再取共轭得到： x*(-n)= e jn 因此x(n)=x*(-n)， 满足(2.2.10

4、)式， x(n)是共轭对称序列， 如展成实部与虚部， 得到 x(n)=cos(nJ)+j sin(n) 由上式表明， 共轭对称序列的实部确实是偶函数， 虚部是奇函数。,一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.16) 式中xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出：,(2.2.18),(2.2.19),对于频域函数X(ej)也有和上面类似的概念和结论： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) (2.2.10) 共轭对称部分 Xe(ej) =Xe* (e-j) (2.2.21) 共轭反对称部分 Xo(ej) =-Xo* (e-j) (2

5、.2.22),(223),(2.2.24),对称性 (a) 若 x(n)=xr(n)+jxi(n)，对该式进行FT， 得到 xr(n) Xe(e j) jxi(n) Xo(e j) (b) 若 x(n)=xe(n)+xo(n) ，对该式进行FT，得到 xe(n) XR(ej) xo(n) jXI(ej) 用途：加快DFT，节约计算机资源 x(n) X() =x1+jx2 =X1+jX2 X1=Xe=(X() + X*(-)/2 X2=-jXo=-j(X() - X*(-)/2,5. FT的时域卷积定理 设 y(n)=x(n)*h(n), 则 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.3

6、2) 6. FT的频域卷积定理 设 y(n)=x(n)h(n) (2.2.33) 则,2.3 周期序列的离散傅里叶级数,定义 设 是以N为周期的周期序列,则离散傅里叶级数为 物理意义 周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的 表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。X(k)表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理FT的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。,例 2.3.1 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延 拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期为8，求 的DFS。 解：

7、 按照定义,例2.3.1图,习题2的解： 1 建立数学模型 FT的反变换表达式为 x(n)= 因为MATLAB是做数值计算的，所以改写表达式 x(n)= 写成,MATLAB程序DSP7.m clear, N=200; %0到pi的频分点数 dw=pi/N;w=1:N*dw; %角频率的间隔 X=ones(1,N/2),zeros(1,N/2)*pi; %给出频谱函数 ln=200; %给出序列的正长度 n=0:ln; %给出序列的正序号 x=X*exp(j*w*n)*dw/pi; %求X(w)的傅里叶反变换 subplot(2,1,1),plot(w,X),grid title(频谱X(w)的

8、波形图) xlabel(w/弧度),ylabel(X(w); subplot(2,1,2),stem(n,abs(x),.),grid title(序列x(n)的波形图) xlabel(n),ylabel(x(n); shg,3 程序运行结果 频分点N=200时 频分点N=100时,习题6（2）的解： 1 建模 从序列的傅里叶变换的定义出发 为了计算，将连续频率w设置成离散频率，得到频谱 X=x*exp(-j*n*w) 2 MATLAB程序DSP8.m,clear, n=-1:1; %建立序号 x=.5,1,.5;%给出序列 w=linspace(0,2*pi,1000);%线性产生角频率w的

9、1000个频点 X=x*exp(-j*n*w);%求x(n)的傅里叶变换 plot(w,abs(X),grid,shg%画频谱图 title(序列x(n)的频谱图), xlabel(w/弧度),ylabel(X(w)的幅度),程序运行结果 一种是w=02pi， 一种是w=04pi，,2.4 时域离散信号的FT与模拟 信号的FT之间的关系,模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换用下面公式描述 （2.4.2） （2.4.1） 而采样信号 的傅里叶变换用下面公式描述 （1.5.2） （1.5.5） 公式（1.5.5）描述了模拟信号和采样信号的频谱关系,离散信号x(n)的一对傅里叶变换用下面公式描述 （2

10、.2.4） （2.2.1） 如果时域离散信号x(n) 是由我们对模拟信号xa(t)的采样产生的，即x(n)=xa(nT)，那么， X()与Xa()之间有什么关系？ 这在模拟信号DSP处理中 是个很重要的问题。 由公式（2.4.2）得到,为了得到离散信号和连续信号的频谱关系，令 =B+sk，s是采样角频率，则当=到时，B=s/2到s/2，k=整数，所以 注意: B= T= 它与式（2.2.4）对比得到 （2.4.7） 公式（2.4.7）描述离散信号与连续信号的频谱关系。,公式（1.5.5）和（2.4.7）的共同特点是序列的频谱和采样信号的频谱都是模拟信号的频谱的周期延拓，延拓周期是s 。它们频率

11、轴上取值的对应关系用T=表示。,图 2.4.1 模拟频率与数字频率之间的定标关系,采样规律： 函数采样 (I)FT 周期延拓没采样函数变换的 采样间隔 (I)FT 延拓的周期是(1/),例 2.4.1 设xa(t)=cos(2f0t)， f0=50 Hz，以采样频率fs=200 Hz对xa(t)进行采样， 得到采样信号 和时域离散信号x(n)， 求xa(t)、 和x(n)的傅里叶变换。 解：根据FT对称性和频移性 令2f=,按照(1.5.2)式， 与xa(t)的关系式为 的傅里叶变换用(1.5.5)式确定， 即以s为周期， 将Xa()周期延拓形成： x(n)的傅里叶变换用(2.4.7)式确定，

12、注意： T= 0=100，0=/2?,下面是连续信号、采样信号 和离散信号的频谱图： /T,图 2.4.2 例2.4.1图,2.5 序列的Z变换,2.5.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变换是 式中z是一个复变量，相当于FT中的虚指数ej， 它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中， 对n在之间求和的ZT ， 可以称为双边Z变换。对n在0之间求和的ZT ， 可以称为单边Z变换的定义， 如下式,(2.5.1),(2.5.2),使(2.5.3)式成立的 Z变量取值范围称为收敛域。 一 般收敛域用环状域表示：,对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样 的。 本书中如不另外说明， 均用双边Z

13、变换对信号进行 分析和变换。 (2.5.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和， 即,(2.5.3),令z=rej带入上面不等式就可以得到Rxr Rx+，它说 明收敛域是以Rx和Rx+为半径的两个圆圈围成的圆环， Rx和Rx+称为收敛半径。,图 2.5.1 Z变换的收敛域,常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界？。 对比序列的傅里叶变换定义(2.2.1)式，很容易得到FT和ZT之间的关系， 用下式表示：,(2.

14、5.4),式中z=e j表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆。 (2.5.4)式表明单位圆上？的Z变换就是序列的傅里叶变 换。 如果已知序列的Z变换，可用(2.5.4)式，很方便的 求出序列的FT， 条件是收敛域中包含单位圆。 例 2.5.1 x(n)=u(n)， 求其Z变换。 解： X(z)存在的条件是|z-1|1，,|z|1,X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变换不存在，更不能用式(2.5.4) 求它的FT。 该例同时说明一个序列的傅里叶变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的。,2.5.2 序列特性对收敛域的影响 序

15、列的特性决定其Z变换收敛域， 了解序列特性与收敛的基本关系， 对使用Z变换是很有帮助的。 1. 有限长序列 其它 其Z变换为,设x(n)为有界序列， 由于是有限项求和， 除z=0与两点ZT是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均收敛。具体情况具体分析： 当n1 0时， 0 0时， 0z 。,例 2.5.2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域 解： 由结果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点， 极点和零点对消，所以 X(z)在单位圆上仍存在， 求RN(n)的FT， 可将z=ej代入X(z)得到。,2. 右序列 右序列是在nn1时， 序

16、列值不全为零， 而在nn1时， 序列值全为零的序列。它的Z变换为 第一项为有限长序列， 设n1-1， 其收敛域为0|z|。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-|z|， Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与， 其收敛域为Rx- |z|。 如果是因果序列， 收敛域为Rx- |z|。,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解： 在收敛域中必须满足|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2时， 序列值不全为零， 而在nn2， 序列值全为零的序列。 左序列的Z变换表示为 如果n20， 则收敛域为0|z| Rx+ 。,2.5.3 逆Z变换的定义 已知序列的Z变换及其

17、收敛域， 求序列称为逆Z变换。 序列的Z变换和逆Z变换表示如下： 逆变换的求法 留数法 长除法 部份分式法,(2.5.5),1. 长除法 按照Z变换定义(2.5.1)式， 可以用长除法将X(z)写成幂级数形式， 级数的系数就是序列x(n)。 要说明的是， 如果x(n)是右序列， 级数应是负幂级数； 如x(n)是左序列， 级数则是正幂级数。 例 2.5.8 已知 用长除法求其逆Z变换x(n)。 解 由收敛域判定这是一个右序列， 用长除法将其展开成负幂级数。,因为 所以 最后得,1-az-1,例 2.5.9 已知 ，求其逆Z变换x(n)。 解：由收敛域判定x(n)是左序列，用长除法将X(z)展成正

18、幂级数 -az-1+1,所以 2. 部分分式展开法 对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。 设Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式,(2.5.11),(2.5.12),求出Am系数(m=0,1,2,N)后，利用变换对 很容易求得x(n)序列。,例2.5.10 已知 ，求逆Z变换。 解： 因为收敛域为22。第二部分极点z=-3，收敛域应取|z|3。根据前面两个公式得到 x(n)=2nu(n)+(-3)

19、nu(-n-1),题14的MATLAB答案： clear,format compact %格式紧凑 syms x n %说明x和n是符号 x=2(-n) X=ztrans(x) %对序列做单边z变换 pretty(X) %使公式更好看 题18（2）的MATLAB提示： z=iztrans(Z) %对序列做单边z反变换,2.5.4 Z 变换的性质和定理 1. ZT的移位 设 X(z)=ZTx(n), Rx-|z|R x+ 则 ZTx(n-n0)=z-n0X(z), R x-|z|R x+ (2.5.16) 2. ZT的卷积定理 设 则 W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。,例2.

20、5.11 已知网络的单位取样响应h(n)=anu(n), |a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n)。 解：求y(n)=h(n)*x(n)可用两种方法， （1）直接求解线性卷积 m0， n-m0 n0,(2) 用Z变换法 用部份分式法,2.5.5 用Z变换表示差分方程 这种方法可以将差分方程变成代数方程，使求解过程简 单。设N阶线性常系数差方程为 1.求稳态解 如果输入序列x(n)是在n=0以前时加上的，n时 刻的y(n)是稳态解，对(2.5.30)式求Z变换，得到 用ZT的移位性质,(2.5.30),移项后得 令 则 所以,2. 求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必

21、须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，已知初始条件y(-1),y(-2)y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。 设 则,令p=n-k，则上式可以变成 按照(2.5.33)式对(2.5.30)式进行单边Z变换，有 零状态响应 零输入响应,(2.5.33),(2.5.34),例2.5.13 已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n)，y(-1)=2，求y(n)。 解：将已知差分方程进行Z变换,式中，,于是,收敛域

22、为|z|max(|a|,|b|)，,式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。,2.6 利用Z变换分析信号和系统 的频域特性,2.6.1 传输函数与系统函数 传输函数表示系统的频谱。它是系统的单位脉冲响应h(n)的傅里叶变换H(e j)：,(2.6.1),系统函数表示系统的结构。它是系统的单位脉冲响应h(n)的Z变换H(z)：对N阶差分方程(1.4.2)式进行Z变换，可以得到系统函数的一般表示式,(2.6.2),如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e j)与 H(z)之间关系如下式：,(2.6.3),2.6.2 系统函数的极点影响因果性和稳定性 因果(可实现)系统的单位脉响应h(n)一

23、定满足当n0时，h(n)=0；所以其系统函数H(z)的收敛域一定包含点。因果系统的极点只能在某个圆的圆内，收敛域在这个圆外。 系统稳定要求 ，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆？。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|， 0r1,例2.6.1 已知 ，请分析其因果性和稳定性。 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1， 。 (1) 如果收敛域a-1|z|，对应的系统是因果不稳定的，因为系统的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n) ，是一个因果序列，但不收敛。 (2) 如果收敛域0|z|a，对应的系统是非因果不稳定的，因为系统

24、的收敛域不包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，是一个非因果序列，而且不收敛。,(3) 如果收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果稳定的，因为系统的收敛域包含单位圆。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，是一个非因果序列，但是收敛的，如图2.6.1(a)所示。,图2.6.1 例2.6.1图示,2.6.3 系统函数的零极点影响频率特性 如果对(2.6.2)式因式分解，可以得到 式中A=b0/a0，cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，零点cr和极点dr影响系统的频率特性。让我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。,(2.

25、6.4),将(2.6.4)式分子分母同乘以z N+M，得到 如果系统稳定，则可以将z=e j带入上式，得到传输函数 （2.6.6） 开动脑筋，在z平面上用矢量表示传输函数的分子分母，可以吗？如图2.6.2所示，,图2.6.2 频响的几何表示法,分子 称为零点矢量 ，分母 称为极点矢量，将它们用极坐标表，即 并带入（2.6.6）式得到 假想B点在单位圆上转一圈，按照(2.6.8)式(2.6.9)式，很好估算系统的幅度特性和相位特性。,(2.6.8),(2.6.9),例2.6.3 设一阶系统的差分方程为 y(n)=by(n-1)+x(n) 用几何法分析其幅度特性。 解：由系统差分方程得到系统函数为

26、 系统极点z=b，零点z=0，当B点从=0逆时旋转时，在=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在=时形成波谷。z=0的零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图2.6.4所示。,图2.6.4 例2.6.3插图,例2.6.4 已知H(z)=1-z-8，试定性地画出系统的幅频特性。 解：因为 H(z)的极点为z=0，这是一个8阶极点，它不影响系统的 频响。零点有8个，由分子多项式的根决定 z8-1=0，z8=ej2k z=ej2k，k=0，1，7 系统的极零点分布和幅频特性如图2.6.5所示。,图2.6.5 梳状滤波器的极零点分布及幅度特性,习题21（1）、24,MATLAB的提示： 画零极点图zp

27、lane(b,a)， 计算幅频特性H,w=freqz(b,a),clear,close all %实验（1） n=0:49;a=50*sqrt(2)*pi;w=linspace(0,2*pi); T=1/1000,1/300,1/200; for l=1:3 x=444.128*exp(-a*n*T(l).*sin(a*n*T(l); X=x*exp(-j*n*w);subplot(3,2,2*l-1),stem(n,x,.); subplot(1,2,2),plot(w,abs(X);hold on,pause, end,clear,close all %实验（2） n=0:49;w=lin

28、space(0,2*pi);xb=n=0; hb=n=0+2.5*n-1=0+2.5*n-2=0+n-3=0; Xb=xb*exp(-j*n*w);Hb=hb*exp(-j*n*w); y=conv(xb,hb);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w); subplot(3,2,1),stem(n,xb,.);subplot(3,2,2),plot(w,abs(Xb); subplot(3,2,3),stem(n,hb,.);subplot(3,2,4),plot(w,abs(Hb); subplot(3,2,5),stem(y,.);subplot(3,2,6),plot( w,abs

29、(Y);,clear,close all n=0:49;w=linspace(0,2*pi); xc=n=0-n-10=0;ha=xc; Xc=xc*exp(-j*n*w);Ha=ha*exp(-j*n*w); y=conv(xc,ha);m=0:98;Y=y*exp(-j*m*w); %说明归一化角频率 subplot(3,2,1),stem(n,xc,.);subplot(3,2,2),plot(w/2/pi,abs(Xc); subplot(3,2,3),stem(n,ha,.);subplot(3,2,4),plot(w/2/pi,abs(Ha); subplot(3,2,5),ste

30、m(y,.);subplot(3,2,6),plot( w/2/pi,abs(Y);,clear,close all；%实验（3） n=0:49;T=1/1000; xa=exp(-0.4*n).*sin(2.0734*n); hb=n=0+2.5*n-1=0+2.5*n-2=0+n-3=0; y=conv(xa,hb); w=linspace(0,2*pi);m=0:98; Y=y*exp(-j*m*w); Xa=xa*exp(-j*n*w);Hb=hb*exp(-j*n*w);Y1=Xa.*Hb; subplot(3,2,1),stem(n,xa,.);subplot(3,2,3),stem(n,hb,.); subplot(3,2,5),stem(y,.); subplot(1,2,2),plot(w,abs(Y),r,w,abs(Y1),:g); max=max(abs(Y-Y1),