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1、第一章 非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡 第二节 阻尼振子 第三节 相图方法 第四节 受迫振荡,非线性振动初步,第一节 无阻尼单摆的自由振荡 1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,由牛顿第二定律： 非线性方程 式中角频率：,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,数学表达式,线性化处理 忽略3次以上的高次项 得线性方程,数学表达式,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,令 代入方程得得特征方程： 特征根： 得通解为： 式中 为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 必须满足条件： 将 写成指数形式后得： 该式是振幅为P，角频率为 的
2、简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。,数学表达式,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,使 得： 一次积分后： 式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 看作为两个变量，则方程是一个圆周方程，圆的半径为 ，振动过程是一个代表点沿圆周转动。,相图,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,1 小角度无阻尼单摆 椭圆点,相图,相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。 能量方程 右
3、边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 ，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E 0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆或椭圆。 同一圆周或椭圆上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为椭圆点。,周期与摆角无关？ 看看实验结果： 定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形,单摆周期,2 任意角度无阻尼单摆振
4、动 双曲点,对方程 乘以 后积分 其中 积分 设t = 0时， ，周期为 T，在 时应有 ，故有： 最后得：,单摆周期数学表达式,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,在倒立附近，取对铅垂的偏角f 表示摆角， 代入单摆方程 得方程 利用 得方程 积分得双曲方程： 当E0时有 这是在 处的双曲线的渐近线， 这点称为双曲奇点，也称鞍点。 相图上这点为的 点。,2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点,单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,基本方程 若取 后积分得 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能 势能曲线是余弦函数,势能曲线,1.坐标原点
5、 附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点 为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从 到 或相反的连线为分界线 在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动,单摆完整相图,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,相图横坐标是以2p为周期的， 摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G点重迭一起 时，就把相平面卷缩成一个柱 面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线 是柱面上的相轨线的展开图。,柱面上的单摆相轨线,3 无阻尼单摆的相图与势能曲线,第二节 阻尼振子 1 阻尼单摆 不动点
6、 2 无驱杜芬方程 3 非线性阻尼 范德玻耳方程,1. 阻尼单摆 不动点,无阻尼时： 设阻尼力与摆的速度成 正比： 取 得： 如果满足 就有：,数学表达式,设解为 得特征方程 l 为待定常数，特征方程解： 故有： 通解为 最后有：,小摆角阻尼单摆的解,1. 阻尼单摆 不动点,对阻尼单摆解 微分 坐标从 变换到u,v 式中 消去时间 t 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在u,v平面上是向内旋转的对数螺旋线簇。在 平面内也与此类似。 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向坐标原点，原点为“吸引子”，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动点。,相轨线 吸引子,1. 阻尼单摆
7、 不动点,1.整相平面被通过鞍点G与G的轨线分成三个区域。 2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似; 3.鞍点的位置仍在处，,任意摆角下的相图,1. 阻尼单摆 不动点,运动 从倒立开始往下摆，由于能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另一鞍点，分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向坐标原点。原点是该区域的不动点，是该区域吸引子。左右两个区域也有相应的吸引子，它们分别处在该图左( -2p )和右(+2p )两侧。,2. 杜芬方程,数学上将含有 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为： 实验中系数 由磁铁的吸力调整。 弱磁吸力时 ， 强
8、磁吸力时 。 例：弱非线性单摆属Duffing方程： 取： 得：,杜芬方程,研究无驱无阻尼杜芬方程： （ ， ， ） 积分得： 由系统能量 得： 讨论：由 知： 1. 当 时有一个平衡点： 2. 当 时有三个平衡点： 3. 平衡点 为两个能量最小点,势能曲线,2. 杜芬方程,相图,2. 杜芬方程,从杜芬方程势能曲线，画出( ）平面上的相轨线。 1. 对于 ，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 处是椭圆点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。 3. 对于 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另两条离
9、开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同宿点。,相图,2. 杜芬方程,有阻尼： 1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。 2. ，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，原点是鞍点，坐标( )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。,阻尼方程相图,2. 杜芬方程,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,小角度单摆方程 阻尼项系数 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程： 阻尼项系数是 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。 它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程,非线性阻尼振子,单
10、摆运动与LC回路,范德玻耳方程解法,谐波线性化方法 将范德玻耳方程写为 仿照单摆方程的解，设范德玻耳方程的解为： 两次微分 一起代入方程得： 令方程两边同次谐波项系数相等得：,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,范德玻耳方程解法,谐波线性化方法（续） 忽略方程 中的三次谐波项。因为： 就有： 就可将范德玻耳方程化为线性化方程： 其解为,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,方程解的讨论,线性化方程范德玻耳方程解 其衰减系数 与频率 与振幅相关，由此得： 1.当 ， 系统作衰减振动，振动频率 ； 2.当 ， 系统作增幅振动，振动频率 ； 3.当 时，系统作等幅振动，振动频率 ； 4.整体上只要初振幅不
11、等于零，振动总是趋向于稳定幅值。,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,当 时，系统作增幅振动，初 始相点从内向外趋近于极限环； 当 时，系统作减幅振动，初 始相点从外向内逼近于极限环；,范德玻耳方程相图,方程解 的结论是振动趋于一个定常振幅的周期振荡。在相平面上是一条闭合轨线，称为极限环。极限环是另一类吸引子，它将环内与环外的相点吸引到环上。,3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程,时的相轨线,1. 相轨线 2.平衡点的类型及其稳定性,第三节 相图方法,由单摆基本方程 引进变数y：一个二阶方程改用两个一阶微分方程来描写： 利用第二式可得单摆相轨线方程 积分得单摆的椭圆轨线方程：,单摆,1 相图方法,一
12、个非线性微分方程： 引进变数 y 后有 或更一般的形式 得相轨线方程：,一般情况,1 相图方法,系统的平衡点从下面推出： 一般的形式平衡点坐标：,系统的平衡点,2 平衡点的类型及其稳定性,对平衡点的邻域进行泰勒展开 引进新变数：,平衡点附近的轨线方程,2 平衡点的类型及其稳定性,得新方程： 式中 研究平衡点的邻域的相轨线，可以忽略高阶项，得线性方程组,研究平衡点的邻域线性方程组 微分 代入 得二阶线性方程： 通过求解这方程得各种平衡点类型,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点附近的轨线方程,方程 代入 特征方程 引入符号 特征方程解： 由特征方程得： 参数l取值不同,给出不同类型平衡点.,特征方
13、程解的简化： 由于每个变量 X ,Y 中包含了两个参数 l ，看不清平衡点的性质，于是进行坐标变换： 在新坐标中有： 其解分别只与一个参数有关：,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点附近的轨线方程,平衡点类型, 结点 特征根式 的根号中 ，则解 为两个同号实根，其平衡点称为结点。结点有稳定与不稳定之分 如果 ，结点为稳定的。 如果 ，结点为不稳定。,2 平衡点的类型及其稳定性, 鞍点 特征根式 根号中 ，解 为异号实根。相轨线为双曲线，奇点为不稳定的鞍点。有四条流线通过鞍点，其两条流向鞍点是稳定的，另外流离鞍点的两条是不稳定的。 “鞍点”源于对该点特性形象描述，指马鞍中心点， 是沿马脊梁的最低点
14、。流向鞍点是两条稳定流线，但任何微小偏离将使其沿马背的左或右边滑走。,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型, 焦点 特征根式 根号中 ，解 为两个虚根。 如阻尼单摆那样，相轨线是对数螺旋线，系统的平衡点为焦点。 当实部为负值时，与阻尼单摆相同，平衡点是螺旋线簇的渐近点。 当实部为正值时，相轨线从平衡点发散开来，焦点是不稳定的。,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型,2 平衡点的类型及其稳定性,平衡点类型, 中心点 如果 ，且两个虚根的实部 等于零。螺旋线矢径不随时间变化，围绕平衡点是封闭曲线族。平衡点是轨线族的中心，称为“中心点”。 封闭椭圆曲线代表作周期运动。根据虚部的正负不同，相轨线上的相点可以是顺时或逆时方向转动。 根据稳定性定义，周期运动满足稳定性条件，中心点是稳定平衡点。,p,q 平面上奇点分布,p,q 平面 在平面下半部分， ,这个区域内的奇点是鞍点 平面上半部，由抛物线 分为四个区.,2 平衡点的类型及其稳定性,第一象限由抛物线划分成不稳定的结点 (p24q) 与不稳定的焦点 (p24q) 两个区； 在正q 轴上, p = 0, l是纯虚数,平 衡点是中心点,附近是椭圆轨线。,