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1、第四章 随机变量的数字特征,数学期望及其性质,方差及其性质,协方差和相关系数及其性质,矩和协方差矩阵,第一节 数学期望,随机变量函数的数学期望计算公式,数学期望的概念,数学期望的性质,常见随机变量的数学期望,试问哪个人的射击水平较高？,【分析】甲乙的平均环数可求得：,因此，甲的射击水平要比乙的好。,X 为甲所得环数,Y 为乙所得环数,本质上，离散型随机变量的数学期望其形式为求和；,简称期望或均值，记为 E(X).,即,难 点：随机变量 X 可能取值为可列无限多时；,一、数学期望的概念,为了刻画随机变量的均值，我们引入数学期望.,本质上，连续型随机变量的数学期望其形式为积分；,难 点: 数学期望
2、涉及积分，熟练积分的计算。,即,事实上，离散型随机变量函数的数学期望即为函数取值,与概率的乘积和；,注：上述4个定义为一维随机变量或是函数的数学期望。, 设( X , Y )为离散型随机变量，其联合分布律为,则 Z 的数学期望为, 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f (x,y),则 Z 的数学期望为,【解】,求,1.利用公式法求解随机变量或函数的期望,典型例题分析,【解】,设Y 是完成该任务所获奖金数，则,Y 可能取值为10000,1000,-5000；,从而 Y 的分布律为,0.5,10000,0.0013,-5000,0.4987,1000,已求出:,【解】,【解】,则,随机变量X的分
3、布律为,随机变量 Y 的分布律为,另解令 Z = XY，可能取值为,【解】,【解】,注：,二、几种常用分布的期望,(1) 0-1分布,(2) 二项分布,(3) 泊松分布,(4) 几何分布,(5) 超几何分布,1.常见离散型随机变量的期望,2.常见连续型随机变量的期望,(1)均匀分布,(2)指数分布,(3)正态分布,典型例题分析,2.常见随机变量的期望,【解】,其中,由题意可知，,所以：,【解】,且,由题意可知，,所以：,【解】,由题意可知，,所以：,1. 设 C 是常数，则E(C)=C;,2. 若 C 是常数，则E(CX )=CE(X );,3.,三、数学期望的性质,4. 设X与Y独立，则 E
4、(XY )=E(X )E(Y );,证明: 设,（当Xi 独立时）,注意:该性质不是充要条件。,推广：,例9、,任意掷5颗骰子，X5颗骰子出现的点数之和,求E(X).,【解】,典型例题分析,3.利用性质法求解期望,例10、二项分布,【解】,则,而,，则,所以,，求E(X)。,X表示n重伯努利试验中成功的次数.,注意：分割随机变量的原则。,【解】,则,0,1,例 12:,第二节 方 差,方差的性质,方差的定义和计算公式,常见分布的方差,一、方差的定义,注：,方差实际上就是X的函数 g (X)=X-E(X)2 的期望。,方差反映了随机变量的取值与平均值的偏离程度。,证明：,推论：,常用计算公式：,
5、【解】,典型例题分析,1.已知概率分布求解方差,【解】,方法一,同理可得,所以：,【解】,方法二：先求出边缘概率密度，,同理可得,所以：,再求方差.,【提示】,令,二、几种常用分布的方差,(1) 0-1分布,(2) 二项分布,(3) 泊松分布,(4) 几何分布,(5) 超几何分布,1.常见离散型随机变量的方差,2.常见连续型随机变量的方差,(1)均匀分布,(2)指数分布,(3)正态分布,【解】由题意可知,1.设C是常数,则D(C) =0 ;,2.若C是常数,则 D(CX )=C 2D(X );,3. 若X与Y 独立，则,三、方差的性质,证,注：,这条性质同样不是一个充要条件。,推广：若X1,X
6、2, Xn 相互独立,则,4、D(X )=0,【解】设 X 的分布律为,所以,【解 】 Z 为正态随机变量的线性组合，所以仍然服从正,态分布，且其参数为,故,Z N(-7,5),第三节 协方差和相关系数,协方差和相关系数的定义,协方差的性质,相关系数的性质,1、定义 设二维随机变量,则称它为X与Y的协方差，,即,称,为随机变量X与Y的相关系数。,若,存在，,一、协方差和相关系数的定义,记为,2、常用计算公式,证:,1、,为常数,3、,2、,二、协方差的性质,证：,三、相关系数的性质,1),2),的充要条件是X与Y以概率1成线性关系,即,定理1 设随机变量X和Y,的相关系数存在，则,说明：,，X
7、 与Y 的线性关系越显著；,，X 与Y 的线性关系越不显著；,2）,3）,4）,定义、相关系数,下列命题等价：,1）,【解】,典型例题分析,1.利用公式法求解协方差和相关系数,随机变量（X ,Y）的联合分布律为,【解】,Cov(X,Z)=2, D(X)=4, D(Z)=2,2.利用性质法求解协方差和相关系数,例3,将一枚硬币重复掷 n 次，以 分别表示,正面向上和反面向上的次数，求,的相关系数。,【解】,满足,故,独立,不相关,注：,例：,X N(0,1),证明X与Y不相关。,证：,= 0,X与Y不相关。,但是，显然，X与Y 不是相互独立的。,不相关： X 与Y 之间没有线性关系，并不表示它们之,间没有任何关系。,独立： X 与Y 之间没有任何关系。,【解】 先求关于X 和Y 的边缘概率密度,因为,X 和 Y 不相互独立。,3.讨论独立性与不相关性, 求X 和Y 的相关系数,所以,故X 和 Y 不相关。,= 0.,特例,独立,不相关,注：,第四节 矩和协方差矩阵,矩和协方差的定义,若,存在，称它为,矩：,协方差阵：,二维随机变量( X,Y ),记,为随机变量( X,Y )的协方差阵。,n维随机变量,说明：,所以C是一个对称矩阵。,2、对角线上元素就是,求(X,Y)的协方差阵C。,解：,第四章结束,请注意复习！,