概率论与数理统计.ppt

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1、概率论与数理统计,主讲：,第一章 随机事件及其概率,1.2 随机事件的概率及性质,1.3 概率的计算,1.4 事件的独立性,1.5 独立事件概型,1.1 随机事件及其运算,1.1.1 随机事件,手拿一枚硬币，松开手，硬币向下落。,种瓜得瓜，种豆得豆。,太阳每天从东方升起。,硬币落下时哪一面向上？,瓜长多大，豆结多少？,日出时是否有云雾遮挡？,结果唯一,确定性现象,结果不唯一,不确定性现象 （随机现象）,概率统计的 研究内容,1.1.1 随机事件,投掷一枚硬币，观察结果。,分析：,此过程具备什么特点？,1. 相同条件下可以重复进行；,2. 无法预见出现那种结果；,3. 可以预见所有可能出现的结果

2、.,结果不唯一,称为随机试验， 用E表示,掷硬币可能出现,正面,反面,试验的基本结果,称为样本点，记作,全体样本点组成的集合，,称为样本空间，记作,1.1.1 随机事件,例1.1 写出下列试验的样本空间,样本点有可数无穷多个,投掷一枚硬币，观察结果。,，,掷一枚均匀对称的骰子， 观察向上一面的点数。,记录110报警台一天的报警次数。,将一枚均匀的硬币投掷两次， 观察两次出现正反面的情况。,将一枚均匀的硬币投掷两次， 观察正面出现的次数。,将一枚均匀的硬币投掷两次，观察内容不同样本空间也不相同.,对同一个随机试验. 样本空间不唯一，由观察内容决定。,1.1.1 随机事件,，,随机事件：,A=掷出

3、的点数大于3,随机现象的某些样本点组成的集合。,常用英文字母A，B，C表示.,B=掷出的点数为偶数,统称为随机事件，简称事件,几种特殊的 随机事件,基本事件：,由一个样本点构成的随机事件,在每次试验中必然发生的事件,在任何一次试验中都 不可能发生的事件,必然事件 ：,不可能事件 ：,如C=恰好掷出4点,如D=出现的点数小于7点,如F=出现的点数大于6点,1.1.2 事件的关系及运算,1. 事件的包含与相等,，,A发生必然导致B发生,事件B包含事件A：,记作,规定：对任意事件A，恒有,事件B与事件A相等：,记作,1.1.2 事件的关系及运算,2. 事件的和或并,，,事件A和事件B至少发生其一的事

4、件,和事件：,记作：,例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。,类似的可以得到n个事件的和事件：,显然：任一事件A，有,记A=取到的是3的倍数 =3，6，9,B=取到的是2的倍数=2，4，6，8,推广到可列多个事件的和事件：,1.1.2 事件的关系及运算,3. 事件的积或交,，,事件A和事件B同时发生的事件,积事件：,记作：,例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。,类似的可以得到n个事件的积事件：,显然：任一事件A，有,记A=取到的是3的倍数 =3，6，9,B=取到的是2的倍数=2，4，6，8,推广到可列多个事件的积事件：,1.1.2 事件的关系及运算,4. 事件的互斥,，,事件A和事件B不

5、能同时发生的事件.,互斥事件：,对于互斥的和事件,也可以记作,例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。,记C=取到的是3的倍数,D=取到的是4的倍偶数,C，D为互斥事件,若事件组中任意两个事件均互斥，则称该事件组两两互斥,例如，在同一随机试验中基本事件是两两互斥的,1.1.2 事件的关系及运算,5. 事件的互逆,，,互逆事件：,也称为对立事件,通常把A的逆事件记作,例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。,记E=取到的数大于5,取到的数小于等于5,1.1.2 事件的关系及运算,6. 事件的差,，,差事件：,显然有,例如，从1，2，9中任取一数，观察结果。,记E=取到的数大于5,事件A发生，而事

6、件B不发生.,记作：,F=取到的数小于8,E-F=8，9,1.1.2 事件的关系及运算,7. 事件的运算规律,交换律：,结合律：,分配律：,德-摩根律：,德-摩根律的推广：,1.1.2 事件的关系及运算,例1.2 设A、B、C表示3个事件，试以A、B、C 的运算来表示下列运算,（1）只有A发生； （2）A、B、C都发生； （3）A、B、C都不发生； （4）A、B、C至少有一个发生； （5）A、B、C恰有一个发生； （6）A、B、C不全发生,1.1.2 事件的关系及运算,（1）恰有一道工序出现次品； （2）至少有两道工序出现次品； （3）至少有一道工序出现次品； （4）加工的零件为次品； （5）

7、加工的零件为合格品,1.2 概率的定义,引例 已知粉笔盒中有10根粉笔，分白色和黄色两种颜色，问任取一根为白粉笔的可能性是多少？,思考：,问题一：取到白粉笔的可能性确定么？,粉笔盒中白粉笔的数量确定么？,确定但是未知！,所以取到白粉笔的可能性是确定、客观存在的，并能用数值描述.,我们把描述事件发生的可能性大小的数量值称为概率，所以事件的概率是确定的，客观存在的数值。,问题二：既然取到白粉笔的概率是确定的值，如何在白粉笔数量确定但未知的情况下计算？,1.2.1 概率的统计定义,频率的性质：,定义 设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值m/n为随机事件A在n次重复试验中发生的频率，记做

8、，即,（1）对如何事件A，,（2）,（3）设 是两两互斥的事件，则,1.2.1 概率的统计定义,试验次数不断增大,频率稳定在0.5附近,分析下表,频率的特点,（1）波动性,（2）稳定性,当试验次数n增大时， 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率。称为统计概率。,1.2.1 概率的统计定义,（1）对如何事件A，,（2）,（3）设 是两两互斥的事件，则,统计概率和频率具有相同的性质：,统计概率的优点：,直观，适用于未知情况，如白粉笔数量未知时可用统计概率计算.,统计概率的缺点：,需要进行大量重复试验，不便于实际应用； 统计概率不够严密，不精确，不便于理论应用.,1.2.1

9、 概率的统计定义,一般地，我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型,1. 古典概型,（1）有限性 ：,试验的样本空间中的元素只有有限个,（2）等可能性 ：,试验中的每个基本事件发生的可能性相同,2. 概率的古典定义,定义 设随机试验E是含有n个基本事件的古典概型随机试验， 事件A包含m个基本事件，则,则称 P(A)为事件A的古典概率.,1.2.2 概率的古典定义,例2.1 抛掷一枚均匀的骰子，观察朝上一面的点数 设事件A=出现的点数为偶数，计算P(A).,分析：,（1）试验是否满足古典概型（有限性，等可能性）,（2）确定m和n,1.2.2 概率的古典定义,例2.2 把一枚均匀的硬币连续抛

10、掷两次设事件 A=出现两个正面 ，B=出现两个相同的面，试求P(A)，P(B).,思考：,如此计算是否正确？为什么？,样本空间 虽满足有限性但不满足等可能性。,则样本空间 既满足有限性也满足等可能性。,注意：对同一个随机试验样本空间并不唯一，只有当样本空间满足有限性和等可能性时才能应用古典概率计算。所以在用古典概率计算时要选择恰当的样本空间。,1.2.2 概率的古典定义,例2.3 一批产品共10件,其中6件正品,4件次品,求下列事件的概率。,从中任取五件，恰有两件次品,从中依次取五件恰有两件次品,从中有放回地连取三件都是正品,思考 的概率相等是否巧合？,1.2.2 概率的古典定义,例2.3的推

11、广 一批产品共N件,其中M件次品,N-M件正品,从中取出n个，记A=取出 的n件产品中有m件次品 ，计算下列四种抽样方式下的P(A).,（1）任取,（2）无放回取,（3）依次取,（4）有放回取,P(A) 相 同,1.2.3 概率的公理化定义,1. 概率的公理化定义,定义 设E是随机试验， 是它的样本空间.对于E中的每一事件A，赋予一实数P(A)与之对应，若集合函数P(.)满足条件：,（1）非负性：,（2）规范性：,（3）可列可加性：,设可列个事件 是两两互斥的，则有,则称 P(A)为事件A的概率.,1.2.3 概率的公理化定义,2. 概率的性质,性质1：,性质2：,若事件组 是两两互斥的，则有

12、,性质3：,性质4：,1.2.3 概率的公理化定义,性质4：,由性质2有,所以,特别地，若,1.2.3 概率的公理化定义,2. 概率的性质,性质1：,性质2：,若事件组 是两两互斥的，则有,性质3：,性质4：,性质5：,1.2.3 概率的公理化定义,性质5：,由性质4,推广到三个事件A,B,C,1.2.3 概率的公理化定义,例2.4 从0，1，2，9十个数字中任取三个不同的数字，则“3个数学中不含0或5”的概率是多少？,分析：,设A=三个数字中不含0， B=三个数字中不含5,则 3个数学中不含0或5,易得,由性质5，得,1.3.1 条件概率,引例 施用两种不同药物杀灭害虫，结果如下表,条件概率

13、 在事件B出现的条件下，事件A出现的概率.记作,显然,现在假设被告知取出的虫子是死虫，那么这只虫子是经甲药物处理的概率是多大呢？,同样的方法可以得到,条件概率公式,1.3.1 条件概率,条件概率也满足概率的公理化定义中的三条性质：,（1）非负性：,（2）规范性：,（3）可列可加性：,一般地,1.3.1 条件概率,例3.1 设某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4， 问现年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？,解 ：,记A=这种动物活到20岁，B=这种动物活到25岁,显然,所以,解 ：,记A=第一次取到红球，B=第二次取到白球,计算可得,所以,例3.2 袋中有5个球，

14、其中3个红球2个白球现从袋中不放回的 连取两个，已知第一次取到红球，求第二次取到白球的概率.,解二： 在A发生的条件下，袋中还有4个球，其中2红2白，所以第二次取到白球即,1.3.2 乘法公式,条件概率,变形,乘法公式,乘法公式的推广,1.3.2 乘法公式,例3.3 一批产品共100件，其中次品10件，每次从中任取一件产品，取出的产品不再放回，求： （1）“第一次取得次品且第二次取得正品”的概率； （2）“第三次才取得正品”的概率,解：,第i次取得次品,（1）,（2）,1.3.3 全概率公式,引例,甲袋3个球,2白球,1红球,乙袋4个球,3白球,1红球,任取一袋,计算任取一球为白色的概率。,分

15、析,该球来自甲袋,该球来自乙袋,该球为白色的,易见,互斥,全概率公式,1.3.3 全概率公式,定义 事件组 满足：,（1） 两两互斥 ，且,（2）,则称 为样本空间的一个有限分割。,定理（全概率公式）,设 为样本空间的一个有限分割，则对任一事件B,称为全概率公式,1.3.3 全概率公式,例3.4 设在n（n1）张彩票中有1张奖券，甲乙两人依次每人摸一张彩票，分别求甲乙两人摸到奖券的概率,解：,设A=甲摸到奖券， B=乙摸到奖券,显然,因为,所以由全概率公式得：,说明购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的，这就是所谓的 “抽签公平性”,1.3.3 全概率公式,例3.5 一等麦种中混入2%的二

16、等麦种，1.5%的三等麦种，1%的四等麦种，一、二、三、四等麦种结50粒以上麦粒的麦穗的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50粒以上麦粒的概率,解：,设B=所结的穗含有50粒以上麦粒 ,所以由全概率公式得：,Ai=任取一粒麦粒为第i等麦种 ,为样本空间的有限分割,1.3.4 bayes公式,定理,称为逆概率公式，也称为Bayes公式,设 为样本空间的一个有限分割，则对任一事件B,称之为先验概率,称之为后验概率,例3.6 一等麦种中混入2%的二等麦种，1.5%的三等麦种，1%的四等麦种，一、二、三、四等麦种结50粒以上麦粒的麦穗的概率分别为0.5，0.15，0.

17、1，0.05，若已知取得的是所结的穗含有50粒以上麦粒，问它是一、二、三、四等麦种的概率分别是多少？,解：,设B=所结的穗含有50粒以上麦粒 ,由Bayes公式，有：,Ai=任取一粒麦粒为第i等麦种 ,为样本空间的有限分割,同理,1.3.4 bayes公式,练习 设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正一射手 用校正过的枪射击时，中靶概率为0.8；而用未校正过的枪射击时， 中靶概率为0.3今假定从8支枪中任取一支射击，求中靶的概率； 若结果已中靶，求所用枪为已校正过的概率,1.3.4 bayes公式,肇事车认定 一辆出租车涉及一起夜间肇事逃逸事故，在这个城市里，有绿色和蓝色两种出租车。其

18、中绿色的占85% ，蓝色的占15%。有一位目击者认定肇事的出租车是蓝色的。法庭在与出事当夜相同环境下测试目击者的可信度,并得出结论，在80%时间里,目击者能正确识别这两种颜色,20%的时间里不能(对两种颜色的识别率一致)。问肇事车是蓝色的概率大还是绿色的概率大？,1.3.4 bayes公式,思考,1.4.1 两个事件的独立性,事件A的发生与否对事件B发生的概率是有影响的,事件A的发生不影响事件B发生的可能性,事件B独立于事件A,定义,设A，B是任意两个事件，若,则称事件A与B相互独立，简称A与B独立。,可以证明：,若A与B相互独立,则 也相互独立。,1.4.1 两个事件的独立性,例4.1 设甲

19、乙两射手同时独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0.8，0.7，求在一次射击中目标被击中的概率,解：,设 甲命中目标 ， 乙命中目标 ,B=目标被击中,方法一,方法二,1.4.2 多个事件的独立性,定义,设有三个个事件A，B，C,满足这三个等式， 则称A,B,C两两独立,满足这四个等式，则称A,B,C相互独立,注意：A,B,C相互独立，则A,B,C两两独立，反之未必。,1.4.2 多个事件的独立性,思考 设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一四面体标有号码1，2，3，4记A=第一个四面体向下的一面出现偶数； B=第二个四面体向下的一面出现奇数；C= 两个四面体向下的一面或者同时出现奇数

20、，或者同时出现偶数试问是否相互独立？是否两两独立？,分析：,同样可得,所以,A,B,C两两独立,三个事件不是相互独立的,1.4.2 多个事件的独立性,例4.2 加工某一零件共需三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为：2%、3%、5%，假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？,解：,设 第i道工序出现次品,A=加工出来的零件是次品,1.5 独立事件概型,若随机试验E满足：,（1）只有两种结果,（2）在相同条件下试验可以重复进行n次，且结果互不影响,则称该n次试验为n重独立试验， 又称n重伯努利试验.,定理 设在一次试验中事件A发生的概率为p（0p1），则在n重独立试验中，

21、事件A恰好发生k次的概率为,1.5 独立事件概型,例5.1 在一批次品率为0.2的产品中，进行重复抽样检查，共取5个样品，求其中次品数为3，4的概率,解：,这是一个5重伯努利试验问题,1.5 独立事件概型,例5.2 设每次试验成功率为0.6，且任意两次试验之间相互独立， （1）问至少进行多少次试验，才能以99%的把握使试验成功？ （2）若进行3次试验，欲以99%把握使试验成功，问每次试验的成功率应该提高到多少？,解：,（1）设要进行n次试验，为n重独立试验,记A=次试验中至少有一次成功,解得,所以至少进行6次试验才能达到要求,（2）设每次试验成功率为p，n=3。此问题为3重独立试验,解得,所以每次试验的成功率至少要到达0.785才可。,1.5 独立事件概型,练习1 一个学生没有准备便去参加一次考试，他猜测全部10个是非题，至少猜对2个的概率是多少？,练习2 甲、乙两人进行乒乓球比赛，在比赛中，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可采用五局三胜制或七局四胜制，问哪一种赛制下甲胜的可能性大？,