概率论与数理统计书ppt课件.ppt

《概率论与数理统计书ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计书ppt课件.ppt（267页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、概 率 论 与 数 理 统 计,课程,2,CH1 随机事件与概率,1.1 随机试验 1.1.1 研究对象的分类 确定性问题 : 在一定的条件下，必然会发生的问题。比如：弹簧受到外力作用会发生形变，水从高处往低处流，同性电相斥、异性电相吸等。 （高等数学、线性代数等课程研究的对象）,3,不确定问题:研究对象的某种现象在出现之前我 们不知道它是否会发生。 例如：抛一枚硬币出现正面或背面现象 口袋里有红、黄、蓝三色球若干，随便取一球是红球这一现象，向某一目标打一发炮弹，是否击中目标等。 （我们这个课程研究的对象）,4,1.1.2 随机试验,试验：指对研究对象的观测，一次观测称为 一次试验。,随机试验

2、：指对随机现象的观测，一次 观测称为一次随机试验。比如：抛一次 硬币或一次抛多枚硬币，观测出现正面 的个数等。,5,（3）试验中一切可能出现的结果可以预先知 道。必然性（统计规律性）,随机试验必需满足：,（1）在相同条件下，试验可以重复进行。可重复性,（2）每次试验中可以出现不同的结果，而不 能预先知道发生哪种结果。偶然性,随机试验一般用字母E表示。,6,例1 一些随机试验的例子,口袋里分别有红、黄、蓝球3个， 每次从口袋中取2个球（有放回）。 连续向一个目标发射10法炮弹。 连续观察一周每天的下雨情况。 买彩票中奖，如此等等。,类似例子很多， 自己试着举一些,7,1.2 随机事件与样本空间,

3、基本事件 指随机试验中，其每一个可能出现 的结果。,样本空间 指基本事件的全体组成的集合 基本事件称为样本空间的点。,1.2.1 基本事件与样本空间,8,例2,投掷一枚骰子一次，有6个基本事件，即 点数：1 2 3 4 5 6。 该随机试验的样本空间为：,9,1.2 .2 随机事件,随机事件： 某些基本事件组成的集合。 又称为复合事件。 比如，例2中的点数不超过3点的集合。,10,几个特殊的随机事件,必然事件：每次试验中必然发生的事件， 记为。比如：例2中的点数小于等于6的集 合。 不可能事件：每次试验中不可能发生的事件， 记为。比如：例2中的点数大于6的集合。,11,1.2.3事件之间的关系

4、及其运算,必然事件包含了样本空间的所有点，不可能不包含样本空间的任何点。一般的事件存在着一些联系。 事件的包含关系,A,B,定义：若事件A发生必导致事件B发生，则称 事件B包含事件A。记为：B A或A B。 比如例2中，A：表示小于3点事件，B表示小于5点事件。）,12,事件相等,若事件 且 ，则称 事件A和事件B相等。 记为AB 。即：事件A与B所包 含的基本事件是一样的。,13,定义：若事件A发生或事件B发生，则称这样 的事件为并事件，记为：A B。,结论： ； 。,事件的并（或称和）,注：包括事件A与B 同时发生,A,B,14,例3,A=1，2，7，8，a,b,c, B=1,5,8，b,

5、e 则 AUB=1，2，5，7，8，a,b,c,e,15,定义：在试验中，事件A与事件B同时发生 的事件称为事件A与事件B的交（或积）， 记为AB（或AB）。,事件的交（积）,在例3中， AB=1，8，b,结论： ； 。 参考上图解释,16,逆事件 发生的属于样本空间，但不属于A的事件，称为A的逆事件，记为,。,A,在例2中，如果A=1，3，5， 则,17,事件的差 ：在试验中，事件A发生而事件B不发生的事件称为事件A与事件B的差。记为AB。,结论： 。,A,B,AB,在例3中，A-B=2,7,a,c,18,定义：在一次试验中，若事件A、B不能同时 发生，则称事件A、B为互不相容，记为： AB

6、 。否则称两事件相容。,结论：从基本事件说，互不相容事件没有公 有的基本事件。显然，在一次试验中，两个 基本事件不能同时发生，所以任何两个基本 事件都是互不相容事件。,事件的相容性,19,交换律：ABBA，ABBA 结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 分配律：(AB)C(AC)(BC) ， (AB)C(AC)(BC),事件的运算律,德摩根公式：,20,例4、在一个口袋里装有红、黄、白三种球， 每种球都不止一个，一次任取两个球，观察 它们的颜色。设A两个同色球，B至少 一个红色球，问AB由哪些基本事件组成？,解 用R表示红球，Y表示黄秋，W 表示白球则 ： A=RR，YY，WW

7、，B=RR，RY，RW AB=RR，RY，RW，YY，WW ,21,思考：设A、B、C为三个事件，试将下 列事件用A、B、C表示出来。 （1）三个事件都发生； （2）三个事件都不发生； （3）三个事件至少有一个发生； （4）A发生，B、C不发生； （5）A、B都发生，C不发生； （6）三个事件中至少有两个发生 （7）不多于一个事件发生 ； （8）不多于两个事件发生。,22,（2）若AB，则 ；,（3） ；,（4）若 ，则 ；,（5） ；,（6）若 ，则 ；,对,对,对,解决这类问题，最好的方法是用图示法！,23,（1）所有基本事件，构成一个互不相容的事 件组。 （2）所有基本事件的并是必然事件

8、。,基本事件的重要性质：,注意,24,1.3随机事件的概率,1.2.1事件的频率,频率：如果在n次重复随机试验中，事件A发 生了nA次，那么就称比值 fn(A)为事件A发生 的频率，其中 。,对任意随机试验E，频率具有性质：,25,26,1.3.1 概率的定义,（1）概率的统计定义,定义1：在同一组条件下所作的大量重复试验 中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的 常数 p 附近摆动，并且逐渐稳定于p，那末 数 p 就表示事件A发生的可能性大小，并称 它为事件A的概率，记作 。,27,（2）概率的公理化定义,定义2：设E是随机试验，是E的样本空间， 对于E的每一个事件A赋予一个实数值，记为 ，

9、称为事件A的概率，如果集合函数 满足下列条件：,28,（3）可列可加性：设事件 互不相容，则有：,这3条也是概率的三个基本性质，此外概率 还有一些其他性质：,29,30,概率的加法公式可推广到有限个事件的并的 情形。如：,1.已知 ，则 （A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。,例6,31,2、设 ，且 ，则 （ ）。,3、设A、B、C 为随机事件，且 ， ， 0.125，则A、B、C至少出现一个的概率是 。,32,特殊概型 等可能概型,等可能概型（古典概型）：如果一个随机试 验E具有如下的特征，则称为等可能概型。,（1）基本事件的全集是由有限个基本事件 组成的；,（2）每一个

10、基本事件在一次试验中发生的可 能性是相同的。,33,定义：在古典概型中，若样本空间包含的基 本事件总个数为n，其中事件A包含的基本事 件个数为m，则事件A的概率为,古典概型中概率的计算,一般方法：通过计算基本事件个数，计算概率。,34,例7、从1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数 字中，随机地取出3个数字，组成一个三位数， 求这个三位数为奇数的概率。,例8、连续三次抛一枚硬币，求恰好出现一次 正面的概率和恰好出现二次正面的概率。,对于初学者，可以用描述方法，求解类似问题。,35,例9、袋中有16个白球，4个红球，从中取出3 个，求至少有一个是红球的概率。,另解：对A的逆事件 有,注意有放回

11、取球与无放回取球的区别。,36,例10、 盒中有a个黑球，b个白球，从中有放 回的抽取n个球，求事件A：“刚好取到k个黑 球”的概率。,解：,例11、 12名运动员中有4名种子选手，现将运动员平均分成两组，问4名种子选手：（1）各有两人分在一组的概率；（2）分在同一组的概率。,（N个球中有k个黑球）,37,例10、一盒中含有N1个黑球，一个白球，每 次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球， 这样继续下去，求事件A：“第k次取到黑球” 的概率。,借助逆事件计算概率是概率计算中比较常用的方法。,38,解：显然，这是一个古典概型的问题，样本 空间的大小为 ；而要求概率的事件A所包 含的基本事件个数就

12、不容易计算了，但可考 虑其逆事件,39,例11、盒中有a个黑球，b个白球，把球随机 地一只只取出（不放回），求事件A：“第k （1 k ab）次取到黑球”的概率。,解：,另解：,有放回是有序行为，无放回是无序行为,表 明 前 k-1 次 是 从 a+b-1 个 球 中 取 出 的,40,1.4 条件概率,1.4.1条件概率,在实际问题中，除了要知道事件A的概率 外，有时还要考虑在“已知事件B发生”的条件 下，事件A发生的概率。一般情况下，两者的 概率是不相等的，为了区别所见，我们把后者 称为条件概率。,1-4,41,条件概率定义,定义：若A、B为同一随机试验的两个事 件，且 ，则 称在B发生条

13、 件下A发生的概率为事件A关于B的条件 概率，记 。,42,注意：条件概率也是概率。所以，它满足概率 的一切性质 。,如：,但 未必成立。,条件概率计算,A,AB,B,43,例12、设10件产品中有2件次品，8件正品。现 每次从中任取一件产品，且取后不放回，试求 下列事件的概率。 （1）前两次均取到正品 （2）第二次取到次品 （3）已知第一次取到次品，则第二次也取到 次品,44,解：,，,这显然是抽签的公平性，,（考虑样本空间的改变）,或者：,45,问题（3）也可考虑：,设A1：“第一次取到次品” A2：“第一次取到次品”,46,2. 概率的乘法定理,定理：两事件的积事件的概率等于其中一事件

14、的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概 率的乘积。即：,P(AB)=P(B)P(AB)P(A)P(BA),47,例13：某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而随意拨号，求 （1）拨号不超过3次而接通电话的概率。 （2）若已知电话号码的最后一个数字是奇数， 求拨号不超过3 次而接通电话的概率。,解：设A拨号不超过3次而接通电话， Ai第i次拨号时接通电话，i1,2,3。则：,48,且 是两两互不相容的。,（1）P(A)1/109/101/99/108/91/83/10 （2）P(A)1/54/51/44/53/41/33/5 。,49,3. 全概率公式、贝叶斯公式,50,设为随机试验E的样本

15、空间， 为样本空间的一个划分。则：,2、全概率公式,51,例14、设有编号1，2，3的3个盒子，分别有4，5，6个黑球，5，4，3 个白球，今任取一个盒子，再从盒子中任取一球（每一盒，每一球均等可能被取到），求事件A：“取出的球是白球”的概率。,解： 设事件： “此球属于第i个盒子”。 则由全概率公式得：,52,53,3 .贝叶斯公式,在上述例子中，我们知道事件A在各种原因 下发生的平均概率可以通过全概率公式求出。 但是，若在事件A已发生的条件下，求某个事件的概率，这个问题的解决，就要求助于贝叶斯公式了。,54,贝叶斯公式：,55,例15、在例14中，若已知从盒中取出的一球是 白球，问此球是来

16、自一号盒子的概率为多少？,解： 由前可知,56,例16、在数字通讯中，信号是由0和1组成的。 若发送的信号为0和1的概率分别为0.7和0.3； 由于随机干扰，当发送信号是0时，接收为0和 1的概率分别为0.8和0.2；当发送信号是1时， 接收为1和0的概率分别为0.9和0.1。求已知收 到的信号是0时，发送信号也为0（即没有错 误）的概率。,57,解：设事件 ：“发送信号为0”， 事件 ：“发送信号为1” ， 事件A：“接收信号为0”,由贝叶斯公式得：,58,例17、假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，根据 以往经验，患者用此法能被查出的概率为0.95， 非患者用此法被误诊的概率为0.1。假定人群

17、中肝癌的患病率为0.0004。现在若有一人被此 法诊断为肝癌，求此人真正患有肝癌的概率。,解：设事件A：“诊断为患有肝癌” 事件 ： “此人真正患有肝癌”， 事件 ：“此人未患肝癌”,59,由贝叶斯公式得：,60,1.5.1两个事件的独立性,定义:设事件A、B是某一随机试验的任意两个 事件，若满足 ，则称事件 A、B互相独立。,独立的性质：如果A、B相互独立，则有,1.5事件的独立性,1-5,独立性与不相容性是两个不同的概念,61,例18：在20个产品中有2个次品，从中接连抽两 个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个 产品，求 （1）已知第一次取得次品的情况下，第二次取 得次品的概率 （2）

18、第二次取得次品的概率。,解： 设事件A第一次抽到次品， 事件B第二次抽到次品，,62,（1）因是有放回的：P(B|A) ;,（2）因是有放回的：P(B)P(B|A),所以， P(B|A) P(B) 。,定理：若事件A与B相互独立，且 ， 则,63,希望大家能熟练地运用扩张定理,64,1.5.2多个事件的独立性,65,即使A、B、C两两互相独立，也不能 说明A、B、C互相独立。,注意,例19：如图所示，三个元件 a、b、c 安置在线路 中，各个元件发生故障是 相互独立的，且概率分别 为0.3、0.2、0.1，求该线 路由于元件发生故障而中断的概率。,66,解： 设 A元件a发生故障 B元件b发生

19、故障 C元件c发生故障,D线路中断，则DA(BC),P(D)P(A)P(BC)P(ABC) P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 0.30.20.10.30.20.10.314,67,例20：假若每个人的血清中含有肝炎病毒的概 率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中 含有肝炎病毒的概率。,解：设Ai第i个人的血清中含有肝炎病毒， 可以认为它们是相互独立的。,68,例21、设 ， ，若 事件A与 B互斥，则 ；若 事件A与B独立，则 。,例21、设每门高射炮射击飞机的命中率为 0.4，现若干门高射炮同时独立地对飞机 进行一次射击，问欲以0.95的把握击中 飞机，至少需要多少

20、门高射炮？,69,贝努里试验：只有两个可能结果的试验 称为贝努里试验。,n次独立试验的特点： （1）每次试验的条件都相同，且只有 两个可能的结果。 （2）每次试验是相互独立的。 n 次独立试验又称为n重贝努里试验。,70,n重贝努里试验中概率的计算：,例10、某人投篮一次命中的概率是0.6，求 （1）他投篮5次命中4次的概率； （2）他投篮5次至少命中3次的概率；,71,72,2-1 随机变量,为了能用变量、函数及微积分等工具来研究随 机现象，引进了概率论中的另一重要概念 随机变量。,2.1.1随机变量,2-1 随机变量,2.1随机变量,CH2,73,有些随机现象的基本事件，虽然不表现为数量，

21、 但仍可以通过人为地规定使它们数量化，使这 个随机现象的结果能用变量来表示。如：掷一 枚硬币，观察正反面的情况，e1=正面向上， e2=反面向上。引进变量，规定： e1=0，e2=1，也将其基本事件和实数 对应了起来。,74,定义：设E是一个随机试验， 是其样 本空间，如果对每一个 ，有唯一的实 数X与之对应，我们就称X是E的一个随机变量。,75,随机变量也经常用希腊字母、 等表示。,随机变量的可取值范围是基本事件的全集所 对应的实数范围。,引进随机变量后，随机事件可以用随机变量在 实数轴上某一个集合中取的值来表示，所以， 研究随机事件的概率就转化为研究随机变量取 值的概率。,76,2.2 离

22、散型随机变量,离散型随机变量：随机变量的可取值范围，有 的可以排列出来，有的不能排列出来。把可取 值能按一定的次序一一列举出来的随机变量称 为离散型随机变量。,2.2.1离散型随机变量的分布列,77,定义：如果随机变量的可取值为 且P(X=x1)p1、P(X=x2)p2、P(X=xn)pn 则称P(X=xk)pk为离散型随机变量X的概率分 布列，简称分布列或分布律。,78,3. 离散型随机变量的分布列的性质,反之，若数列 满足这两条性质，则一 定是某一离散型随机变量的分布列。,79,例1、一射手对某一目标进行射击，一次击中 的概率为0.8 （1） 求一次射击的分布列； （2） 求到击中目标为止

23、所需的射击次数的 分布列。,解（1） 设X=0击不中目标， X=1击中目标，则：,80,p1P(X=0)0.2 ，p2P(X=1)0.8 且 p1p21， 所以分布列为：,（2） 设射击到击中目标为止，射击的次数是 随机变量Y，则Y1,2,3,k,。,81,p1P(Y=1)0.8， p2P(Y=2)0.20.8， ， pkP(Y=k)0.2 k-10.8，,且,82,例2、把4个球任意的放到3个盒子中，令X表示 落到第 1个盒中球的个数，求X的分布列。,分析：4个球任意的放到3个盒子中，落到第1 个盒中球的个数可能取0、1、2、3、4 这5个 数值。4个球放到3个盒子中有34种放法， 表示有

24、k 个球落到第1个盒中，这 k 个球有 种取法，其余的4k个球任意放到2，3两个 盒中有 种放法，所以：,83,84,解：所有这类问题都需要用分布律的性质解决,所以，,85,解：,86,对随机变量而言，除了要研究其分布列以外， 还要研究其分布函数 。根据上一节的内 容可得离散型随机变量X的分布函数为,从几何上来看，这个函数的图像应是阶梯型,87,例5、 求例2中的随机变量X的分布函数。,离散型随机变量的分布函数都是阶梯型的， 也就是说函数是分段函数，X有5个取值点，分 布函数就有6段。,88,89,2.2.2 常见的离散型随机变量,（1）（01）分布：设随机变量X只可能取0和 1两个数值，它的

25、分布为,其中 ，则称 X 服从（01）分布。,90,（2）二项分布：（贝努里试验）若随机变量X 的分布律为 其中 ，则称X服从参数为n，p的二项分 布，记为 ，当 时，就是（0-1） 分布。,91,例6、为了保证设备正常工作，需配备适量的 维修工人。现有同类设备300台，各台工作是 相互独立的，发生故障的概率为0.001，在通常 情况下，一台设备的故障由一个工人来处理。 问至少要配备多少工人，才能保证设备发生故 障后但不能及时维修的概率小于0.01？,92,解：设需要配备N名工人。记同一时刻发生故 障的设备数为X，则 。问题 的实质是求最小的N，使,查表得: N+1=3,即N=2。,因此，为满

26、足要求，至少需配备2名工人。,93,（3）泊松（Poisson）分布：设随机变量X可能 取的一切值为0，1，2，而取各个值的概率 为 。其中 ， 是常数，则称X服从参数为的泊松（Poisson） 分布，记为 XP（ ）。,（4）超几何分布：若X的分布律为,94,以上是几种常见的离散型随机分布，要求同学们必须掌握。,95,2.3.1 概念,如果随机变量的取值能充满实数轴上的某个 区间，甚至于整个实数轴。这样的随机变量 称为连续型随机变量。,2.3 连续型随机变量,96,定义：设随机变量 X 的分布函数为 。若 存在非负可积函数 ，使得对于任一实数 x 有 则称 X 是连续型随机变量，其中函数 称

27、 为 X 的概率密度函数，简称为概率密度。,97,一个重要等式,连续型随机变量取值的概率规律完全由其概率密度所决定。,2.3.2 连续型随机变量性质,98,任何一个函数 满足了（1）（2）， 则由定义的 也一定是某个连 续型随机变量的分布函数。,99,例1：设连续型随机变量X的概率密度函数 为： ， x +，求常 数C。,解：由概率密度函数的性质知,这类问题是概率统计中最基本问题，必须掌握。,100,101,解：由分布函数的性质（3）可知， 在 处是连续的，所以在 处其左、右 极限都应该是1，因此A1。,102,显然,而,103,我们还可以看 ，,它们也都满足概率密度函数的性质，所以，本 题的

28、密度函数也可以取为 或 。,已知分布函数，密度函数可能不唯一。,104,一般的，同一个连续型随机变量X的概 率密度函数可以有许多，但它们除了在有限 个点或可数个点上不相等外，其它点都相等。 也即连续型随机变量X的概率密度函数是“几乎 处处”唯一的。,105,解：由 可得,106,107,连续型随机变量X而言，概率为0的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也未必是必然事件。,在计算连续型随机变量X在某一区间内的概率时，可以不必区分是开区间还是其它类型的区间，它都等于概率密度函数在此区间上的定积分。,108,2.3.3 几个重要的连续型随机变量,1、均匀分布,109,均匀分布的分布函数,110,例

29、4、设随机变量K ，求方程 有实根的概率。,解：K 的密度：,方程有实根，即,111,2、指数分布,若随机变量X具有密度：,其中， 是常数，则称 X 服从参数为 的指数分布。记为：X 。 （指数分 布又常被称为寿命分布）,分布函数：,112,例5、某种电子元件寿命服从参数 （小时）的指数分布。问：5个这样的元件连 续使用了2000小时后恰有2个损坏的概率和没 有一只元件损坏的概率。,解：密度为：,113,一个元件的寿命大于2000小时的概率为,所以，2000小时后该元件损坏的概率为：,114,记Y为 5 个元件使用2000小时后损坏的个数， 则：,所以，2个元件损坏的概率,没有元件损坏的概率：

30、,115,指数分布的特性：无记忆性。 我们看下面的例子：,例6、某种电器元件的使用寿命X服从参数为 2000的指数分布（单位：小时） （1）任取一个元件，求能正常使用1000小时 以上的概率。 （2）求其正常使用1000小时后还能使用1000 小时的概率。,116,解：X的密度为,（1）,（2）,117,由本题可见，指数分布的无记忆性；其实， 不仅是指数分布有这样的性质，几还有其他分布也同样具有这样的性质。,118,3. 正态分布,如果连续型随机变量X的密度函数为： 其中、都是常数(0)， 则称X服从参数为、的正态分布，记 为：XN(,2) 。,119,正态曲线具有以下性质：,（1）曲线位于X

31、轴的上方，以直线x=为对 称轴，它向左向右对称地无限延伸，并且以 X轴为渐近线； （2）当x=时曲线处于最高点，当x向左右 远离时，曲线逐渐降低，整条曲线呈现“中 间高、两边低”的形状；,120,（3）参数决定了正态曲线的形状，愈 大，曲线愈“矮胖”(即分布愈分散)，愈小， 曲线愈“高瘦”(即分布愈集中于的附近)。,121,当0、1时的正态分布称为标准正态 分布，记为N(0,1)，其密度函数为：,分布函数为：,122,正态分布与标准正态分布的联系：,证：Y 的分布函数为,123,重要公式：,124,解：,这是个重要例子，必须会做。,125,（2）,（3）,126,127,例8、某科统考成绩近似

32、服从正态分布 在参加统考的人中，及格者 100人，（及格分数为60分）计算： （1）不及格人数。 （2）估计第10名的成绩。,解：（1）设考生的成绩为 X ，显然：,128,若参加考试人数是 n ，则有,129,（2）设第10名的成绩为 a 分，则,130,131,一般的,上 分位点可查表得到 例:,在其它一些书上,也有将上 分位点称为临 界点。,132,例9、测量某一目标的距离时，测量误差 X(cm)N(50,1002)，求： （1）测量误差的绝对值不超过150厘米的概 率。 （2）在三次测量中至少有一次误差的绝对 值不超过150厘米的概率。,133,解：,（2）由此可知，,3次测量中，3次

33、误差都超过150的概率P（A） 为,134,135,2.3.4随机变量函数的分布,本节通过几个例子来说明怎样求连续型随机变量函数的分布，这类问题是概率课程最基本的问题，必须熟练掌握。 一般提法：设随机变量X服从某种分布，求随 机变量X的函数g(X)的分布。,136,的分布。,离散型随机变量函数,例1 设随机变量X具有如下的概率分布,求随机变量,137,解 先确定随机变量Y的可能取值，根据随机变量X 的取值得到,138,的分布。,离散型随机变量函数,例2 设随机变量X具有如下的概率分布,求随机变量,139,解 先确定随机变量Y的可能取值，根据随机变量X 的取值得到,一般地，离散型随机变量的函数还

34、是离散型随机变量,140,连续型随机变量函数,例3 设随机变量X 的密度函数为 求随机变量Y=exp(X)的概率密度函数。,141,解 根据Y的表达式知 Y 非负。 对于这类问题解体思路是先求Y 的分布函数，再求密度函数。,142,求Y的密度函数 。,例4 已知 XN（0，1）， 解,143,性质定理,设X 是连续型随机变量，且具有密度函数 f（x).设y=g(x)是x的严格单调函数，且具有反函数，则随机变量Y=g(X)也是连续随机变量，其密度函数为,144,利用性质定理，再考虑例3的解得到,对于例4，则不能这样处理，因为严格单调的条件不满足,145,3.1二维随机变量及其分布 3.1.1 概

35、念,定义3.1：设 是随机试验 E 的样本空 间，X和Y是定义在 上的随机变量，由它们构 成的二维向量（X，Y）称为 E 的一个二维随机 变量。,31 多维随机变量及其分布,CH3 多维随机变量及其分布,146,定义3.2：设（X，Y）是二维随机变量，二元 函数 称为二维随 机变量（X，Y）的联合分布函数，或称为 （X，Y）的分布函数。,147,F（x,y)几何解释： 点落在 左下方阴影部分的概率,148,联合分布函数的性质：,（1）,149,150,151,如果，二维随机变量（X，Y）的一切可取值 为有限多对，或可列多对，则称（X，Y）为 二维离散型随机变量。,定义3.3：设二维离散型随机变

36、量（X，Y）所有 可能取得值为（xi ，yj），i，j1，2，则 称：,3.1.2 二维离散型随机变量,152,为（X，Y）的联合分布列，或称为（X，Y） 的分布列。,（X，Y）的分布列也可以用如下的表格表示：,153,例1（二维01分布）设一个袋中有2个黑球， 3个白球，从中任取2个球，X 表示第一次取出 的白球个数，Y 表示第二次取出的白球个数， 分别求出（1）有放回抽取，（2）不放回抽取 时,（X，Y）的分布律。,154,解：显然，（X，Y）可取值为 （1）有放回抽取,（2）不放回抽取,155,将它们用表格表示为：,156,例2、甲、乙两人独立地各进行两次射击，假 设甲的命中率为0.2，

37、乙的命中率为0.5，以 X 和 Y 表示甲和乙的命中次数，求 X 和 Y 的联 合分布列。,解：显然 XB(2, 0.2) , YB(2, 0.5)。因此， X和 Y的分布列分别为,157,由于 X、Y 独立，所以,所以，X、Y 的联合分布列为,158,3.1.3、二维连续型随机变量,定义3.4：设 是二维随机变量（X，Y） 的分布函数，若存在着非负可积函数 ， 使对一切的 有,159,则称（X，Y）是二维连续型随机变量，函数 称 为二维连续型随机变量的联合概率 密度函数。,160,（4）设 G 是 xoy 平面上的一个区域，点 落在G内的概率为：,161,解：由密度函数的性质得：,162,1

38、63,164,3.2 边缘分布,定义3.5：设 是（X，Y）的联合分布 函数，令,分别称为二维随机变量（X，Y）的边缘分布函数,3.2.1 边缘分布函数,165,3.2.2. 离散型二维随机变量的分布律,166,例1：在3.1.2例1中，分别求出（X，Y）关于 X 和 Y的边缘分布。,解：在3.1.2例1中，（1）有放回时，我们已求,出,167,168,（2）不放回时，我们已求出,169,170,3.2.3 连续型二维随机变量的边缘概率密度,定义3.5 设（X，Y）是二维随机变量，其联合密度函数为f(x,y),则边缘密度为,例2：求3.1.3例3的边缘分布,171,例3 设随机变量（X，Y）的

39、联合密度为 求边缘密度 。,172,解,x=1,y=x,综合得,173,3.3 条件分布,3.3.1 条件分布函数,174,175,3.3.2 离散型随机变量的条件分布律,设（X，Y）的联合分布律为,176,例1、向一目标进行独立射击，每次击中目标 的概率为 p，令 X 表示首次击中目标所需的 射击次数，Y 表示第二次击中目标所需的射 击次数，求（X，Y）的联合分布律和条件分 布律。,显然，（X，Y）可能取的一切值为,177,设每次击中目标记为事件 A，由于射击是独立 的，所以,第 i 个,第 j 个,178,由条件分布律的定义得：,179,180,3.3.3 连续型随机变量的条件密度,181

40、,同理可得：,182,例2、设二维随机变量（X，Y）在区域 上服从均匀分布，求条件概率密 度 。,183,解：因为（X，Y）服从均匀分布，且圆面积 为。所以，联合概率密度为：,边缘分布为：,184,所以，当 时，条件分布为：,185,这是一个已知联合分布求条件分布的例子。,186,解：显然X 的密度为,类似的，对给定的 ，在 下，Y 的条件概率密度为,例4、在区间 上任取一点，设其坐标为 X，当观察到 时，Y 在 上任取，求 Y 的概率密度 。,187,因此,例5、设（X，Y）的联合密度为,188,解：,即,从而,求：,189,所以,190,3.4 随机变量的独立性,191,相互独立的两个充要

41、条件：,192,例1、已知随机变量 X 和 Y 的分布律为 ：,193,而且 （1）求 X 和 Y 的联合分布律； （2）问 X 和 Y 是否独立？,解：（1）由于 ，所以,即,所以，X 和 Y 的联合分布律有如下形式,194,因此，X、Y 不独立。,（2）由分布律可见：,而,195,196,（2）,解（1）,197,198,若（X，Y）是随机向量，如何求 的分布呢？这就是本节要讨论的问题。,3.5二维随机变量的函数的分布,199,3.5.1离散型随机变量函数的分布,设X，Y均是离散型随机变量，Z=g(X,Y)是关于随机变量X，Y的函数，则Z也是离散型随机变量，且Z的可能取值及其概率由随机变量

42、X，Y唯一确定。下面我们借助一个例子来介绍Z的具体求法。,200,0 1 2 3,X,例1 已知二维随机变量（X，Y）的联合分布率为：,y,0 1 2 3,分别求Z=X+Y与U=XY的概率分布函数。,201,同理可得,Z 的可能取值为0，1，2，3，4，5，6。,202,Z的分布律为,Z 0 1 2 3 4 5 6,1/4 1/8 5/24 7/48 7/48 1/16 1/16,203,U 的可能取值为0，1，2，3，4，6，9,经计算得U的分布律为,Z 0 1 2 3 4 6 9,25/48 1/8 1/12 1/16 1/12 1/16 1/16,204,例2 设随机变量X，Y的密度函数

43、分别为,205,解：,206,207,当 时（图形见右），,由 得：,208,例3、设二维随机变量（X，Y）在矩形 上服从均匀分布， 试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的密度函 数。,解：因为矩形的面积为2，（X，Y）的联合 密度为：,209,设 S 的分布函数为,曲线 与矩形 G 交于点 ；位于曲 线 G 上方的满足 ，位于曲线 G 下方的 满足 ，于是：,210,211,卷积公式 ：设随机变量X与Y相互独 立，其密度函数分别为 则其和分布X+Y的密度函数为,212,例4、X，Y 是两个相互独立同服从标准正 态分布的随机变量，求 的概率密度 函数。,解：X、Y 的密度为,213,由卷积

44、公式得：,由 的密度可见，,214,下面，我们再研究商的分布。,215,解：当 时,216,所以,当 时,217,所以,当 时 是不可能事件；,综上所述，,218,4.1.1 数学期望的定义,4.1随机变量的数学期望,219,对连续型随机变量 X 的数学期望类似的可定 义如下：,220,例1：A、B两台自动机床生产同一种标准件， 生产1000只产品所出的次品数各用X、Y 表 示，经过一段时间考察，X、Y 的分布律分别 为：,几何意义 ：表示随机变量取值的平均水平。 （加权意义下）,221,X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 pk 0.7 0.1 0.1 0.1 pk 0.5 0.3 0.2

45、 0.0,问哪一台机床质量好些？,解：EX00.710.120.130.1 0.6,EY00.510.320.230.00.7,得 EX EY，即生产1000只产品中，所出次,222,品的平均数机床 A 较低，所以自动机床 A 质 量较好。,几个常见的离散型随机变量的数学期望,（1）01分布： X 0 1 EXp pk q p,223,224,（3）泊松分布：,（4）超几何分布,225,例2、有 5 个相互独立工作的电子装置，它们 的寿命 Xk （k1，2，3，4，5）都服从参数 为 的指数分布，即其概率密度为：,若将这 5 个电子装置串联工作组成整机，求 整机寿命Z 的数学期望。,226,解：由于整机是由 5 个电子装置串联而成，若 5 个装置中有一个损坏时，整机就停止工作。 所以，整机的寿命 ZminX1，X2，Xn。,而Xi 的分布函数为：,227,而 Z 的概率