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1、第三章 多维随机变量及其分布,第一节 二维随机变量,在有些随机现象中，每次试验的结果不能只 用一个随机变量来描述，而要同时用几个随机变 量来描述。如对于钢的成分的研究，需要同时指 出它的含碳量、含硫量、含磷量等等，要研究它 们之间的联系，就应当同时考虑若干个随机变量 （即多维随机变量）及其取值规律-多维分布。,本章着重介绍二维的情况，至于二维以上的 情况可由二维类似推得。,一般地，设E是一个随机试验，它的样本 空间是S，再设X和Y是定义在S上两个随机变 量。 由它们构成的一个二维向量(X,Y)叫做二 维随机向量或二维随机变量。,二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有 关, 而且还依赖于这两
2、个随机变量的相互关系。 因此， 逐个地研究X和Y的性质是不够的， 还 需将(X,Y)作为一个整体来进行研究。,和一维的情况类似，我们也是借助于 “分 布函数” 来研究二维随机变量。,定义：,设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y， 二元函数,称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或随机变量X和 Y的联合分布函数。,x,y,(x,y),x,y,(x2, y2),(x1, y1),分布函数 F(x, y) 具有以下的基本性质：,(1) F(x, y) 是变量 x, y 的单调不减函数，,即对于任意固定的 y, 当 x2x1 时, 有,对于任意固定的 x, 当 y2y1 时, 有,(2),对
3、于任意固定的 y，有,对于任意固定的 x，有,(3) F(x, y) 关于x 右连续，关于y 也右连续，,如二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有 限对或无限可列对，则称(X,Y)是二维离散型随 机变量。,设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为,则称上述一系列等式为二维离散型随机变 量(X,Y)的概率分布律， 或随机变量X和Y的联 合概率分布律。,显然有：,随机变量X和Y的联合概率分布律也可用表格表示,X,Y,例1：设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1 X中等可能地取一 整数值。试求(X, Y)的分布律。,解：,(X, Y)的所有可能的取值
4、为： X 等可能地取1,2,3,4中的一个，Y 等可能地取1 到 X 之间的整数值。,即可写出对应的概率分布表。,离散型随机变量X和Y的联合分布函数F(x, y)具有形式：,与一维连续型随机变量类似，对二维随机变量 的分布函数 F(x, y), 如果存在非负的函数 f (x, y), 使 得对任意的实数x, y，有,则称 (X, Y) 是连续型二维随机变量，而 f (x, y) 称为 二维随机变量(X, Y) 的概率密度或随机变量X和Y的 联合概率密度。,联合概率密度 f (x, y)具有以下的性质：,(4) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域，则点 (X, Y) 落 在G 内的概率,例2：
5、设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为,解：,例2：设连续型二维随机变量(X, Y)的概率密度为,解：,x,y,y=x,G,G1,课 外 习 题,第 70 页,15，17,第二节 边缘分布,同理可得,对于离散型随机变量(X, Y),记,分别称上述两式为二维离散型随机变量 (X, Y)关于X和Y的边缘分布律。,对于二维连续型随机变量(X, Y)，设其概率密度为 f (x, y)。,知X是一连续型随机变量，具有概率密度函数为,同理, Y也是一连续型随机变量, 其概率密度函数为,它们分别被称为二维连续型随机变量(X, Y)关 于X和Y的边缘概率密度函数。,例1：设二维离散型随机变量(X,Y)的
6、概率分布如下： 求关于 X 和关于Y 的边缘分布律。,X,Y,例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：,求关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。,解：,1,y = x,例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：,求关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度。,解：,1,y = x,例3：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：,则可求得,由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是 一维正态分布，并且都不依赖参数 , 亦即对于给 定的 不同的 对于不同的二维正态分 布，但它们的边缘分布却都是一样的。,这一事实表明，由联合分布可确定边缘分布， 但反之不然。,课 外 习 题,第 70
7、页,18(1,2,3),* 第三节 条件分布 *,设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为,(X,Y)关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为,我们来考虑在事件,已发生的条件下事件 发生的概率：,显然,易知，上述条件概率具有分布律的特征：,于是，我们有,定义：,设(X,Y)是二维离散型随机变量，对固定的 j，,为在条件 下随机变量X 的条件分布律。,同理，对于固定的 i，,为在条件 下随机变量Y 的条件分布律。,现设(X,Y)是二维连续型随机变量，,给定 y，,于是对任意 x ，有,由此引入下述定义：,定义：,给定 y，,且对任意 x ，极限,则称此极限为在条件 Y = y 下随机变量 X 的
8、条件 分布函数，,设(X, Y)的分布函数为F(x,y), 概率密度为f (x,y)，,若在点(x,y)处， f (x,y)连续，边缘概率密度 连 续，且,则有,则由上式可得,例1：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若 二维随机变量(X, Y)具有概率密度,则称(X, Y)在G上服从均匀分布。现设二维随机变 量(X, Y)在圆 上服从均匀分布，求条件 概率密度,解：,由假设随机变量(X, Y)具有概率密度,由假设随机变量(X, Y)具有概率密度,且有边缘概率密度,其它,例2：设二维随机变量(X, Y)具有概率密度,求条件概率密度,解：,于是当 0 x 1 时有,课 外 习 题,第 70 页,
9、19，20,第四节 相互独立的随机变量,在这一节中，我们将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。为此，我们有：,定义：,若对于任,意的x, y，有,则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。,对于二维离散型随机变量(X,Y)，,X 和 Y 是相互独立的充要条件是：,例1：设(X,Y)的分布律为：,X 与Y 不独立。,对于二维连续型随机变量(X,Y)，,X 和 Y 是相互独立的充要条件是：,两边对x, y 求二阶混合偏导数，得：,例2：设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为：,前面已求得关于 X 和关于 Y 的边缘分布密度为,所以 X 与Y 不独立。,例3：二维正态随机变量
10、(X,Y)的概率密度为：,则可求得,即X和Y相互独立。,反之，,如果X和Y相互独立，,则从上述等式可得：,由此得：,对于二维正态随机变量(X,Y)，,X和Y相互独立的充要条件是：,例4：设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度 分别为：,解：,所以 Z 的分布律为,Z 的分布函数为,课 外 习 题,第 71 页,23，24,第五节 两个随机变量的函数的分布,（一） Z = X+Y 的分布,1. 离散型的情形：,解：,Z = X+Y 的可能取的值为 1, 2, 3,例1：设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,求随机变量 Z = X+Y 的 分布律。,解：,Z = X+Y 的可能取的值为
11、1, 2, 3,所以随机变量 Z = X+Y 的分布律为,2. 连续型的情形：,所以 Z 的概率密度为,所以 Z 的概率密度为,由 X, Y 的对称性，,又可写成,特别地，当 X 和 Y 相互独立时，设 (X, Y) 关于X和Y的边缘概率密度分别为,则上式分别可化为, 卷积公式,记为,卷积不满足交换律,例2：设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们 都服从N(0, 1)分布，其概率密度为,求 Z = X+Y 的概率密度。,解：,即 Z 服从N(0, 2)分布。,同理可证，如X和Y相互独立，且,更一般地，利用数学归纳法可证：,例3：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且,求 Z = X+Y 的概率密
12、度。,解：,例4：设X和Y是两个相互独立的随机变量，其概率 密度分别为,求 Z = X+Y 的概率密度。,解：,y,0,z,z -1,y,0,z,z -1,y,0,z,z -1,注意：,由两个相互独立的随机变量的和所得到的随机变量所有的两个特殊的性质：,设X和Y是两个相互独立的随机变量，若,（二）M= max( X,Y ) 及 N= min( X,Y )的分布,设 X,Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为 和 。,现求M=max( X,Y ) 及 N=min( X,Y )的分布函数。,所以M=max( X,Y ) 的分布函数：,同理可得 N=min( X,Y )的分布函数,以上结果很容易推广到n个相互独立的随机变量 的情况。,例：设随机变量(X,Y)的分布律为,X,Y,（教材第108页习题28）,解：,由上表可得X 的边缘分布律为,Y 的边缘分布律为,课 外 习 题,第 73 页,31，32，36,