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1、第二章 控制系统的模型,一 控制系统的时域数学模型 二 控制系统的复数域数学模型 三 控制系统的结构图与信号流图 四 数学模型的实验测定,2.1 控制系统的时域数学模型,1、线性系统微分方程的建立 步骤：1. 确定系统的输入量(给定量和扰 动量)与输出量(被控制量, 也称 为系统的响应) 2. 列写系统各部分的微分方程 3. 消去中间变量, 求出系统的微 分方程,例2.1 编写如图2-1所示RC电路的微分方程式,图 2-1 RC电路,解:(1) 定输入输出量: u1 (t) -输入量, u2(t) -输出量 (2) 列写微分方程 u1 = iR+u2 式中 u2 = q/c i = dq/dt
2、 （3）消去中间变量,可得电路微分方程式,例2-2 编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式,图 2-2 直流电动机电枢电路,(1)确定输入量和输出量。 取输入量为电动机的电枢电压ud， xr = u 取输出量为电动机的转速 xc = n (2) 列写微分方程式。 电枢回路的微分方程式： 电动机的机械运动方程式： （3）消去中间变量。得电动机的动态微分方程式（以算子 表示）： TdTmp2xc+Tmpxc+xc = x r/Ce,2、非线性数学模型线性化,实际的物理元件都存在一定的非线性，例如： 弹簧系数 是位移的函数 电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关 电动本身的摩擦、死区,小偏差线性
3、化法 设连续变化的非线性函数,平衡状态A为工作点,在平衡状态点运用台劳级数展开为,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,2.2 控制系统的复数域数学模型,1、传递函数的定义和性质 定义 设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：,在零初始条件下，取拉氏变换得：,称为系统或环节的传递函数，可以写成,例 2-3 图 2-1 所示RC电路的微分方程式为,初始条件为零时，拉氏变换为,该电路的传递函数为,式中 RC电路的时间常数。,例2-4 求直流他激电动机的传递函数。,以电枢电压为输入量、转速为输出量的微分方程式 ：,在初始条件为零时，上式的拉氏变换为：,传递函数为：,传递函数的性质,（1
4、）因果系统的传递函数是s 的有理真分式函数，具有 复变函数的性质。,（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。,（3）传递函数与微分方程可相互转换。,（4）传递函数 的Laplace反变换是系统的脉 冲响应 。,2.典型环节的传递函数及暂态特性,1） 比例环节 ：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示：,式中 环节的放大系数，为一常数。,传递函数为：,图2-3 比例环节,2）惯性环节,惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。,现求输入量为单位跃阶函数时，惯性环节输出量的函数关系,求拉氏反变换得,3）积分环节,传递函数为：,当输入量为阶跃函数时，则输出量为：,4）
5、微分环节,传递函数为：,5）振荡环节,这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。今以RLC 电路（图2-4）为例加以说明。电路的电压平衡方程式为:,在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：,图2-4 RLC电路,将传递函数转换为：,式中：,当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：,当 时，上式特征方程的根为共轭复数,输出量为：,6）时滞环节,传递函数为：,2.3 控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述
6、。 系统结构图的组成：系统结构图一般有四个基本单元组成（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。,1、控制系统的结构图,1）首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。 2）绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量， 按 照信号的传递方向把各方框图依次联接起来，就构成了系统结构图。,系统动态结构图的绘制步骤 ：,例2.5 电压测量装置方框结构图 被测电压： 指示的测量电压： 电压测量误差：,系统组成：比较电路、
7、机械调制器、放大器 两相交流伺服电动机、指针机构,比较电路：,调制器：,放大器：,两相伺服电动机：,绳轮传动机构：,测量电位器：,系统结构图,无源网络的方框结构图,2、系统传递函数和结构图的变换和简化,任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。,等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变 一、典型连接的等效传递函数 （1）串联等效,（2）并联,（3）反馈,二、相加点及分支点的换位运算 原则： 移动前后保持信号的等效性 （1）相加点从单元的输入端移到输出端
8、 ，如图2-5,图 2-5 相加点后移变位运算,（2）相加点从单元的输出端移到输入端，如图2-6所示,图2-6 相加点前移变位运算,（3）分支点从单元的输入端移到输出端，如图2-7所示,图 2-7 分支点后移的变位运算,（4）分支点从单元的输出端移到输入端，如图2-8所示,图 2-8 分支点前移的变位运算,三、系统开环传递函数,开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器 输出 E(s) 到输入端对应的比较器的反馈 信号 B(s) 之间 所有传递函数的乘积，记 为GK(s), GK(s)=G(s)H(s) 前向通道传递函数：输入端对应比较器输出 E(s) 到输出 端输出 C(s) 所有传递
9、函数的乘积，记为G(s) 反馈通道传递函数：输出 C(s) 到 输入端比较器的反馈信 号 B(s) 之间的所有传递函数之乘积，记 为 H(s),四、系统闭环传递函数,在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数。闭环传递函数是分析系统动态性能的主要的数学模型。 例2-6 试简化图示系统结构图，并求系统传递函数,五、系统对给定作用和扰动作用的传递函数,图2-11所示系统中有两个输入量给定作用量和扰动作用量，同时作用于系统。对于线性系统来说，可以对每一个输入量分别求出输出量，然后再进行叠加，就得到系统的输出量图,2-11 Xr(s)和Xc(s)同时作用于系统,1）只有
10、给定作用时的闭环传递函数 和输出量 为：,(2) 只有扰动作用时的闭环传递函数 和输出量 为,因此当两个输入量同时作用于系统时，则输出量 为：,3、信号流图,信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。 一、 信号流图中的术语 （1）源点。只有输出支路的节点称为源点或称为输入节点 （2）汇点。只有输入支路的节点称为汇点或称为输出节点 （3）混合节点。既有输入支点也有输出支点的节点称为混 合节点 （4）通路。从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支 路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通路 （5）开通路。与任一节点相交不多于一次的通路称为开通 路,（6）闭通路。如果通路的终点就是通路的起点
11、，并且与 任何其他节点相交不多于一次的称为闭通路或称为 回环 （7）回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益 （或传输） （8）前向通路。是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节点相交不多于一次的通路，该通路的各传输乘积 称为前向通路增益 （9）不接触回环。如果一信号流图有多个回环，各回环 之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之 称为接触回环,二、信号流图的绘制 例说明绘制信号流图的过程。一系统的方程组为：,首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图，如图2-12（a）。该系统相应的结构图如图2-12（b）所示,图2-
12、12 系统信号流图和结构图,三、 梅逊增益公式,从源点到阱点的传递函数（或总增益） 从源点到阱点的前向通路总数 从源点到阱点的第k条前向通路总增益,流图特征式,所有单独回路之和 两、两不接触回路增益的乘积之和 三、三不接触回路增益的乘积之和 流图余因子,例 2-18 求如图2-13所示系统的传递函数,该系统的前向通路及其传输为：,系统的回环及其传输为,上述各环互相接触，因此,由此得系统的特征式 ：,上述各回环都与前向通路T1和T2 相接触（有共同环节或 公共节点），因此得： 图 2-13 系统结构图,根据梅逊公式求得系统传递函数为：,小 结,数学模型的基本概念。数学模型是描述系统暂态过程的数学
13、表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。 通过解析法对实际系统建立数学模型。在本章中，根据系统各环节的工作原理，建立其微分方程式，反映其动态本质。,非线性元件的线性化。针对非线性元件的非线性微分方程分析的难度，本章介绍采用小偏差线性化方法对非线性系统的线性化描述。 传递函数。通过拉氏变换求解微分方程是一种简捷的微分方程求解方法。本章介绍了如何将线性微分方程转换为复数s域的数学模型传递函数以及典型环节的传递函数。,动态结构图。动态结构图是传递函数的图解化，能够直观形象地表示出系统中信号的传递变换特性，有助于求解系统的各种传递函数，分析研究系统。 信号流图。信号流图是一种用图线表示系统中信号流向的数学模型，完全包括了描述系统的所有信息及相互关系。通过运用梅逊公式能够简便、快捷地求出系统的传递函数。,