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1、1 二重积分概念,二重积分是定积分在平面上的推广, 不 同之处在于: 定积分定义在区间上, 区间的 长度容易计算, 而二重积分定义在平面区 域上, 其面积的计算要复杂得多.,一、平面图形的面积,二、二重积分的定义及其存在性,三、二重积分的性质,一、平面图形的面积,我们首先定义平面图形的面积. 所谓一个平面图形,P 是有界的, 是指构成这个平面图形的点集是平面,上的有界点集, 即存在一矩形 R , 使得,设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一,组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T,将所有属于直线网的第,(i) 类小矩形(图 21-1 中紫,色部分)的面积加起
2、来,记,包含P 的那个矩形 R 的面积); 将所有第 (i) 类与第,(ii) 类小矩形 的面积加起来(图 21-1中着色部分),记,由确界存在定理可以推得,对于平面上所有直线网,显然有,定理21.1 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:,可证得,于是由(3)可得,从而对直线网 T 有,积.,推论 平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它,使得,定理 21.2 平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:,P 的边界 K 的面积为零.,证 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是: 对任给,为零.,的图像, 则曲线 K 的面积为零.,，,高的小矩形所覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和,因
3、此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.,示的光滑曲线或按段光滑曲线,其面积一定为零.,上有反函数. 再由有限覆盖定理, 可把区间,上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零.,推论2 由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面,图形都是可求面积的.,分成 n 段:,注 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如,二、二重积分的定义及其存在性,二重积分的几何背景是,求曲顶柱体的体积.设,为定义在可求,面积的有界闭域 D上的,非负连续函数.求以曲,底的柱体 (图21-2) 的体积 V.,采用类似于求曲边梯形面积的方法.,(1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域,曲顶柱体,的小平
4、顶柱体的体积,图21-3), 即,把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体,体积 V 的近似值,(3) 取极限: 当直线网 T 的网眼越来越细密, 即分割,有,这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 如求非,均匀平面的质量、重心、转动惯量等等. 这些都是,所要讨论的二重积分的实际物理背景.,上面叙述的问题都可归为以下数学问题.,可求面积的小区域,上的函数. J 是一个确定的实数, 若对任给的正数,和式,D 上二重积分, 记作,分变量, D 称为积分区域.,就等于积分区域 D 的面积.,可积, 则与定积分情形一样, 对任何分割 T, 只要当,时, (4) 式都成立. 因此为方便计算起见,
5、常,选取一些特殊的分割方法, 如选用平行于坐标轴的,可求面积的 D上可积的必要条件是它在 D上有界.,数的上和与下和具有与一元函数的上和与下和同样,的性质, 这里就不再重复. 下面列出有关二元函数的,可积性定理, 这里只证明其中的定理 21.7.,定理21.6 有界闭域 D上的连续函数必可积.,某一条光滑曲线 L 上,并记 L 的长度为 l. 于是对任,现在把区域 D 分成两部分: 第一部分,又记,分割, 则有,在 D 上可积.,三、二重积分的性质,二重积分与定积分具有类似的性质, 现列举如下:,上也可积, 且,在 D 上也可积, 且,则有,也可积, 且,则有,积分中值定理的几何意义: 在 D 上, 以,为顶的曲顶柱体体积,等于一个同底,的平顶柱体的体积, 这个平顶柱体的高等于,*例1 设,时,就有,边形.,复习思考题,