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1、2019/4/7,1,第一节 微分中值定理,二 微分中值定理,一 问题的提出,1 费马（Fermat）定理,2 罗尔(Rolle)定理,3 拉格朗日(Lagrange)中值定理,4 柯西(Cauchy)中值定理,三 小结与思考判断题,(The Mean Value Theorem),2019/4/7,2,一 问题的提出(Introduction),我们知道，导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映的是函数在一点处的局部变化性态，但在理论研究和实际应用中，常常需要把握函数在某区间上的整体变化性态，那么函数的整体变化性态与局部变化性态有何关系呢？中值定理正是对这一问题的理论诠释。,中值定理揭
2、示了函数在某区间上的整体性质与该 区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既 是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又 是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。,2019/4/7,3,二 微分中值定理 (The Mean Value Theorem),微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。,1 预备定理费马（Fermat）定理,费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔 共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著于世。,2019/4/7,4,几何解释:,2019/4/7,5,证明:,20
3、19/4/7,6,几何解释:,2 罗尔(Rolle)定理(Rolles Theorem),2019/4/7,7,证,2019/4/7,8,2019/4/7,9,注1:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,例如,注2:若罗尔定理的条件仅是充分条件，不是必要的.,2019/4/7,10,例1,2）唯一性,由零点定理,即为方程的正实根.,矛盾,证：1）存在性,2019/4/7,11,3 拉格朗日(Lagrange)中值定理,2019/4/7,12,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,化归证明法,2019/4/7,13,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了
4、函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,2019/4/7,14,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,推论1,拉格朗日中值公式另外的表达方式：,2019/4/7,15,例2,证,由上式得,2019/4/7,16,4 柯西(Cauchy)中值定理,2019/4/7,17,几何解释:,证,作辅助函数,2019/4/7,18,2019/4/7,19,例4,2019/4/7,20,2019/4/7,21,三 小结与思考判断题,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,1）罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,2）利用中值定理证明等式与不等式.,Fermat 定理,2019/4/7,22,思考题,1 拉格朗日中值定理的条件缺少一个，结论就可能不成立.,2,