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1、第二十二章 曲面积分,习题课,复习曲面积分的计算法,1. 基本方法,曲面积分,第一类( 对面积 ),第二类( 对坐标 ),二重积分,(1) 统一积分变量 代入曲面方程,(2) 积分元素投影,第一类: 始终非负,第二类: 有向投影,(3) 确定二重积分域, 把曲面积分域投影到相关坐标面,1) 二重积分是哪一类积分?,答: 第一类曲面积分的特例.,2) 设曲面,问下列等式是否成立?,不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关,思考题,2. 基本技巧,(1) 利用对称性及重心公式简化计算,(2) 利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3) 两类曲面积分的转化,
2、练习:,其中 为半球面,的上侧.,且取下侧 ,提示: 以半球底面,原式 =,记半球域为 ,高斯公式有,1.计算,为辅助面,利用,2.,证明: 设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,3. 计算曲面积分,其中,解:,思考: 本题 改为椭球面,时, 应如何,计算 ?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式 .,4. 设 是曲面,解: 取足够小的正数, 作曲面,取下侧,使其包在 内,为 xoy 平面上夹于,之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算,则,第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得,5. 计算曲面积分,中 是球面,解:,用重心公式,6.,设L 是平面,与柱面,的交线,从
3、 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算,解: 记 为平面,上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.,由斯托克斯公式,D 的几何中心,(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是,应用题 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄,象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄,像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求,(2) 在,解: 如图建立坐标系.,的时间内 , 卫星监视的地球,表面积是多少 ?,多少 ?,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,时间内监视的地球表面积为,其
4、中S0 为盲区面积,(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为,(2) 在,其中盲区面积,时间内监视的地球表面积为,斯托克斯( Stokes ) 公式,7. 计算,其中L 是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1 令,则,这说明积分与路径无关, 故,a 为半径的上半圆周.,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:,(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,思考题解答:,(1),(2),计算,其中L为上半圆周,提示:,沿逆时针方向.,8.,9. 设在右半平面 x 0 内, 力,构成力场,其中k 为常数,证明在此力场中,场力所作的功与所取的路径无关.,提示:,令,易证,设三角形区域为 , 方向向上,则,方法2,利用斯托克斯公式,