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1、第三十二讲 直线与圆锥曲线,一、引言：,（一）本节的地位：直线和圆锥曲线的位置关系是高考的热点问题，是每年高考必考的内容，因此要加强对这部分内容的学习. （二）考纲要求：能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步体会数形结合的基本思想.,(三) 考情分析：直线和圆锥曲线的位置关系问题，主要涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、中点弦、圆锥曲线的最值及参数范围等方面问题.,二、考点梳理,1. 直线和圆锥曲线的位置关系：从几何角度有三种：相离、相切、相交；从代数角度看是直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离，有两组解时必相交，有一组解时，若关于x
2、或y的二次方程的二项式系数不为零,判别式等于零，则相切，若所得的是一次方程有一个解，必相交.,解此类题方法： 概念意识：深刻理解定义的判定功能与性质功能.定义是解决问题源泉，根据定义解题是最基本的方法，它不但可以加深概念理解，而且可简化解题过程. 平几意识：平面解析问题与平面几何图形有着密切的联系.解题时若能根据图形特征，借助平面几何知识如中位线、角平分线、重心、内心、外心、垂心、射影定理等性质，常可起到化简问题运算的效果.,数形结合意识：利用图形直观性，可以扩大思维空间，使抽象问题形象化，从而找到一个最佳解题思路. 设而不求意识：设有关点坐标，采用设而不求，充分运用已知条件的内在联系，转化消
3、去参数达到简化运算的目的. 化归意识：转化为可求解的一种数学意识，如转化为求函数最值.,对称意识：两点的连线与对称的直线的互相垂直；这两点的中点在对称的直线. 向量意识：用向量的运算法则处理有关角度、平行、垂直、面积等几何问题. 导数意识：用导数解决圆锥曲线的切线、最值、参数范围等问题.,三、典型例题选讲 1.求参数范围 例1（2009重庆理）已知以 为周期的函数 其中m0.若方程 恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）,A B C . D,解析：因为当 时， 将函数化为方程 实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当 的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象，,由图易知直线
4、与第二个椭圆 相交，而与第三个半椭圆 无公共点时，方程恰有5个实数解，将 代入 得,令 ，则 . 由 ，得 ，由 ，且 ，得 . 同样由 与第三个椭圆 ， 由 可计算得 . 综上知 .,2.求方程 例2 (2009山东)设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点F ,且和y轴交于点A ,若OAF (O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) B. C. D.,解析： 抛物线 的焦点F坐标为 ,则直线 的方程为 ,它与y 轴的交点为A ,所以OAF的面积为 ,解得 . 所以抛物线方程为 , 故选B.,归纳小结：本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合
5、的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.,例3（2009四川）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1 、 F2，离心率 ，右准线方程为x = 2 . （1）求椭圆的标准方程； （2）过点F1 的直线 与该椭圆交于M、N 两点，且 ，求直线 的方程.,分析：（1）由已知条件列出关于参数a、b、c的关系，求出方程；（2）设出直线方程，注意斜率是否存在的讨论，结合椭圆的方程及已知条件求出k 的值.,解：（1）由已知得 ，解得 所求椭圆的方程为 .,（2）由（1）得 、 . 若直线 的斜率不存在，则
6、直线 的方程 为 ，由 得 . 设 、 ， 这与已知相矛盾.,若直线 的斜率存在，设直线 的斜率为k ，则直线 的方程为 ，设 、 ， 联立 ， 消元得 , . 又 ， . ,化简得 , 解得 . . 所求直线 的方程为 .,3.最值的解题策略 例4 设椭圆方程为 ，过点M（0，1）的直线 交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足 ，点N 的坐标为 . 当 绕点M 旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2） 的最小值与最大值.,分析：联立直线与双曲线得方程，利用方程根与系数关系，结合向量的知识求轨迹或用设而不求的方法求轨迹，利用函数关系求 的最小值与最大值. （1）解法一：直线 过点M
7、（0，1）设其斜率为k，则 的方程为 记 、 由题设可得点A、B的坐标(x1 ,y1）、（x2 , y2 )是方程组, 的解. 将代入并化简得, 所以 于是,设点P的坐标为 则 消去参数k 得 ， 当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为,解法二：设点P的坐标为(x , y ),因 在椭圆上，所以 得 ，所以 当 时，有 ,并且 将代入并 整理得 当 时 ，点A、B的坐标为（0，2）、（0，2），这时点P的坐标为（0，0）， 也满足，所以点P的轨迹方程为,（2）解：由点P的轨迹方程知 所以,故当 ， 取得最小值，最小值为 , 时， 取得最大值，最大值为,归
8、纳小结：本小题主要考查平面向量的概念、直线方程的求法、椭圆的方程和性质等基础知识，以及轨迹的求法与应用、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.,例5 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4 （1）求椭圆的方程； （2）直线l过p(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当 面积取得最大值时，求直线l的方程,分析：建立目标函数，转化为求函数的值域或最值问题，或者利用曲线的定义及图形的几何特征求最值,(1）解：设椭圆方为 ， 由已知得 解得 所以所求椭圆方程为 .,（2）解法1：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
9、 由 消去y 得关于x的方程 由直线L与椭圆相交于A、B两点， 所以 ，解得 ，,又由韦达定理得,所以,原点到直线的距离,因为,令 ，则 .,所以 ，当且仅当 即m=2 时, 此时 ,所以，所求直线方程为 ,.,解法：由题意知直线l的斜率存在且不为零. 设直线l的方程为 ，则直线l与x轴的交点 ， 由解法1知 且,解法（i）： = 下同解法1. 解法（ii）： 下同解法,=,归纳小结：解决最值问题的主要方法是建立目标函数，转化为求函数的值域或最值问题，或者利用曲线的定义及图形的几何特征求最值注意本题在求解过程中要确保直线与椭圆有两个交点，即满足 ,4.对称问题 例6 已知焦点在x轴上的椭圆 上
10、存在两点A、B ，关于直线 对称，求b 的取值范围.,分析：本题在求参数范围时，解法1是利用 构造含参数b 的不等式，解法2是利用A B 的中点M 在椭圆内构造含参数的不等式,解法1：如图，由题意可设 A，B两点所在直线方程设为 ，代入椭圆C 方程得 由 得 ，,设 ，则 ， ， 所以AB的中点 ， 因为点M在直线 上， 所以 ,解得 ，再将 代入 得 解得 或 因为 ， 所以 ,解法2：设 ， ，AB中点 ， 由题意可得,由-得 将代入得 ， 将代入结果得 ， 再将代入得 ,解得 ， ，将x0，y0 代入 得 ， 化简得 ， 解得 或 ， 因为 ，所以 ,归纳小结：对称问题应注意运用以下结论
11、建立关系式： （1）对称点的连线与对称轴垂直； （2）对称点的中点在对称轴上； （3）对称点所在的直线与曲线相交于两个不同的点 解法2充分运用方程思想及设而不求的方法求出b值，一般适用于与中点、斜率有关的题目.,5.定点问题 例7 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点 距离的最大值为3,最小值为1 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线 与椭圆C相交于A，B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标,分析：利用已知条件求出直线L的方程，再判断过定点及其坐标. 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为,，,（2）设
12、，由 得 ，,，,.,以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,，,，解得,，且满足 ,当 时， ，直线过定点 与已知矛盾； 当 时， ，直线过定点 综上可知，直线l过定点，定点坐标为 归纳小结：注意讨论所求的结论是否符合题目的条件.,6.轨迹问题 例8 矩形ABCD 的两条对角线相交于点 ，AB边所在直线的方程为 ，点 在边AD所在直线上 （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程； （3）若动圆P过 点，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程,分析：充分利用图形的特征及解析几何知识求解. 解:（1）因为AB边所在直线的方程为 且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率
13、为-3 又因为点 在直线AD上， 所以AD边所在直线的方为 即 ,（2）由 解得A点的坐标为 ， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形外接圆ABCD的圆心 又 从而矩形ABCD外接圆的方程为 ,(3）因为动圆P 过N点，所以|PN| 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切， 所以 ，即 故点P 的轨迹是以M,N 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支 因为实半轴长 ，半焦距c=2 所以虚半轴长 从而动圆的圆心的轨迹方程为 归纳小结：求轨迹问题要注意检验所求直线、曲线方程是否符合题意,四、本专题总结 本节主要研究直线和圆锥曲线的位置关系问题，解决此类问题方法有利用数形结合的数学思想、设而不求的方法、借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数关系等方法来解决.还要有概念意识、平几意识、数型结合意识、设而不求意识、化归意识、对称意识、 向量意识、导数意识等.,体现主要数学思想有：化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想等. 注意在求解过程中要确保直线与椭圆有两个交点，即满足 ，要检验所求直线、曲线方程是否符合题意,