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1、第三章 静态场,静电场理论,静电场的计算,恒定电场理论与计算,恒定磁场理论,似稳电磁场,静态场,静电场,恒定场,恒定电场,静磁场,3.1 静电场理论 即：dq/dt = 0 (v=0) J=H=p=0,一、场 二、位 三、能(与力),关于场前面以作了解释，下面对位、能作讨论,比较上两式得： 场位关系：E=,由场位关系，对场强E求散度：,电位：是一标量,与场强E一样是静电场的一种固有属性。,E = 0 静电场E是一个梯度场，它的标量位就是电位。,电位,a,b,dl, 将场强E分解到法向和切向，如图示：,边值条件：,en,1,2,Z,n,E,12 =Edz =Endz =n z, ,En,Et,对
2、于边界：z0 12 = 0,则有：,又D1n D2n = s, 求证：1 -2 = 0,如图所示，在紧靠边界的两边取二点1和2即线段Z，,则有：,整理得：,1 -2 = 0,证毕,边值条件：,整理得：,E = En +Et= -( en + et), n, t,电位能We：指电场力作功的能力，量值上与功相等 。,电位能,系统总电能We ： We = (W1 W2 Wn )/ 2,当源为点电荷时： (Wii = 0点电荷为最基本点，无互作用）,当源为体电荷时：(qq = v i Wii 0 ),We = lim (r i)vi (r) = dv,1 2,v0, i=1,i 除 qi 外，所有其它
3、点电荷在点i 处产生的总电位。,对式求积分：,经数学推导：,v,1 2,v,v,系统总电能 We ： We = (W1 W2 Wn )/ 2,当源为体电荷时：,当体电荷为单个导体时：,导体,设：导体上的电量为q, 导体是一等位体， 在导体上电位ii 是一常数。,We= iidv = iidv = iiq,1 2,1 2,1 2,当体电荷为n个导体时：,故：,自能,We = qi i,n i=1,1 2,= qiqj aij,n i=1,1 2,n j=1,i 所有体电荷(包括qi在内)在点i 处产生的总电位。,当体电荷为n个球导体时：,当 rij r,解：设平板面积为s，间距为d(sd)，如图
4、所示。 sd，若再略去边缘效应，可认为板间的场强均匀， 场强方向与平板面垂直，如图示。,We = E2dv = E2dv = E2 sd, 2,v,vr, 2, 2,s 2d,d 2s,= u2,= q2,由高斯定理:q =Eds = Es,由总电能:,= cu2 = qu,q = sE = s u/d = cu,1 2,-q,例1：求平板电容器的总电能。,1 2,We = qi =,n i=1,1 2,1 2,q + -,1 2,q- = qu,1 2,方法一：,方法二：,Edl= u E = u/d,讨论：+ (或- )有无自电位,例2：设有两带电导体球，球A半径为a电量为q1、球B半 径
5、为b电量为q2、两球间距为d、da与b，如图所示。 求两带电导体球系统的总电能。,d,a,b,35,有极分子： 不重合 转向 无极分子： 重合 位移,3.2 静电场分析,导体：,介质：,媒质大体可分为导体和介质两大类,静电平衡,E=0，即导体是一等位体， 无电荷分布。,E= E+ 0 方向与导体面垂直， 仍等位是一等位面，有电荷分布。,0+,导体内：,导体面：,无论是导体还是介质，在外电场的感应下表面形成电荷 分布，它对内对外都可能发生作用，即改变原电场的分布。,正负电荷中心 极化 效果:产生附加电场E,D=E = orE = o (1+xe) E = oE + o xeE = oE + P,
6、D= o E + P= o E vp = v,P=vp en P = sp o E =v + vp,例1：半径为a、带电量为q的导体球，其外套有外半径为b、 介电常数为的介质球壳，如图所示，求空间任意一点 的D和E，介质中的极化电荷体密度vp和介质球壳表面 的极化电荷面密度sp 。,q,b,a,解：选球坐标系；在球a外作一球面，由高斯定理: 球对称性，同一半径面上的场强大小相等，方向为er DdS =DdS = DdS = 4r2D = q ra,又P = DoE = D (1o/ ) =vp,又 sp=en P = en D(1o/ ),DdS =q,故：D= erq/4r2 ra ； D=
7、0 ra,又 D=E 则： E = D/,故：E=erq/4r2 bra ; E=erq/4or2 r b； E=0 ra,故： vp =v (1o/ ),D(1o/ ) =q(1o/) / 4a2,D(1o/ ) =q(1o/) / 4b2,故：sp=,3.3 静电场的计算(分布型，除位方程外), 已知电荷的分布求电场E和电位,Rn = r- rn,当带电体为无穷时，积分上限可另定。,33 静电场的计算, 已知电场E和电位求电荷的分布,附加： 已知磁场H求电流面密度Js,P121127 5、8、13、16、21、23、24、25、 30、34、37、39,作 业,力*,作用在导体上的电场力,
8、F = qE,dF = dq E,f = dF/dV= E,电场力密度f :,作用在电介质上的电场力,3.4 恒定电场理论 即：dq/dt = I (常数),一、场 二、位 三、能,可见，恒定电场仍然是一梯度场,因而：B、H不随时间变化,3.3 恒定电场理论 即：dq/dt = I (常数),一、场 二、位 三、能,方程： E = 0,D= v,Edl= 0,DdS = Q,本构关系：D=E ，Jc=E,边值条件：,D1n D2n = s en (D1 D2 ) = s E1t E2t = 0 en (E1 E2 ) = 0,可见，恒定电场仍然是一梯度场,3.5 恒定磁场理论 即：dq/dt
9、= I (常数),一、场 二、位 三、能,方程：,场位关系：B=A,边值条件：,A1 = A2,可见，恒定磁场是一静旋度场,因而：B、H不随时间变化,1 1,1 2,(A1 )t (A2 )t = Js,方程：,场位关系：B=A,边值条件：,A1 = A2,可见，恒定磁场是一静旋度场,1 1,1 2,(A1 )t (A2 )t = Js,位,三、点电荷系统和分布电荷产生的电场,1、多点电荷系统产生的电场,式中:,由矢量叠加原理：,2、分布电荷系统产生的电场，矢量积分公式,a)体分布电荷系统,处理思路： 1) 无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理,设体电荷密度为 ，图中dV在P点产生
10、的电场为：,则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：,b)面分布电荷系统,类似地，面电荷在空间某点处产生的电场强度,c)线分布电荷系统,类似地，线电荷在空间某点处产生的电场强度,四、例题,讨论：,1）密度为 的无限长线电荷在空间中产生电场强度,2）密度为 的无限大均匀带电面外任意一点电场强度为：,例题一,五、作业,例题一,求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。,分析可知： 电场方向沿半径方向： 电场大小只与场点距离球心的距离相关。,解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：,式中：,说明：与位于球心的点电荷Q在空间中产生的电场等效。,第三节 安培力定律 磁感
11、应强度,一、安培力定律,安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律。,磁场：在电流周围形成的一种物质。,磁场的重要特性：会对处于其中的运动电荷（电流）产生力的作用，称为磁场力。,磁感应强度矢量 :描述空间磁场分布。,二、磁感应强度矢量,在磁场 空间中，若电荷q0以速度 运动：,说明： 的方向与电荷受磁场力为零时的运动方向相同。,则，电流元 在磁场 中受到的磁场力为：,若 由电流元 产生，则由安培力定律,说明： 、 、 三者满足右手螺旋关系。,三、磁感应强度矢量积分公式,真空中任意电流回路产生的磁感应强度,1、体电流,2、面电流,3、载流为I的无限长线电流在空间中产生磁场,四、例题,例题一,例题一,求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场。,解：建立如图柱面坐标系。,在电流环上任取电流元 ，令其坐标位置矢量为 。,易知：,如图：在垂直于电流方向取线元 。很明显，在 时间内， 距离内的电荷都将流过 。,由电流定义，通过 的电流 为：,由电流密度定义，有：,流过任意 的电流,而,所以,流过曲线l的电流为：,