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1、第二十五章 动力学普遍方程和拉格朗日方程,25-1 动力学普遍方程,将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合,得到动力学普遍方程。,设有n个质点的质点系，约束皆为理想约束，对于第i个质点：,给虚位移,解析形式：,任一瞬时，作用在受理想约束的质点系上的主动力与惯性力，在质点系任意虚位移中的元功之和为零。,即,动力学普遍方程,例1：一套滑轮系统悬挂两个重物。设绳和滑轮质量不计。试求:重力为P1的物体的加速度a1。,解:,自由度1,解 题 步 骤：,1、运动分析，确定自由度；虚位移分析；,2、受力分析（包括惯性力）；,3、列写方程；,4、确定虚位移之间的关系，运动关系；,5、求解。,例2：调速器稳定在b 时
2、，试求与b关系,弹簧原长为2l。,解:,自由度1,取广义坐标b,mAg,mBg,例3：三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面下滑，A和B的质量各为mA、mB。试求:三棱柱B的加速度。,解:,自由度2,例4：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为R，绳索与圆盘无相对滑动。试求滑块的加速度和圆盘C的角加速度。,解：运动分析,应用动力学普遍方程,受力分析,系统的虚位移,由动力学普遍方程得：,系统的虚位移,或令,拉格朗日 Lagrange （1736-1814年）,法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、
3、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些著作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。到了1764年，他凭万有引力解释月球运动问题获得法国巴黎科学院奖金。1766年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题而再度获奖。写了继牛顿后又一重要经典力学著作分析力学(1788年)。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力学体系建立起来，使力学分析化。,25-2 拉格朗日方程,(i=1,2,n),代入动力学普遍方程：,式中 为广义力,广义惯性力,拉格朗日从动力学普遍定理出发，导出了两种形式的质点系微分方程， 称第一类拉氏方程和第二类拉氏方程，这
4、里介绍第二类拉氏方程。,设有n个质点组成的具有完整、理想约束的质点系，有k个自由度：,取广义坐标：,(2),(1),式（1）对时间t求导,(6),将式（6）对 求偏导数:,(7),再将式（6）对任一广义坐标ql 求偏导数:,(8),则,(5),直接由矢径 对某个广义坐标 求偏导数后，再对时间t求导 :,(9),比较式（8）、式（9）,将等式（7）、（10）代入式（5），得:,(10),定义拉氏函数：L=T-V,具有理想和完整约束的质点系第二类拉氏方程,将（11）代入式（4）得：,当主动力均为有势力：,有势力作用下的第二类拉氏方程,例5：质量为m，杆长为l、弹簧刚度为k的杆如图示。试求系统微振动的周期。,解：,取平衡位置作为零势能点,自由度1,取广义坐标q,例6：空心轮的质量为m1、半径R，绳子的一端悬挂一质量为m2的物体A，另一端固结在弹簧上。试求:物体A的微振动周期。,解：,法一,自由度1,取广义坐标j,取平衡位置作为零势能点,法二,